资源简介

浙江省宁波十五中2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷
1．（2025八上·宁波期中）下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·宁波期中）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（　　）
A．a=-2 B．a=-1 C．a= 1 D．a=2
3．（2025八上·宁波期中）已知a＜b，下列不等式中，成立的是（　　）
A．a+2＞b+2 B． C．-2a＞-2b D．a-2＞b-2
4．（2025八上·宁波期中）等腰三角形的一个角为70°，则它的底角为（　　）
A．70° B．55° C．55°或70° D．35°或70°
5．（2025八上·宁波期中）若关于x的不等式x≤4+m的解集如图所示，则m的值为（　　）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
6．（2025八上·宁波期中）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025八上·宁波期中）我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八上·宁波期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）
A．6 个 B．7 个 C．8 个 D．9个
9．（2025八上·宁波期中）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（2025八上·宁波期中）如图，BD是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，AC＝12，DE∥BC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点；连接PA，PC，PQ，AQ，给出下列结论：①PC+PQ≥AQ；②AE+DE＝BC；③PC+PQ的最小值是；④若PA平分∠BAC，则△APD的面积为9．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
11．（2025八上·宁波期中）若直角三角形的一个锐角为15°，则另一个锐角等于　 　.
12．（2025八上·宁波期中）用不等式表示“与的差大于2”　 　．
13．（2025八上·宁波期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，CE是∠ACB的平分线，交AB于点E，∠A=30°，∠B=52°，则∠DCE的度数为　 　.
14．（2025八上·宁波期中）如图，BD是△ABC的中线，CE是△BCD的中线，DF是△CDE的中线，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为　 　.
15．（2025八上·宁波期中）如图，在长方形ABCD中，AB=10，AD=12，点E为边AD上的一个动点，把△ABE沿BE折叠，若点A的对应点A'刚好落在边AD的垂直平分线MN上，则AE的长为　 　.
16．（2025八上·宁波期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE=7，则△CFP与△AEP的面积差是　 　.
17．（2025八上·宁波期中）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标.
（2）直接写出AB与A1B1之间的位置关系.
18．（2025八上·宁波期中） 解不等式组 ，结合题意完成本题的解答.
（1）解不等式①，得　 　；
（2）解不等式②，得　 　；
（3）把不等式①和②的解集在如下的数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为　 　.
19．（2025八上·宁波期中）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝80°，求∠EBC的度数．
20．（2025八上·宁波期中）如图，在中，．
（1）用直尺和圆规作的中垂线，交于点D（要求保留作图痕迹）；
（2）连接，若，求的周长
21．（2025八上·宁波期中）某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，型号每台进价为200元，型号每台进价分别为150元，下表是近两天的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一天 3台 5台 1620元
第二天 4台 10台 2760元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求种型号的电风扇最多能采购多少台
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1060元的目标 若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.
22．（2025八上·宁波期中）对m、n定义一种新运算“▽”，规定：m▽n=am-bn+5（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5▽6=5a-6b+5.
（1）已知2▽3=1，3▽（-1）=10.
①求a、b的值；
②若关于x的不等式组 有且只有两个整数解，求字母t的取值范围；
（2）若运算“▽”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“m▽n=n▽m”都成立，试探究a、b应满足的关系.
23．（2025八上·宁波期中）如图1，等边△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，连接AD，BE交于点F，CD=AE.
（1）求∠BFD的度数；
（2）如图2，连接CF，若CF⊥BE，求证：BF=2AF；
（3）如图3，在（2）的条件下，将AD沿CF翻折交AC于点G，过点C作CF的垂线交直线FG于点H，若BF=4.
①求证：BF=HF；
②求FG GH的值.（请直接写出结果）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，符合题意；
B，C，D选项不是轴对称图形，不符合题意.
故选：A.
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可.
2．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=-2，
∵（-2）2＞1，但是a=-2＜1，
∴A符合题意；
故答案为：A．
【分析】此题实际上是用举例子的方法来证明结论的错误性，只要举出的例子满足 a2＞1，但又不满足a＞1 即可。
3．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.在不等式aB.在不等式aC.在不等式a-2b，故C选项正确，符合题意；
D.在不等式a故选：C．
【分析】根据不等式的性质：不等式两边都加上（或都减去）同一个数，所得的不等式仍然成立（不等号不变）；不等式两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍然成立（不等号不变）；不等式两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号方向，所得的不等式仍然成立．据此分析各选项.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：已知一个角的度数是70°，
当顶角的度数是70°时，底角是（180°-70°）÷2=55°；
当底角的度数是70°时，两个底角的度数都是70°.
