资源简介

湖南省岳阳市岳阳楼区2025-2026学年上学期九年级期中数学测试卷
1．（2025九上·岳阳楼期中） 已知反比例函数 的图象必在（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第一、三象限
2．（2025九上·岳阳楼期中）用配方法解一元二次方程x2-6x+1＝0时，下列变形正确的是（　　）
A．（x+3）2＝8 B．（x-3）2＝8
C．（x+3）2＝ 10 D．（x-3）2＝10
3．（2025九上·岳阳楼期中）已知2a＝3b（ab≠0），则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·岳阳楼期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB=3：2，则AE：AC等于（　　）
A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：5
5．（2025九上·岳阳楼期中） 若关于x的方程x2﹣3x+k＝0有实数根，则k的值不可能是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
6．（2025九上·岳阳楼期中）如图，已知∠1＝∠2，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠B＝∠ADE B． C． D．∠C＝∠E
7．（2025九上·岳阳楼期中） 如图，直线y1＝x-1与双曲线y2 交于点A（2，1）， B（-1，-2），当y1＞y2时，则x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九上·岳阳楼期中） 如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（　　）
A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm
9．（2025九上·岳阳楼期中） 学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（　　）
A．水温从20℃加热到100℃，需要7min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y
C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D．在一个加热周期内水温不低于30℃的时间为min
10．（2025九上·岳阳楼期中）对于一元二次方程a+bx+c=0（a≠0），有下列说法：
①若ac＜0，则方程有两个不相等的实数根；
②若a﹣b+c=0，则方程一定有一个根为﹣1；
③若方程a+bx+c=0（a≠0）没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根；
④若方程有两实数根为1，-2，则a+bx+c 分解因式得a(x+1)(x-2)；
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
11．（2025九上·岳阳楼期中）若函数是反比例函数，则m= 　 　.
12．（2025九上·岳阳楼期中）若两个相似三角形，它们的相似比为1：2，那么这两个三角形的面积比是　 　.
13．（2025九上·岳阳楼期中） 已知实数a是一元二次方程x2+x-8＝0的根，则2a2+2a-1的值为　 　.
14．（2025九上·岳阳楼期中）点A（-3，a）、B（1，b）都在函数 图象上，则a，b的大小关系为　 　.
15．（2025九上·岳阳楼期中）如图，点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若AB＝2，则PA的长度是　 　.
16．（2025九上·岳阳楼期中） 如图， 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，CD⊥AB于D， 若AD=2，BD=8，则CD=　 　.
17．（2025九上·岳阳楼期中）如图，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B.若点C是x轴上任意一点，连接AC， BC，则△ABC的面积为　 　.
18．（2025九上·岳阳楼期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将x表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的.又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知：，且，则代数式的值为　 　.
19．（2025九上·岳阳楼期中）解方程：
（1） 2x2+4x-1＝0
（2）
20．（2025九上·岳阳楼期中） 已知一元二次方程x2+ kx-2=0的一个根是1 .
（1）方程的另一个根是多少？
（2）求k的值.
21．（2025九上·岳阳楼期中） 如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm，求线段BF的长．
22．（2025九上·岳阳楼期中） 关于x的一元二次方程+3m=0
（1）试判断该方程根的情况：
（2）若，是该方程的两个实数根，且，求m的值.
23．（2025九上·岳阳楼期中）某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件.
（1）求平均每次降价盈利减少的百分率；
（2）为尽快减少库存，商场决定再次降价.每件上衣每降价1元，每天可多售出2件.若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？
24．（2025九上·岳阳楼期中） 一次函数和反比例函数 的图象相交于A（2，4），B（-4，m），与x轴交于点C.连接OA，OB.
（1）分别求出一次函数和反比例函数 的表达式
（2）求△AOB的面积.
25．（2025九上·岳阳楼期中） 请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以．
把代入已知方程，得．化简，得
故所求方程为．这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：　 　 ．
（2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
（3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为2，，求一元二次方程的两根．
26．（2025九上·岳阳楼期中） 已知：Rt△ABC与Rt△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，EF＝8cm，AC＝16cm，BC＝12cm．现将Rt△ABC和Rt△DEF按图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，并按如下方式运动．
运动一：如图2，△ABC从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动，DE与AC相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动；
运动二：在运动一的基础上，如图3，Rt△ABC绕着点C顺时针旋转，CA与DF交于点Q，CB与DE交于点P，此时点Q在DF上匀速运动，速度为，当QC⊥DF时暂停旋转；
运动三：在运动二的基础上，如图4，Rt△ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题：
（1）在Rt△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时　 　 s；
（2）在整个运动过程中，设Rt△ABC与Rt△DEF的重叠部分的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段AB的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：反比例函数y=的系数k=-2，
∵k<0，
∴反比例函数y=的图象在第二、四象限.
故选：C.
【分析】由反比例函数图象判断即可.