则它的底角是55°或70°.
故选：C.
【分析】等腰三角形有一个顶角，两个相等的底角，已知度数的这个角有可能是顶角，也有可能是底角，分类讨论求出底角即可.
5．【答案】B
【知识点】不等式的解及解集；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：由数轴可得不等式的解集是x≤3，则4+m=3，则m=-1.
故选：B.
【分析】根据数轴上表示x的范围可得不等式的解集，根据解集求出m的值即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A、由作图可知AC的垂直平分线交AB于点D，
∴AD=DC，
∴∠A=∠ACD
∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠A，∠ADC=∠B+∠BCD，故A不符合题意；
B、由作图可知BC的垂直平分线交AB于点D，
∴BD=DC，
∴∠B=∠BCD，
∠ADC=∠B+∠BCD=2∠B，故B符合题意；
C、∠ADC=∠B+∠BCD，故C不符合题意；
D、由作图可知BD=BC
∴∠BDC=∠BCD，
∵∠ADC=∠B+∠BCD，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】观察各选项，可知选项A，B分别作AC，BC的垂直平分线，再根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，易证线段相等，再利用等边对等角，可证得相关的角相等，然后利用三角形的外角的性质，可得到∠CDB=∠A+∠ACD，就可对A，B作出判断；而C，D只能证得∠CDB=∠A+∠ACD，由此可对C，D作出判断。
7．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，，
.
故答案为：D.
【分析】由题意可得AD′=AD=2，AO=AB=1，利用勾股定理可得OD′，据此不难得到点C′的坐标.
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
9．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，
∴PE=PE'，
∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，
此时EP+FP的值最小，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=60°，
∵E'F⊥AB，
∴∠FE'B=30°，
∴BE'=2BF，
∵BF=5，BE=4，
∴E'B=10，
∵CE=CE'，
∴10=2CE+BE=2CE+4，
∴CE=3，
∴BC=7，
故答案为：A．
【分析】作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，此时EP+FP的值最小，由题意得出∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，得出10=2CE+BE=2CE+4，解出CE=3，即可得出BC=7。
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，
∴
∴BD垂直平分AC，
∴
∴
∵
∴则①正确；
∵
∴
∵BD是△ABC的角平分线，
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴则②正确；
∵
∴当AP+PQ最小时，PC+PQ最小，
过点A作AM⊥BC于M，如图：
当点P在AM和BD的交点上时，此时AP+PQ=AM，此时AP+PQ最小，且最小值为AM，
∵BD平分∠ABC，
∴
∴
∵
∴则③错误；
过点P作PN⊥AB于点N，如图：
∵PA平分∠BAC，PD⊥AC，
∴
∴
∵
∴则④正确；
综上所述，正确的有：①②④，
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质可得到BD垂直平分AC，进而得到AP=PC，再根据三角形三边关系定理即可判断①；根据角平分线的定义、平行线的性质和等腰三角形的性质即可判断②；过点A作AM⊥BC于M，当点P在AM和BD的交点上时，此时AP+PQ最小，最后根据等面积法即可判断③；过点P作PN⊥AB于点N，得到PN=PD，根据即可判断④.
11．【答案】75°
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两个锐角互余，
∴另一个锐角等于90°-15°=75°.
故填：75°.
【分析】由直角三角形的性质“直角三角形的两个锐角互余”可求得另外一个锐角的度数.
12．【答案】5a－6b＞2
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：由题意得：5a 6b＞2，
故答案为：5a 6b＞2．
【分析】由题意列不等式即可求解．
13．【答案】11°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵∠A=30°，∠B=52°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-52°=98°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE=∠BCE=49°，
∵CD ⊥AB于点D，
∴∠BCD=90°-∠B=38°，
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=49°-38°=11°.
故填：11°.
【分析】求∠DCE，可由∠DCE=∠ACD-∠ACE或∠DCE=∠BCE-∠BCD求得，已知CE是∠ACB的角平分线，则∠ACE=∠BCE=，由三角形的内角和定理可求得∠ACB，由直角三角形的性质可求得∠ACD和∠BCD，选一种思路解答即可.
14．【答案】
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴，
∵CE是△BCD的中线，
∴，
∵DF是△CDE的中线，
∴.
故填：.
【分析】由三角形中线的定义，可知中线把三角形分成两部分，两部分的面积相等，依此推理解答即可.
15．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵△ABE沿BE折叠，点A的对应点A’刚好落在边AD的垂直平分线MN上，
∴AE=A’E，A’B=AB=10，MN AD，AM=AD=6，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠ABN=90°，
∴∠A’NB=90°，
∴四边形ABNM是长方形，
∴BN=AM=6，MN=AB=10.
∴在Rt△A’BN中，A’N=，
∴A’M=MN-A’N=10-8=2.
在Rt△A’ME中，设A’E=AE=x，则ME=6-x，
∵，
∴，解得x=.
故填：.
【分析】由折叠的性质可得AE=A’E，A’B=AB=10，由MN是AD的垂直平分线和四边形ABCD是长方形，可证得四边形ABNM是长方形，则BN=AM=AD=6，MN=AB=10，根据勾股定理先求出A’N，再由勾股定理构造方程解答即可.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为28，
∴，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，
∵AE+BE=7，
∴，
∴AE·BE.
∴.
如图，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH//FG，EF//GH，∠FEH=∠FGH=90°，EH=FG=EF=GH，
∴∠PAE=∠QCG，∠AEP=∠CGQ=90°，
∵AH=CG，
∴AE=AH-EH，CG=CF-FG，
∴AE=CG，
∴△AEP△CGQ，
∴，EP=GQ，
∴，
∵EF=GH，PF=EF-EP，HQ=GH-GQ，
∴PF=HQ，
∴.
∴△CFP与△AEP的面积差是.
故填：.
【分析】观察图形，根据题意可证明△AEP△CGQ，则△CFP与△AEP的面积差等于的面积，也是正方形EFGH面积的一半；已知正方形ABCD的面积和AE+BE=7，根据勾股定理和完全平方和变形公式，求得AE·BE的值，从而求出正方形EFGH的面积.
17．【答案】（1）解：如图△A1B1C1即为所作，点B1的坐标是（-1，-1）；
（2）解：AB⊥A1B1
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：（2）如图，分别延长AB，A1B1交于点D，
∵每个小方格是正方形，
∴∠ADC=∠A1DC=45°，
∴∠ADA1=90°，
∴AB⊥A1B1.
【分析】（1）根据轴对称图形的性质，作出△A1B1C1，再根据点B1所在的格点和象限坐标特征，写出点B1的坐标即可；
（2）可分别延长AB和A1B1，刚好交于一个格点，由小方格是正方形的特点可得∠ADA1的度数，即可得出结论.
18．【答案】（1）x≥-1
（2）x＜3
（3）解：
（4）-1≤x＜3
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：3(x+2)≥2x+5，
去括号，得3x+6≥2x+5，
移项，得3x-2x≥5-6，
合并同类项，得x≥-1，
故填：x≥-1；
（2）解：，
去分母，得4x-(1+3x)<1，
去括号，得4x-1-3x<2，
移项，得4x-3x<2+1
合并同类项，得x<3，
故填：x<3；
（4）由（3）所画的解集可得原不等式组的解集是-1≤x＜3，
故填：-1≤x＜3.
【分析】（1）按解一元一次不等式的一般步骤解答即可；
（2）按解一元一次不等式的一般步骤解答即可；
（3）利用数轴表示解集即可；
（4）取两个不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集.
19．【答案】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝80°，
∴∠EBC＝40°．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）结合对顶角相等，利用"AAS"即可证明△ABE≌△DCE；
（2）根据全等三角形的性质得到BE=CE，再根据等腰三角形的性质得到∠EBC＝∠ECB，最后根据三角形外角性质即可求出∠EBC的度数.
20．【答案】（1）解：如图所示：直线即为所求；
（2）解：由（1）可知，直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长：，
∵，
∴的周长为：．
21．【答案】（1）解：设A. B两种型号的电风扇的销售价分别为x、y元，由题意得
解得：
答：A型号电风扇的销售单价为240元，B型号电风扇的销售单价为180元.
（2）解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号的电风扇(30 a)台
则200a+150(30 a)≤5400，
解得：a≤18，
答：最多采购A种型号的电风扇18台.
（3）解：根据题意得：
(240 200)a+(180 150)(30 a)≥1060，
解得a≥16，
∵在（2）的条件下a≤18，
∴16≤a≤18
∵a为正整数，
∴a可取16，17，18，
∴符合题意的方案为：
A型号16台，B型号14台；
A型号17台，B型号13台；
A型号18台，B型号12台；
答：在(2)条件下超市销售完这30台电风扇能实现利润不少于1060元的目标，方案为：
A型号16台，B型号14台；A型号17台，B型号13台；A型号18台，B型号12台.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据售价乘以销量等于销售收入列方程组是解题的关键.