2．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-6x+1=0，
配方，得x2-6x+32-32+1=0，
即（x-3）2=8.
故选：B .
【分析】该方程的二次项系数是1，配方时，在方程的左边加上一次项系数除以2的平方，即=32，为了使等式仍然成立，要再减去32，再移项得出答案即可．
3．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵2a=3b，
∴.
故选：B.
【分析】根据比例的基本性质，可得内项之积等于外项之积.
4．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，AD：DB=3：2，
∴AE：EC=3：2，
∴AE：AC=3：5．
故选：D．
【分析】由DE∥CB，根据平行线分线段成比例定理，可求得AE、AC的比例关系．
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程x2﹣3x+k＝0有实数根，
∴b2-4ac=(-3)2-4×1×k=9-4k≥0，
∴k≤.
∵-3<-1<1<<3，
∴k的值可能是-3，-1，1，而不可能是3.
故选：D.
【分析】由题意得，根的判别式≥0，依此求出k的取值范围，再逐一判断选项中的值是否符合k的取值范围.
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，
∴∠BAC=∠DAE.
A.∵∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
故A选项能判定，不符合题意；
B.AC与BC的夹角是∠C，AE与DE的夹角是∠E，题目中未给出∠C与∠E是否相等，故B选项不能判定，符合题意；
C.AB与AC的夹角是∠BAC，AD与AE的夹角是∠DAE，
∵，∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，
故C选项能判定，不符合题意；
D.∵∠BAC=∠DAE，∠C＝∠E，
∴△ABC∽△ADE，
故D选项能判定，不符合题意；
故选：B.
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断.
7．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图可得，
在点A（2，1）的右侧，直线始终在双曲线的上方，此时y1>y2，x的取值范围是x>2；
在点B（-1，-2）的右侧且点O的左侧，直线始终在双曲线的上方，此时y1>y2，x的取值范围是-1综上，当y1>y2时，x的取值范围是-12；
故选：C.
【分析】根据数形结合的思想，当y1>y2时，表示图象上直线在双曲线的上方，求此时自变量x的取值范围即可.
8．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：由题意得剩下的矩形的长与原来矩形的宽相等，为6cm.
根据相似多边形的性质，可得：
，
即，
解得剩下矩形的宽=cm.
∴剩下矩形的面积是：6×=27（cm2）.
故选：B.
【分析】由题意可得剩下的矩形的长与原来矩形的宽相等；由剩下的矩形与原矩形相似，根据“相似多边形对应边成比例”可得，将数代入可求得剩下矩形的宽，从而可求出剩下矩形的面积.
9．【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：A.由题意得水温从20℃加热到100℃需要（100-20）÷10=8（min），故A选项错误，不符合题意；
B.水温下降过程中，设y=，将（8，100）代入得，k=8×100=800，则y与x的函数关系式是y=，故B选项错误，不符合题意；
C.水温下降过程中，当y=20时，则20=，解得x=40，
∴自动饮水机从开机加热8min到100℃，停止加热，到水温下降到20℃，总共40min，从通电开始到再自动加热，为一个周期，
∵从上午8点到9：30，经过了90min，
90÷40=2（组）……10（min），
∴9：30时，饮水机已经是第3次加热了，与通电时间10min的水温相同，为y=（℃），
故C选项错误，不符合题意；
D.从通电开始，经过（30-20）÷10=1min加热到30℃，
在水温下降过程中，令y=30，则30=，解得x=，
∴在一个加热周期内水温不低于30℃的时间为（min），
故D选项，符合题意；
故选：D.
【分析】开机加热时每分钟上升10℃，依此求出加热到100℃的时间，再判断A选项即可；水温下降过程中，y与x成反比例关系，则可设y=，由前面求得的加热时间和水温，代入y=求k即可判断B选项；由题意可得水温20℃从开机加热到水温下降到20℃，这个总个过程为一个周期，求出一个周期的时间，判断9：30时刻是一个周期的第几分钟，依此解答再判断C选项；在一个加热周期内，计算出水温从加热到30℃开始算，到下降至30℃经过的时间即可判断D选项.
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①当ac<0时，则-4ac>0，
∴b2-4ac>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故说法①正确；
②当x=-1时， 方程的左边=a+bx+c=a·（-1）2+b·(-1)+c=a-b+c=0=方程的右边，
∴x=-1是方程的根，
故说法②正确；
③∵方程a+bx+c=0（a≠0）没有实数根，
∴b2-4ac<0，
即0≤b2<4ac，
∴b2+4ac>0，
而方程根的判别式是b2+4ac
∴该方程必有两个不相等的实数根，
故说法③正确；
④若方程有两个实数根为1，-2，则a+bx+c 分解因式得a(x-1）（x+2），
故说法④错误.
综上，说法①②③正确，
故选：A.