（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1620元，4台A型号10台B型号的电扇收入2760元，列方程组求解即可；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30-a）台，根据金额不多余5400元，列不等式求解即可得出答案；
（3）根据利润大于等于1060元，列不等式求出a的取值范围，结合（2）中a的取值范围，即可确定方案．
22．【答案】（1）解：①∵，，
，
解得：，；
②， ，，
，
，
即，
，
∵关于x的不等式组有且只有两个整数解，
，
解得：；
（2）解：∵m▽n=n▽m，
∴ma-nb+5=na-mb+5，
∴ma-nb-na+mb=0，
∴m（a+b）-n（a+b）=0，
∴（a+b）（m-n）=0，
∵m、n为任意数，
∴m-n不一定等于0，
∴a+b=0，
即a、b所应满足的关系式是a+b=0．
【知识点】因式分解的应用；解二元一次方程组；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】（1）①新运算规定m▽n=am-bn+5，等式右边有两个未知的系数a，b，由 2▽3=1，3▽（-1）=10两组值分别代入等式，可得二元一次方程组，解方程组即可；
②由①可得a，b的值，代入原不等式组，用t表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有两个整数解，可得t的取值范围；
（2）由m▽n=n▽m可得ma-nb+5=na-mb+5，将等式进行移项、因式分解可得a，b的数量关系.
23．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC=BC.
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE△CAD（SAS）.
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°；
（2）解：如图，在BF上截取BQ=AF，连接AQ，
在△QBA和△FAC中，
，
∴△QBA≌△FAC（ SAS），
∴∠BAQ=∠ACF，
∵∠AQF=∠QBA+∠BAQ，∠DFC=∠FAC+∠ACF，
∴∠AQF=∠DFC=∠BAQ+∠FAC，
∵CF⊥BE，∠BFD=60°，
∴∠AQF=∠DFC=∠BAQ+∠FAC=30°，
∴∠QAF=∠BAC-（∠BAQ+∠FAC）=30°，
即∠AQF=∠QAF，
∴AF=FQ．
∵BF=FQ+BQ=2FQ，
∴BF=2AF；
（3）解：①如图，延长BE到点N，使得FN=AF，连接AN，连接CN，交FH于点M，
∵∠BFD=∠AFN=60°，
∴△AFN是等边三角形，
∴AF=AN=FN，∠FAN=∠FNA=∠AFN=60°，
∴∠BAF=60°-∠FAE=∠CAN．
在△BAF与△CAN中，
∴△BAF≌△CAN（SA5），
∴BF=CN，∠ABF=∠ACN，
∵∠DAC=∠EBA，
∴∠DAC=∠ACN，
∴CN∥AD，
∴∠AFN=∠FNM=60°，
∵CF⊥BE，
∴∠FCN=30°，
∵∠DFC=90°-60°=30°，AD沿CF翻折交AC于点G，CF⊥CH，
∴∠DFC=∠MFC=∠MCF=30°，∠MFN=∠MCH=∠MHC=60°，
∴MF=MC，∠CMH=∠FMN=60°，
∴△CMH，△MFN是等边三角形，
∴MH=MC=MF=FN，
∴△AFN、△CMH，△MFN是边长相等的等边三角形，
∴HF=CN，
∴BF=CN；
②∴FG·GH=3.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合；截长补短构造全等模型
【解析】【解答】解：（3）∵△AFN、△CMH，△MFN是边长相等的等边三角形，
∴AF=CM，
∵CN∥AD，
∴∠AFG=∠CMG.
在△AFG和△CMG中，
，
∴△AFG△CMG（AAS）.
∴FG=MG，
又∵MF=MH=，
∴FG=MG=，
∴GH=MG+MH=3，
∴FG·GH=3.
【分析】
（1）由等边三角形的性质可得∠C=∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC=BC，结合CD=AE，可证明△ABE△CAD，由全等三角形的性质和三角形的外角性质可得∠BFD的度数；
（2）证明线段的数量关系，一般思路是“截长补短”：由（1）可得∠ABE=∠CAD，AB=AC，根据全等三角形判定定理“SAS”构造全等三角形，可在BF上截取BQ=AF，连接AQ，即△QBA≌△FAC，再根据角的等量代换证明∠AQF=∠QAF，则AF=FQ，从而可证得结论；
（3）①由∠AFE=∠BFD，可以AF为边构造等边三角形，延长BE到点N，使得FN=AF，则△AFN是等边三角形，由共点的两个等边三角形，可连接CN，可证得△BAF≌△CAN，则BF=CN，结合轴对称的性质和特殊三角形的性质推出△AFN、△CMH，△MFN是边长相等的等边三角形，即可证明BF=CN；
②结合①中得到的过程和结论，证明△AFG≌△CMG得到FG=MG，由BF=4，分别求出FG和GH的长度，进而得出答案．
1 / 1浙江省宁波十五中2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷
1．（2025八上·宁波期中）下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，符合题意；
B，C，D选项不是轴对称图形，不符合题意.
故选：A.
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可.
2．（2025八上·宁波期中）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（　　）
A．a=-2 B．a=-1 C．a= 1 D．a=2
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=-2，
∵（-2）2＞1，但是a=-2＜1，
∴A符合题意；
故答案为：A．
【分析】此题实际上是用举例子的方法来证明结论的错误性，只要举出的例子满足 a2＞1，但又不满足a＞1 即可。
3．（2025八上·宁波期中）已知a＜b，下列不等式中，成立的是（　　）
A．a+2＞b+2 B． C．-2a＞-2b D．a-2＞b-2
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.在不等式aB.在不等式aC.在不等式a-2b，故C选项正确，符合题意；
D.在不等式a故选：C．
【分析】根据不等式的性质：不等式两边都加上（或都减去）同一个数，所得的不等式仍然成立（不等号不变）；不等式两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍然成立（不等号不变）；不等式两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号方向，所得的不等式仍然成立．据此分析各选项.
4．（2025八上·宁波期中）等腰三角形的一个角为70°，则它的底角为（　　）
A．70° B．55° C．55°或70° D．35°或70°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：已知一个角的度数是70°，
当顶角的度数是70°时，底角是（180°-70°）÷2=55°；
当底角的度数是70°时，两个底角的度数都是70°.
则它的底角是55°或70°.
故选：C.
【分析】等腰三角形有一个顶角，两个相等的底角，已知度数的这个角有可能是顶角，也有可能是底角，分类讨论求出底角即可.
5．（2025八上·宁波期中）若关于x的不等式x≤4+m的解集如图所示，则m的值为（　　）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】B
【知识点】不等式的解及解集；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：由数轴可得不等式的解集是x≤3，则4+m=3，则m=-1.
故选：B.
【分析】根据数轴上表示x的范围可得不等式的解集，根据解集求出m的值即可.
6．（2025八上·宁波期中）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A、由作图可知AC的垂直平分线交AB于点D，
∴AD=DC，
∴∠A=∠ACD
∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠A，∠ADC=∠B+∠BCD，故A不符合题意；
B、由作图可知BC的垂直平分线交AB于点D，
∴BD=DC，
∴∠B=∠BCD，
∠ADC=∠B+∠BCD=2∠B，故B符合题意；
C、∠ADC=∠B+∠BCD，故C不符合题意；
D、由作图可知BD=BC
∴∠BDC=∠BCD，
∵∠ADC=∠B+∠BCD，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】观察各选项，可知选项A，B分别作AC，BC的垂直平分线，再根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，易证线段相等，再利用等边对等角，可证得相关的角相等，然后利用三角形的外角的性质，可得到∠CDB=∠A+∠ACD，就可对A，B作出判断；而C，D只能证得∠CDB=∠A+∠ACD，由此可对C，D作出判断。
7．（2025八上·宁波期中）我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，，
.
故答案为：D.
【分析】由题意可得AD′=AD=2，AO=AB=1，利用勾股定理可得OD′，据此不难得到点C′的坐标.
8．（2025八上·宁波期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）
A．6 个 B．7 个 C．8 个 D．9个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
9．（2025八上·宁波期中）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，
∴PE=PE'，
∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，
此时EP+FP的值最小，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=60°，
∵E'F⊥AB，
∴∠FE'B=30°，
∴BE'=2BF，
∵BF=5，BE=4，
∴E'B=10，
∵CE=CE'，
∴10=2CE+BE=2CE+4，
∴CE=3，
∴BC=7，
故答案为：A．
【分析】作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，此时EP+FP的值最小，由题意得出∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，得出10=2CE+BE=2CE+4，解出CE=3，即可得出BC=7。
10．（2025八上·宁波期中）如图，BD是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，AC＝12，DE∥BC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点；连接PA，PC，PQ，AQ，给出下列结论：①PC+PQ≥AQ；②AE+DE＝BC；③PC+PQ的最小值是；④若PA平分∠BAC，则△APD的面积为9．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，
∴
∴BD垂直平分AC，
∴
∴
∵
∴则①正确；
∵
∴
∵BD是△ABC的角平分线，
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴则②正确；
∵
∴当AP+PQ最小时，PC+PQ最小，
过点A作AM⊥BC于M，如图：
当点P在AM和BD的交点上时，此时AP+PQ=AM，此时AP+PQ最小，且最小值为AM，
∵BD平分∠ABC，
∴
∴
∵
∴则③错误；
过点P作PN⊥AB于点N，如图：
∵PA平分∠BAC，PD⊥AC，
∴
∴
∵
∴则④正确；
综上所述，正确的有：①②④，
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质可得到BD垂直平分AC，进而得到AP=PC，再根据三角形三边关系定理即可判断①；根据角平分线的定义、平行线的性质和等腰三角形的性质即可判断②；过点A作AM⊥BC于M，当点P在AM和BD的交点上时，此时AP+PQ最小，最后根据等面积法即可判断③；过点P作PN⊥AB于点N，得到PN=PD，根据即可判断④.