【分析】根据ac<0和根的判别式，判断根的判别式与0的大小关系，依此判断说法①；将x=-1代入方程左边，结合条件a﹣b+c=0，检验x=-1是否是方程的根，依此判断说法②；依据第一个方程根的判别式<0，判断第二个方程根的判别式与0的大小关系，即可判断说法③；方程的右边是0，若方程有两个不同实数根x1，x2，则方程的左边可因式分解为a(x-x1)(x-x2)，依此判断说法④.
11．【答案】-1
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：由反比例函数的定义可得m=-1，
故填：-1.
【分析】由反比函数的定义，可知反比例函数解析式为y=(k≠0）或写成y=k·x-1(k≠0）.
12．【答案】1：4
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：由相似三角形的性质，可得
这两个三角形的面积比是相比的平方为.
故填：1：4.
【分析】根据相似三角形的性质解答即可.
13．【答案】15
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：当x=a，代入方程得a2+a-8=0，
∴a2+a=8，
∴2a2+2a-1=2（a2+a）-1=2×8-1=15.
故填：15.
【分析】此题若求出方程的根，再代入代数式求值会比较复杂；由代数式2a2+2a-1，可得2a2+2a-1=2（a2+a）-1，将x=a代入原方程可求得a2+a的值，再整体代入代数式可求得值.
14．【答案】a【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点A（-3，a）代入，得a==，
将点B（1，b）代入，得b==4，
∴a故填：a【分析】将点 A（-3，a）、B（1，b）代入函数求得a，b的值再比较即可.
15．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，
∴，
∴，
∴PA=.
故填：.
【分析】由黄金分割点可得，依此解答.
16．【答案】4
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠CDB=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD~△CDB，
∴，
即，
解得CD=4.
故填：4.
【分析】证明△ACD~△CDB，根据相似三角形的对应边成比例，列出方程求CD即可.
17．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：连接OA，OB.
∵ABx轴，
∴，
∵点A，点B分别在反比例函数和的图象上，
∴.
∴.
故填：3.
【分析】连接OA，OB，由平行线间的距离相等，可得，根据反比例函数系数k的几何意义可求得，从而求出.
18．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
=2x.
解方程，得x1=，x2=（舍），
∴上式=2x=2×=.
故：.
【分析】由题目给出的“降次法”，可得，将其代入，一步一步将代数式化简到最简的结果，再解出的根（x>0），代入化简的结果求值即可.
19．【答案】（1）解：△＝42-4×2×（-1）＝24＞0，
∴，
∴x1，x2；
（2）解：，
∴或，
∴，.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据一元二次方程的特征，运用合适的解法.
（1）此题适合用公式法或配方法；
（2）此题适用运用因式分解法，把（2x-5）看成一个整体进行因式分解即可.
20．【答案】（1）解：∵，
∴ ；
（2）解：∵
∴1+（-2）=-k，
∴.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）由一元二次方程根与系数的关系可得，由方程可得的值，已知一个根，则可求另外一个根；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得，由（1）可得两个根，代入前面的式子，可求得k的值.
21．【答案】解：∵DE//BC，
∴∠B=∠ADE，
又∵DF//AC，
∴∠A=∠BDF，
∴△ADE∽△DBF，
∴，即，
∴BF=10.
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】已知AD，BD，DE，求BF，观察图形可知AD和DE是△ADE的边，BD和BF是△DBF的边，分析题目：由平行线的性质可证得△ADE∽△DBF，从而根据相似三角形的对应边成比例，可求得BF.
22．【答案】（1）解：∵△=，
∴ 方程总有实数根；
（2）解：∵，，
∴原式=，
即2（3+m）-3·3m=18，
解得m=.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式△=，代入该方程的a，b，c，判断判别式△的大小：当△>0时，原方程有两个不相等的实数根；当△=0时，原方程有两个相等的实数根；当△<0时，原方程没有实数根；
（2）方程可化为，则此题可运用一元二次方程的根与系数的关系，由方程求得，，代入解方程即可.
23．【答案】（1）解：设平均每次降价盈利减少的百分率为x，
依题意，得100（1-x）2＝81，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），
答：平均每次降价盈利减少的百分率为10%；
（2）解：设每件应降价y元，则每天可售出（20+2y）件，
依题意，得（81-y）（20+2y）＝2940，
解得：y1＝60，y2＝11.
当y=60时，每天可售出20+2y=20+2×60=140(件），
当y=11时，每天可售出20+2y=20+2×11=42(件），
∵要尽快减少库存，∴y＝60.
答：每件应降价60元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由题意可知等量关系：100×（1-平均每次降价盈利减少的百分率）2=81，依此设未知数，列出方程解答即可；
（2）设每件应降价y元，则每天多售2y件，每天可售出（20+2y）件，每件可以盈利（81-y）元，根据“销量×单件盈利=总盈利”列出方程的根，根要符合题目条件.
24．【答案】（1）解：∵反比例函数 的图象过点A（2，4），
∴，
解得：k2＝8，
∴反比例函数的表达式为：.