11．（2025八上·宁波期中）若直角三角形的一个锐角为15°，则另一个锐角等于　 　.
【答案】75°
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两个锐角互余，
∴另一个锐角等于90°-15°=75°.
故填：75°.
【分析】由直角三角形的性质“直角三角形的两个锐角互余”可求得另外一个锐角的度数.
12．（2025八上·宁波期中）用不等式表示“与的差大于2”　 　．
【答案】5a－6b＞2
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：由题意得：5a 6b＞2，
故答案为：5a 6b＞2．
【分析】由题意列不等式即可求解．
13．（2025八上·宁波期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，CE是∠ACB的平分线，交AB于点E，∠A=30°，∠B=52°，则∠DCE的度数为　 　.
【答案】11°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵∠A=30°，∠B=52°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-52°=98°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE=∠BCE=49°，
∵CD ⊥AB于点D，
∴∠BCD=90°-∠B=38°，
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=49°-38°=11°.
故填：11°.
【分析】求∠DCE，可由∠DCE=∠ACD-∠ACE或∠DCE=∠BCE-∠BCD求得，已知CE是∠ACB的角平分线，则∠ACE=∠BCE=，由三角形的内角和定理可求得∠ACB，由直角三角形的性质可求得∠ACD和∠BCD，选一种思路解答即可.
14．（2025八上·宁波期中）如图，BD是△ABC的中线，CE是△BCD的中线，DF是△CDE的中线，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为　 　.
【答案】
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴，
∵CE是△BCD的中线，
∴，
∵DF是△CDE的中线，
∴.
故填：.
【分析】由三角形中线的定义，可知中线把三角形分成两部分，两部分的面积相等，依此推理解答即可.
15．（2025八上·宁波期中）如图，在长方形ABCD中，AB=10，AD=12，点E为边AD上的一个动点，把△ABE沿BE折叠，若点A的对应点A'刚好落在边AD的垂直平分线MN上，则AE的长为　 　.
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵△ABE沿BE折叠，点A的对应点A’刚好落在边AD的垂直平分线MN上，
∴AE=A’E，A’B=AB=10，MN AD，AM=AD=6，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠ABN=90°，
∴∠A’NB=90°，
∴四边形ABNM是长方形，
∴BN=AM=6，MN=AB=10.
∴在Rt△A’BN中，A’N=，
∴A’M=MN-A’N=10-8=2.
在Rt△A’ME中，设A’E=AE=x，则ME=6-x，
∵，
∴，解得x=.
故填：.
【分析】由折叠的性质可得AE=A’E，A’B=AB=10，由MN是AD的垂直平分线和四边形ABCD是长方形，可证得四边形ABNM是长方形，则BN=AM=AD=6，MN=AB=10，根据勾股定理先求出A’N，再由勾股定理构造方程解答即可.
16．（2025八上·宁波期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE=7，则△CFP与△AEP的面积差是　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为28，
∴，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，
∵AE+BE=7，
∴，
∴AE·BE.
∴.
如图，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH//FG，EF//GH，∠FEH=∠FGH=90°，EH=FG=EF=GH，
∴∠PAE=∠QCG，∠AEP=∠CGQ=90°，
∵AH=CG，
∴AE=AH-EH，CG=CF-FG，
∴AE=CG，
∴△AEP△CGQ，
∴，EP=GQ，
∴，
∵EF=GH，PF=EF-EP，HQ=GH-GQ，
∴PF=HQ，
∴.
∴△CFP与△AEP的面积差是.
故填：.
【分析】观察图形，根据题意可证明△AEP△CGQ，则△CFP与△AEP的面积差等于的面积，也是正方形EFGH面积的一半；已知正方形ABCD的面积和AE+BE=7，根据勾股定理和完全平方和变形公式，求得AE·BE的值，从而求出正方形EFGH的面积.
17．（2025八上·宁波期中）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标.
（2）直接写出AB与A1B1之间的位置关系.
【答案】（1）解：如图△A1B1C1即为所作，点B1的坐标是（-1，-1）；
（2）解：AB⊥A1B1
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：（2）如图，分别延长AB，A1B1交于点D，
∵每个小方格是正方形，
∴∠ADC=∠A1DC=45°，
∴∠ADA1=90°，
∴AB⊥A1B1.
【分析】（1）根据轴对称图形的性质，作出△A1B1C1，再根据点B1所在的格点和象限坐标特征，写出点B1的坐标即可；
（2）可分别延长AB和A1B1，刚好交于一个格点，由小方格是正方形的特点可得∠ADA1的度数，即可得出结论.
18．（2025八上·宁波期中） 解不等式组 ，结合题意完成本题的解答.
（1）解不等式①，得　 　；
（2）解不等式②，得　 　；
（3）把不等式①和②的解集在如下的数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为　 　.
【答案】（1）x≥-1
（2）x＜3
（3）解：
（4）-1≤x＜3
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：3(x+2)≥2x+5，
去括号，得3x+6≥2x+5，
移项，得3x-2x≥5-6，
合并同类项，得x≥-1，
故填：x≥-1；
（2）解：，
去分母，得4x-(1+3x)<1，
去括号，得4x-1-3x<2，
移项，得4x-3x<2+1
合并同类项，得x<3，
故填：x<3；
（4）由（3）所画的解集可得原不等式组的解集是-1≤x＜3，
故填：-1≤x＜3.
【分析】（1）按解一元一次不等式的一般步骤解答即可；
（2）按解一元一次不等式的一般步骤解答即可；
（3）利用数轴表示解集即可；
（4）取两个不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集.
19．（2025八上·宁波期中）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝80°，求∠EBC的度数．
【答案】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝80°，
∴∠EBC＝40°．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）结合对顶角相等，利用"AAS"即可证明△ABE≌△DCE；
（2）根据全等三角形的性质得到BE=CE，再根据等腰三角形的性质得到∠EBC＝∠ECB，最后根据三角形外角性质即可求出∠EBC的度数.
20．（2025八上·宁波期中）如图，在中，．
（1）用直尺和圆规作的中垂线，交于点D（要求保留作图痕迹）；
（2）连接，若，求的周长
【答案】（1）解：如图所示：直线即为所求；
（2）解：由（1）可知，直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长：，
∵，
∴的周长为：．
21．（2025八上·宁波期中）某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，型号每台进价为200元，型号每台进价分别为150元，下表是近两天的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一天 3台 5台 1620元
第二天 4台 10台 2760元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求种型号的电风扇最多能采购多少台
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1060元的目标 若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：设A. B两种型号的电风扇的销售价分别为x、y元，由题意得
解得：
答：A型号电风扇的销售单价为240元，B型号电风扇的销售单价为180元.
（2）解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号的电风扇(30 a)台
则200a+150(30 a)≤5400，
解得：a≤18，
答：最多采购A种型号的电风扇18台.
（3）解：根据题意得：
(240 200)a+(180 150)(30 a)≥1060，
解得a≥16，
∵在（2）的条件下a≤18，
∴16≤a≤18
∵a为正整数，
∴a可取16，17，18，
∴符合题意的方案为：
A型号16台，B型号14台；
A型号17台，B型号13台；
A型号18台，B型号12台；
答：在(2)条件下超市销售完这30台电风扇能实现利润不少于1060元的目标，方案为：
A型号16台，B型号14台；A型号17台，B型号13台；A型号18台，B型号12台.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据售价乘以销量等于销售收入列方程组是解题的关键.
（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1620元，4台A型号10台B型号的电扇收入2760元，列方程组求解即可；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30-a）台，根据金额不多余5400元，列不等式求解即可得出答案；
（3）根据利润大于等于1060元，列不等式求出a的取值范围，结合（2）中a的取值范围，即可确定方案．
22．（2025八上·宁波期中）对m、n定义一种新运算“▽”，规定：m▽n=am-bn+5（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5▽6=5a-6b+5.
（1）已知2▽3=1，3▽（-1）=10.
①求a、b的值；
②若关于x的不等式组 有且只有两个整数解，求字母t的取值范围；
（2）若运算“▽”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“m▽n=n▽m”都成立，试探究a、b应满足的关系.