将点B（-4，m）代入得：，
∴ B（-4，-2）.
将A（2，4）、B（-4，-2）代入得：
，解得，
∴一次函数的表达式为：y＝x+2.
（2）解：∵点C是一次函数y＝x+2与x轴的交点，
令y＝0，则x＝-2，
∴C（-2，0） .
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×4×2+×2×2＝6.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）反比例函数有一个待定的系数，将A（2，4）代入表达式即可求得k2，而一次函数有2个待定的系数，则需先求出B（-4，m），再讲A，B两点代入一次函数表达式，求出k1和b即可；
（2）此题直接求△AOB的任意一条高比较繁琐，可转化为S△AOB＝S△AOC+S△BOC，而△AOC和△BOC的底OC由题意易求出，OC对应的高分别是|yA|，|yB|，依此即可解答.
25．【答案】（1）
（2）解：设所求方程的根是，则，所以，
由条件可得，
化简，得，
故所求方程为；
（3）解：由（2）可知，对方程两边同时除以，
得，
则方程的两根是两根的倒数，
所以方程的两根分别是、.
【知识点】换元法解一元二次方程；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】（1）解：设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y.
把x=-y代入已知方程，得(-y)2+(-y)-2=0，化简，得y2-y-2=0.
故所求方程为y2-y-2=0.
故填：y2-y-2=0.
【分析】（1）根据材料中的方法，设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y，将x=-y代入原方程化简即可；
（2）根据材料中的方法，设所求方程的根为y，则，所以，将代入原方程化简即可；
（3）观察方程和可知a，c的位置刚好相反，而方程可化为，即可得两个方程根的关系，根据关系写出答案即可.
26．【答案】（1）10
（2）解：运动一：如图2，由（1）可得0≤t≤4，
易得CQ=CE=t cm，
∴S△ECQt×t，
∴S与t之间的函数关系式为：St2（0≤t≤4），
运动二：如图3，连接CD，由（1）可得4∵∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，
∴∠F=∠DEF＝45°，
∵点C是EF的中点，
∴EC=DC=CF=EF=4cm，∠DCE=90°，
∴∠CDQ=∠F=45°.
∵∠ACB=∠BCD+∠DCQ=90°，∠DCE=∠ECP+∠BCD=90°，
∴∠DCQ=∠ECP.
在△ECP和△DCQ中，
∵，
∴△ECP≌△DCQ（ASA），
∴S=，
∴S与t之间的函数关系式为：S＝8（4＜t＜6）；
运动三：如图4，由（1）可得6≤t≤10，
∵∠EDF=90°，∠ACB=90°，CQ⊥DF，
∴四边形QDPC为矩形，
∴CF＝4﹣（t﹣6）＝10﹣t，
EC＝8﹣CF＝t﹣2，
∴CQ=，
EP=，
∴S矩形QDCP（10-t）（t﹣2），
t2+6t﹣10；
∴S与t之间的函数关系式为：St2+6t﹣10（6≤t≤10）；
（3）解：存在点Q，理由如下：
如图5，运动一：
∵点Q在线段AB的中垂线上，连接BQ，
∴AQ＝QB，
∴AC﹣CQ，
又∵AC＝16cm，BC＝12cm，
解得，CQ＝3.5cm，
∵∠DEF＝45°，
∴EC＝3.5cm，
此时，t为：3.5÷1＝3.5（s）.
如图6，运动二：
同理：CQ＝3.5，
过点C作CM⊥DF交DF于点M，则DM=MF=CM＝2，
在Rt△QCM中，QM，
∴DQ＝2，
∴t＝（2）4＝6；
运动三时，CQ最大为23.5，
所以无解．
综上，t＝3.5或6时，点Q正好在线段AB的中垂线上．
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：①在运动一时，如图2，过点D作DG⊥EF于点G，
∵∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，
∴∠F=∠DEF＝45°，
∴DE=DF，
∴EG=GF=DG=EF=4cm，
当点Q与点D重合时，点C与点G重合，
此时运动时间是4÷1=4（s）；
②在运动二时，如图3，连接CD，过点C作CH⊥DF于点H，
则DH=FH==（cm）.
当QC⊥DF时，点Q与点G重合，
此时运动时间是2÷=2（s）；
③在运动三时，当点C与点F重合时，此时运动时间是4÷1=4（s），
综上， 在Rt△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗4+2+4=10（s）；
故填：10；
【分析】（1）按三次运动依次分析从开始到结束时，运动点运动的距离，再根据时间=运动距离÷运动速度，求出每次运动的时间，再求和即可；
（2）按三次运动依次分析从开始到结束时，重叠部分的形状，形状若不变，根据面积公式先求出相关线段的长或用t表示出来，再分别求出重叠部分的面积即可；
（3）已知点Q正好在线段AB的中垂线上，根据勾股定理可求出CD的长是一个定值，依次分析三次运动中可能存在的t即可.