【答案】（1）解：①∵，，
，
解得：，；
②， ，，
，
，
即，
，
∵关于x的不等式组有且只有两个整数解，
，
解得：；
（2）解：∵m▽n=n▽m，
∴ma-nb+5=na-mb+5，
∴ma-nb-na+mb=0，
∴m（a+b）-n（a+b）=0，
∴（a+b）（m-n）=0，
∵m、n为任意数，
∴m-n不一定等于0，
∴a+b=0，
即a、b所应满足的关系式是a+b=0．
【知识点】因式分解的应用；解二元一次方程组；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】（1）①新运算规定m▽n=am-bn+5，等式右边有两个未知的系数a，b，由 2▽3=1，3▽（-1）=10两组值分别代入等式，可得二元一次方程组，解方程组即可；
②由①可得a，b的值，代入原不等式组，用t表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有两个整数解，可得t的取值范围；
（2）由m▽n=n▽m可得ma-nb+5=na-mb+5，将等式进行移项、因式分解可得a，b的数量关系.
23．（2025八上·宁波期中）如图1，等边△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，连接AD，BE交于点F，CD=AE.
（1）求∠BFD的度数；
（2）如图2，连接CF，若CF⊥BE，求证：BF=2AF；
（3）如图3，在（2）的条件下，将AD沿CF翻折交AC于点G，过点C作CF的垂线交直线FG于点H，若BF=4.
①求证：BF=HF；
②求FG GH的值.（请直接写出结果）
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC=BC.
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE△CAD（SAS）.
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°；
（2）解：如图，在BF上截取BQ=AF，连接AQ，
在△QBA和△FAC中，
，
∴△QBA≌△FAC（ SAS），
∴∠BAQ=∠ACF，
∵∠AQF=∠QBA+∠BAQ，∠DFC=∠FAC+∠ACF，
∴∠AQF=∠DFC=∠BAQ+∠FAC，
∵CF⊥BE，∠BFD=60°，
∴∠AQF=∠DFC=∠BAQ+∠FAC=30°，
∴∠QAF=∠BAC-（∠BAQ+∠FAC）=30°，
即∠AQF=∠QAF，
∴AF=FQ．
∵BF=FQ+BQ=2FQ，
∴BF=2AF；
（3）解：①如图，延长BE到点N，使得FN=AF，连接AN，连接CN，交FH于点M，
∵∠BFD=∠AFN=60°，
∴△AFN是等边三角形，
∴AF=AN=FN，∠FAN=∠FNA=∠AFN=60°，
∴∠BAF=60°-∠FAE=∠CAN．
在△BAF与△CAN中，
∴△BAF≌△CAN（SA5），
∴BF=CN，∠ABF=∠ACN，
∵∠DAC=∠EBA，
∴∠DAC=∠ACN，
∴CN∥AD，
∴∠AFN=∠FNM=60°，
∵CF⊥BE，
∴∠FCN=30°，
∵∠DFC=90°-60°=30°，AD沿CF翻折交AC于点G，CF⊥CH，
∴∠DFC=∠MFC=∠MCF=30°，∠MFN=∠MCH=∠MHC=60°，
∴MF=MC，∠CMH=∠FMN=60°，
∴△CMH，△MFN是等边三角形，
∴MH=MC=MF=FN，
∴△AFN、△CMH，△MFN是边长相等的等边三角形，
∴HF=CN，
∴BF=CN；
②∴FG·GH=3.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合；截长补短构造全等模型
【解析】【解答】解：（3）∵△AFN、△CMH，△MFN是边长相等的等边三角形，
∴AF=CM，
∵CN∥AD，
∴∠AFG=∠CMG.
在△AFG和△CMG中，
，
∴△AFG△CMG（AAS）.
∴FG=MG，
又∵MF=MH=，
∴FG=MG=，
∴GH=MG+MH=3，
∴FG·GH=3.
【分析】
（1）由等边三角形的性质可得∠C=∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC=BC，结合CD=AE，可证明△ABE△CAD，由全等三角形的性质和三角形的外角性质可得∠BFD的度数；
（2）证明线段的数量关系，一般思路是“截长补短”：由（1）可得∠ABE=∠CAD，AB=AC，根据全等三角形判定定理“SAS”构造全等三角形，可在BF上截取BQ=AF，连接AQ，即△QBA≌△FAC，再根据角的等量代换证明∠AQF=∠QAF，则AF=FQ，从而可证得结论；
（3）①由∠AFE=∠BFD，可以AF为边构造等边三角形，延长BE到点N，使得FN=AF，则△AFN是等边三角形，由共点的两个等边三角形，可连接CN，可证得△BAF≌△CAN，则BF=CN，结合轴对称的性质和特殊三角形的性质推出△AFN、△CMH，△MFN是边长相等的等边三角形，即可证明BF=CN；
②结合①中得到的过程和结论，证明△AFG≌△CMG得到FG=MG，由BF=4，分别求出FG和GH的长度，进而得出答案．
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