1 / 1湖南省岳阳市岳阳楼区2025-2026学年上学期九年级期中数学测试卷
1．（2025九上·岳阳楼期中） 已知反比例函数 的图象必在（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第一、三象限
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：反比例函数y=的系数k=-2，
∵k<0，
∴反比例函数y=的图象在第二、四象限.
故选：C.
【分析】由反比例函数图象判断即可.
2．（2025九上·岳阳楼期中）用配方法解一元二次方程x2-6x+1＝0时，下列变形正确的是（　　）
A．（x+3）2＝8 B．（x-3）2＝8
C．（x+3）2＝ 10 D．（x-3）2＝10
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-6x+1=0，
配方，得x2-6x+32-32+1=0，
即（x-3）2=8.
故选：B .
【分析】该方程的二次项系数是1，配方时，在方程的左边加上一次项系数除以2的平方，即=32，为了使等式仍然成立，要再减去32，再移项得出答案即可．
3．（2025九上·岳阳楼期中）已知2a＝3b（ab≠0），则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵2a=3b，
∴.
故选：B.
【分析】根据比例的基本性质，可得内项之积等于外项之积.
4．（2025九上·岳阳楼期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB=3：2，则AE：AC等于（　　）
A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：5
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，AD：DB=3：2，
∴AE：EC=3：2，
∴AE：AC=3：5．
故选：D．
【分析】由DE∥CB，根据平行线分线段成比例定理，可求得AE、AC的比例关系．
5．（2025九上·岳阳楼期中） 若关于x的方程x2﹣3x+k＝0有实数根，则k的值不可能是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程x2﹣3x+k＝0有实数根，
∴b2-4ac=(-3)2-4×1×k=9-4k≥0，
∴k≤.
∵-3<-1<1<<3，
∴k的值可能是-3，-1，1，而不可能是3.
故选：D.
【分析】由题意得，根的判别式≥0，依此求出k的取值范围，再逐一判断选项中的值是否符合k的取值范围.
6．（2025九上·岳阳楼期中）如图，已知∠1＝∠2，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠B＝∠ADE B． C． D．∠C＝∠E
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，
∴∠BAC=∠DAE.
A.∵∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
故A选项能判定，不符合题意；
B.AC与BC的夹角是∠C，AE与DE的夹角是∠E，题目中未给出∠C与∠E是否相等，故B选项不能判定，符合题意；
C.AB与AC的夹角是∠BAC，AD与AE的夹角是∠DAE，
∵，∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，
故C选项能判定，不符合题意；
D.∵∠BAC=∠DAE，∠C＝∠E，
∴△ABC∽△ADE，
故D选项能判定，不符合题意；
故选：B.
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断.
7．（2025九上·岳阳楼期中） 如图，直线y1＝x-1与双曲线y2 交于点A（2，1）， B（-1，-2），当y1＞y2时，则x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图可得，
在点A（2，1）的右侧，直线始终在双曲线的上方，此时y1>y2，x的取值范围是x>2；
在点B（-1，-2）的右侧且点O的左侧，直线始终在双曲线的上方，此时y1>y2，x的取值范围是-1综上，当y1>y2时，x的取值范围是-12；
故选：C.
【分析】根据数形结合的思想，当y1>y2时，表示图象上直线在双曲线的上方，求此时自变量x的取值范围即可.
8．（2025九上·岳阳楼期中） 如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（　　）
A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：由题意得剩下的矩形的长与原来矩形的宽相等，为6cm.
根据相似多边形的性质，可得：
，
即，
解得剩下矩形的宽=cm.
∴剩下矩形的面积是：6×=27（cm2）.
故选：B.
【分析】由题意可得剩下的矩形的长与原来矩形的宽相等；由剩下的矩形与原矩形相似，根据“相似多边形对应边成比例”可得，将数代入可求得剩下矩形的宽，从而可求出剩下矩形的面积.
9．（2025九上·岳阳楼期中） 学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（　　）
A．水温从20℃加热到100℃，需要7min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y
C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D．在一个加热周期内水温不低于30℃的时间为min
【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：A.由题意得水温从20℃加热到100℃需要（100-20）÷10=8（min），故A选项错误，不符合题意；
B.水温下降过程中，设y=，将（8，100）代入得，k=8×100=800，则y与x的函数关系式是y=，故B选项错误，不符合题意；
C.水温下降过程中，当y=20时，则20=，解得x=40，
∴自动饮水机从开机加热8min到100℃，停止加热，到水温下降到20℃，总共40min，从通电开始到再自动加热，为一个周期，
∵从上午8点到9：30，经过了90min，
90÷40=2（组）……10（min），
∴9：30时，饮水机已经是第3次加热了，与通电时间10min的水温相同，为y=（℃），
故C选项错误，不符合题意；
D.从通电开始，经过（30-20）÷10=1min加热到30℃，
在水温下降过程中，令y=30，则30=，解得x=，
∴在一个加热周期内水温不低于30℃的时间为（min），
故D选项，符合题意；
故选：D.
【分析】开机加热时每分钟上升10℃，依此求出加热到100℃的时间，再判断A选项即可；水温下降过程中，y与x成反比例关系，则可设y=，由前面求得的加热时间和水温，代入y=求k即可判断B选项；由题意可得水温20℃从开机加热到水温下降到20℃，这个总个过程为一个周期，求出一个周期的时间，判断9：30时刻是一个周期的第几分钟，依此解答再判断C选项；在一个加热周期内，计算出水温从加热到30℃开始算，到下降至30℃经过的时间即可判断D选项.
10．（2025九上·岳阳楼期中）对于一元二次方程a+bx+c=0（a≠0），有下列说法：
①若ac＜0，则方程有两个不相等的实数根；
②若a﹣b+c=0，则方程一定有一个根为﹣1；
③若方程a+bx+c=0（a≠0）没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根；
④若方程有两实数根为1，-2，则a+bx+c 分解因式得a(x+1)(x-2)；
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①当ac<0时，则-4ac>0，
∴b2-4ac>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故说法①正确；
②当x=-1时， 方程的左边=a+bx+c=a·（-1）2+b·(-1)+c=a-b+c=0=方程的右边，
∴x=-1是方程的根，
故说法②正确；
③∵方程a+bx+c=0（a≠0）没有实数根，
∴b2-4ac<0，
即0≤b2<4ac，
∴b2+4ac>0，
而方程根的判别式是b2+4ac
∴该方程必有两个不相等的实数根，
故说法③正确；
④若方程有两个实数根为1，-2，则a+bx+c 分解因式得a(x-1）（x+2），
故说法④错误.
综上，说法①②③正确，
故选：A.
【分析】根据ac<0和根的判别式，判断根的判别式与0的大小关系，依此判断说法①；将x=-1代入方程左边，结合条件a﹣b+c=0，检验x=-1是否是方程的根，依此判断说法②；依据第一个方程根的判别式<0，判断第二个方程根的判别式与0的大小关系，即可判断说法③；方程的右边是0，若方程有两个不同实数根x1，x2，则方程的左边可因式分解为a(x-x1)(x-x2)，依此判断说法④.
11．（2025九上·岳阳楼期中）若函数是反比例函数，则m= 　 　.
【答案】-1
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：由反比例函数的定义可得m=-1，
故填：-1.
【分析】由反比函数的定义，可知反比例函数解析式为y=(k≠0）或写成y=k·x-1(k≠0）.
12．（2025九上·岳阳楼期中）若两个相似三角形，它们的相似比为1：2，那么这两个三角形的面积比是　 　.
【答案】1：4
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：由相似三角形的性质，可得
这两个三角形的面积比是相比的平方为.
故填：1：4.
【分析】根据相似三角形的性质解答即可.
13．（2025九上·岳阳楼期中） 已知实数a是一元二次方程x2+x-8＝0的根，则2a2+2a-1的值为　 　.
【答案】15
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：当x=a，代入方程得a2+a-8=0，
∴a2+a=8，
∴2a2+2a-1=2（a2+a）-1=2×8-1=15.
故填：15.
【分析】此题若求出方程的根，再代入代数式求值会比较复杂；由代数式2a2+2a-1，可得2a2+2a-1=2（a2+a）-1，将x=a代入原方程可求得a2+a的值，再整体代入代数式可求得值.
14．（2025九上·岳阳楼期中）点A（-3，a）、B（1，b）都在函数 图象上，则a，b的大小关系为　 　.
【答案】a【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点A（-3，a）代入，得a==，
将点B（1，b）代入，得b==4，
∴a故填：a【分析】将点 A（-3，a）、B（1，b）代入函数求得a，b的值再比较即可.
15．（2025九上·岳阳楼期中）如图，点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若AB＝2，则PA的长度是　 　.
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，
∴，
∴，
∴PA=.
故填：.
【分析】由黄金分割点可得，依此解答.
16．（2025九上·岳阳楼期中） 如图， 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，CD⊥AB于D， 若AD=2，BD=8，则CD=　 　.
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠CDB=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD~△CDB，
∴，
即，
解得CD=4.
故填：4.
【分析】证明△ACD~△CDB，根据相似三角形的对应边成比例，列出方程求CD即可.
17．（2025九上·岳阳楼期中）如图，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B.若点C是x轴上任意一点，连接AC， BC，则△ABC的面积为　 　.
【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：连接OA，OB.
∵ABx轴，
∴，
∵点A，点B分别在反比例函数和的图象上，
∴.
∴.
故填：3.
【分析】连接OA，OB，由平行线间的距离相等，可得，根据反比例函数系数k的几何意义可求得，从而求出.
18．（2025九上·岳阳楼期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将x表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的.又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知：，且，则代数式的值为　 　.
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
=2x.
解方程，得x1=，x2=（舍），
∴上式=2x=2×=.
故：.
【分析】由题目给出的“降次法”，可得，将其代入，一步一步将代数式化简到最简的结果，再解出的根（x>0），代入化简的结果求值即可.
19．（2025九上·岳阳楼期中）解方程：
（1） 2x2+4x-1＝0
（2）
【答案】（1）解：△＝42-4×2×（-1）＝24＞0，
∴，
∴x1，x2；
（2）解：，
∴或，
∴，.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据一元二次方程的特征，运用合适的解法.
（1）此题适合用公式法或配方法；
（2）此题适用运用因式分解法，把（2x-5）看成一个整体进行因式分解即可.
20．（2025九上·岳阳楼期中） 已知一元二次方程x2+ kx-2=0的一个根是1 .
（1）方程的另一个根是多少？
（2）求k的值.
【答案】（1）解：∵，
∴ ；
（2）解：∵
∴1+（-2）=-k，
∴.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）由一元二次方程根与系数的关系可得，由方程可得的值，已知一个根，则可求另外一个根；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得，由（1）可得两个根，代入前面的式子，可求得k的值.
21．（2025九上·岳阳楼期中） 如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm，求线段BF的长．
【答案】解：∵DE//BC，
∴∠B=∠ADE，
又∵DF//AC，
∴∠A=∠BDF，
∴△ADE∽△DBF，
∴，即，
∴BF=10.
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】已知AD，BD，DE，求BF，观察图形可知AD和DE是△ADE的边，BD和BF是△DBF的边，分析题目：由平行线的性质可证得△ADE∽△DBF，从而根据相似三角形的对应边成比例，可求得BF.
22．（2025九上·岳阳楼期中） 关于x的一元二次方程+3m=0
（1）试判断该方程根的情况：
（2）若，是该方程的两个实数根，且，求m的值.
【答案】（1）解：∵△=，
∴ 方程总有实数根；
（2）解：∵，，
∴原式=，
即2（3+m）-3·3m=18，
解得m=.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式△=，代入该方程的a，b，c，判断判别式△的大小：当△>0时，原方程有两个不相等的实数根；当△=0时，原方程有两个相等的实数根；当△<0时，原方程没有实数根；
（2）方程可化为，则此题可运用一元二次方程的根与系数的关系，由方程求得，，代入解方程即可.
23．（2025九上·岳阳楼期中）某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件.
（1）求平均每次降价盈利减少的百分率；
（2）为尽快减少库存，商场决定再次降价.每件上衣每降价1元，每天可多售出2件.若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？
【答案】（1）解：设平均每次降价盈利减少的百分率为x，
依题意，得100（1-x）2＝81，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），
答：平均每次降价盈利减少的百分率为10%；
（2）解：设每件应降价y元，则每天可售出（20+2y）件，
依题意，得（81-y）（20+2y）＝2940，
解得：y1＝60，y2＝11.
当y=60时，每天可售出20+2y=20+2×60=140(件），
当y=11时，每天可售出20+2y=20+2×11=42(件），
∵要尽快减少库存，∴y＝60.
答：每件应降价60元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由题意可知等量关系：100×（1-平均每次降价盈利减少的百分率）2=81，依此设未知数，列出方程解答即可；
（2）设每件应降价y元，则每天多售2y件，每天可售出（20+2y）件，每件可以盈利（81-y）元，根据“销量×单件盈利=总盈利”列出方程的根，根要符合题目条件.
24．（2025九上·岳阳楼期中） 一次函数和反比例函数 的图象相交于A（2，4），B（-4，m），与x轴交于点C.连接OA，OB.
（1）分别求出一次函数和反比例函数 的表达式
（2）求△AOB的面积.
【答案】（1）解：∵反比例函数 的图象过点A（2，4），
∴，
解得：k2＝8，
∴反比例函数的表达式为：.
将点B（-4，m）代入得：，
∴ B（-4，-2）.
将A（2，4）、B（-4，-2）代入得：
，解得，
∴一次函数的表达式为：y＝x+2.
（2）解：∵点C是一次函数y＝x+2与x轴的交点，
令y＝0，则x＝-2，
∴C（-2，0） .
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×4×2+×2×2＝6.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）反比例函数有一个待定的系数，将A（2，4）代入表达式即可求得k2，而一次函数有2个待定的系数，则需先求出B（-4，m），再讲A，B两点代入一次函数表达式，求出k1和b即可；
（2）此题直接求△AOB的任意一条高比较繁琐，可转化为S△AOB＝S△AOC+S△BOC，而△AOC和△BOC的底OC由题意易求出，OC对应的高分别是|yA|，|yB|，依此即可解答.
25．（2025九上·岳阳楼期中） 请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以．
把代入已知方程，得．化简，得
故所求方程为．这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：　 　 ．
（2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
（3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为2，，求一元二次方程的两根．
【答案】（1）
（2）解：设所求方程的根是，则，所以，
由条件可得，
化简，得，
故所求方程为；
（3）解：由（2）可知，对方程两边同时除以，
得，
则方程的两根是两根的倒数，
所以方程的两根分别是、.
【知识点】换元法解一元二次方程；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】（1）解：设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y.
把x=-y代入已知方程，得(-y)2+(-y)-2=0，化简，得y2-y-2=0.
故所求方程为y2-y-2=0.
故填：y2-y-2=0.
【分析】（1）根据材料中的方法，设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y，将x=-y代入原方程化简即可；
（2）根据材料中的方法，设所求方程的根为y，则，所以，将代入原方程化简即可；
（3）观察方程和可知a，c的位置刚好相反，而方程可化为，即可得两个方程根的关系，根据关系写出答案即可.
26．（2025九上·岳阳楼期中） 已知：Rt△ABC与Rt△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，EF＝8cm，AC＝16cm，BC＝12cm．现将Rt△ABC和Rt△DEF按图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，并按如下方式运动．
运动一：如图2，△ABC从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动，DE与AC相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动；
运动二：在运动一的基础上，如图3，Rt△ABC绕着点C顺时针旋转，CA与DF交于点Q，CB与DE交于点P，此时点Q在DF上匀速运动，速度为，当QC⊥DF时暂停旋转；
运动三：在运动二的基础上，如图4，Rt△ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题：
（1）在Rt△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时　 　 s；
（2）在整个运动过程中，设Rt△ABC与Rt△DEF的重叠部分的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段AB的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）10
（2）解：运动一：如图2，由（1）可得0≤t≤4，
易得CQ=CE=t cm，
∴S△ECQt×t，
∴S与t之间的函数关系式为：St2（0≤t≤4），
运动二：如图3，连接CD，由（1）可得4∵∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，
∴∠F=∠DEF＝45°，
∵点C是EF的中点，
∴EC=DC=CF=EF=4cm，∠DCE=90°，
∴∠CDQ=∠F=45°.
∵∠ACB=∠BCD+∠DCQ=90°，∠DCE=∠ECP+∠BCD=90°，
∴∠DCQ=∠ECP.
在△ECP和△DCQ中，
∵，
∴△ECP≌△DCQ（ASA），
∴S=，
∴S与t之间的函数关系式为：S＝8（4＜t＜6）；
运动三：如图4，由（1）可得6≤t≤10，
∵∠EDF=90°，∠ACB=90°，CQ⊥DF，
∴四边形QDPC为矩形，
∴CF＝4﹣（t﹣6）＝10﹣t，
EC＝8﹣CF＝t﹣2，
∴CQ=，
EP=，
∴S矩形QDCP（10-t）（t﹣2），
t2+6t﹣10；
∴S与t之间的函数关系式为：St2+6t﹣10（6≤t≤10）；
（3）解：存在点Q，理由如下：
如图5，运动一：
∵点Q在线段AB的中垂线上，连接BQ，
∴AQ＝QB，
∴AC﹣CQ，
又∵AC＝16cm，BC＝12cm，
解得，CQ＝3.5cm，
∵∠DEF＝45°，
∴EC＝3.5cm，
此时，t为：3.5÷1＝3.5（s）.
如图6，运动二：
同理：CQ＝3.5，
过点C作CM⊥DF交DF于点M，则DM=MF=CM＝2，
在Rt△QCM中，QM，
∴DQ＝2，
∴t＝（2）4＝6；
运动三时，CQ最大为23.5，
所以无解．
综上，t＝3.5或6时，点Q正好在线段AB的中垂线上．
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：①在运动一时，如图2，过点D作DG⊥EF于点G，
∵∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，
∴∠F=∠DEF＝45°，
∴DE=DF，
∴EG=GF=DG=EF=4cm，
当点Q与点D重合时，点C与点G重合，
此时运动时间是4÷1=4（s）；
②在运动二时，如图3，连接CD，过点C作CH⊥DF于点H，
则DH=FH==（cm）.
当QC⊥DF时，点Q与点G重合，
此时运动时间是2÷=2（s）；
③在运动三时，当点C与点F重合时，此时运动时间是4÷1=4（s），
综上， 在Rt△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗4+2+4=10（s）；
故填：10；
【分析】（1）按三次运动依次分析从开始到结束时，运动点运动的距离，再根据时间=运动距离÷运动速度，求出每次运动的时间，再求和即可；
（2）按三次运动依次分析从开始到结束时，重叠部分的形状，形状若不变，根据面积公式先求出相关线段的长或用t表示出来，再分别求出重叠部分的面积即可；
（3）已知点Q正好在线段AB的中垂线上，根据勾股定理可求出CD的长是一个定值，依次分析三次运动中可能存在的t即可.
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