资源简介

广西壮族自治区桂林市桂林中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·秀峰月考）快到2026年元旦假期了，是（　　）角
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【解答】解：因为，而是第三象限角，所以是第三象限角，
故答案为：C.
【分析】本题的核心是利用终边相同的角的性质，将大于 360 的角转化为 0 到 360 之间的角，再判断其所在的象限。
2．（2025高一上·秀峰月考）设集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：不等式等价于，解得或，所以集合为；；
故答案为：.
【分析】本题的核心是先解分式不等式求出集合 A，再根据交集的定义求出 A∩B。
3．（2025高一上·秀峰月考）已知半径为 3 的扇形面积 ，则扇形的圆心角为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由扇形面积公式，
，解得，
则扇形的圆心角为1．
故答案为：B．
【分析】本题的核心是直接使用扇形面积公式，代入已知的半径和面积，解出圆心角的弧度数。
4．（2025高一上·秀峰月考）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】解：由图象知，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是，
故答案为：C
【分析】本题的核心是先确定阴影部分在 0 到 360 范围内的边界角，再利用终边相同的角的性质，写出所有满足条件的角的集合。
5．（2025高一上·秀峰月考）函数的零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：.因为在上为增函数，且，，
所以的零点所在的区间为.
故答案为：C
【分析】本题的核心是先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，通过计算区间端点的函数值符号，确定零点所在的区间。
6．（2025高一上·秀峰月考）已知幂函数.若的图象在时位于直线的上方，实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为幂函数，的图象在时位于直线的上方，
所以，且，
若变换主元为，则是以为自变量，为底数的指数函数，在定义域上单调递减，
所以且，因此实数的取值范围是，
故答案为：A.
【分析】根据幂函数与直线 的位置关系，转化为不等式 ，再结合 时幂函数的单调性，确定 的取值范围。
7．（2025高一上·秀峰月考）在中，，则为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【知识点】正弦函数的图象；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：，，
或，
或，
或，
等腰三角形或直角三角形.
故答案为：D.
【分析】本题的核心是利用三角诱导公式化简等式，再结合三角形内角和定理，分情况讨论得出三角形的形状。
8．（2025高一上·秀峰月考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；三角函数诱导公式二~六；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由，
所以.
故答案为：B
【分析】由诱导公式可将已知角化为，原式可化为即可求解.
9．（2025高一上·秀峰月考）下列说法正确的有（　　）
A．命题“若，则”是真命题
B．命题“”是真命题
C．“”是“”的充分不必要条件
D．设，则“且”是“”的充要条件
【答案】A,C
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A，若，则，成立，故A正确；
B，，显然无实数解，故B错误；
C，，即，解得或，则“”能够推出“或”，
但“或”无法推出“”，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
D，不能得到且，举例，满足，但是，则必要性不成立，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】A：利用不等式的单调性，当 时，对不等式两边同时平方（正数平方后不等号方向不变），可直接推出 ，因此该命题为真。
B：分析方程的实数解情况，对 变形得 ，由于任何实数的平方都非负，该方程无实数解，因此该命题为假。
C：解分式不等式并判断条件关系，先将 转化为 ，等价于 ，解得 或 ，“”是解集的一部分，能推出不等式成立，但不等式成立时不一定有 ，故为充分不必要条件。
D：举反例验证必要性，取 ，满足 ，但不满足 ，说明“”无法推出“ 且 ”，因此不是必要条件。
10．（2025高一上·秀峰月考）下列不等关系正确的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】指数函数单调性的应用；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】A，因为是R上单调减函数，，所以，故A正确；
B，因为在上单调递减，，所以，故B正确；
C，因为是R上单调减函数，是R上单调增函数，所以，，故C错误；
D，因为在R上单调递减，则，又在上单调递增，则，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题的核心是利用指数函数、幂函数的单调性，结合中间值（如 1）来比较数值的大小。
11．（2025高一上·秀峰月考）设正实数满足，则以下说法正确的有（　　）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最大值为4 D．的最小值为
【答案】A,B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】A：，，
所以当时，取得最小值，故A正确；
B：
即，
当且仅当时，等号成立，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为，故B正确；
C：，，故C错误；
D：，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】本题的核心是利用已知条件 x+2y=4（x，y>0），通过消元、配方、柯西不等式、基本不等式等方法，逐一分析各选项的最值是否正确。
12．（2025高一上·秀峰月考）　 　.
【答案】5
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：由题意，
可得：.
故答案为：5.
【分析】根据根式和指数幂运算法则，从而化简求值.
13．（2025高一上·秀峰月考）在上，使不等式成立的的集合为　 　.
【答案】
【知识点】余弦函数的图象；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：由，则，
又，所以所求集合为．
故答案为：．
【分析】本题的核心是先化简三角不等式，再结合余弦函数在 [ π，π] 上的单调性，确定满足条件的 x 的范围。
14．（2025高一上·秀峰月考）已知函数.若，且，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数图象与性质的综合应用；基本不等式；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：如图，
由，知，且，
得，即，得，
所以，当且仅当即时等号成立.
所以的取值范围为.
故答案为：
【分析】画出函数图象，由易得且，可以化为再判断等号成立条件即可.
15．（2025高一上·秀峰月考）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点，
（1）求tanα；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）解：根据任意角三角函数的定义可得
（2）解：由（1）知.
因为，且，
所以.
所以的值为
（3）解：由（1）知.
因为，，且，
所以.
所以的值为.
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】(1)直接利用任意角三角函数的定义 求解。
(2)先用诱导公式化简表达式，再将式子化为关于 的分式，代入 求值。
(3)将式子除以 ，转化为关于 的分式，代入 求值。
（1）根据任意角三角函数的定义可得
（2）由（1）知.
因为，且，
所以.
所以的值为.
方法二：
根据任意角三角函数的定义可得.
所以.
所以的值为.
（3）由（1）知.
因为，，且，
所以.
所以的值为.
方法二：
由（2）知，.
所以.
所以的值为.
16．（2025高一上·秀峰月考）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且 .
（1）求与的解析式：
（2）求函数在上的值域.
【答案】（1）解：设，，
则由题意可知，，，，
得，，，
则，；
（2）解：，
令，则，对称轴为，
又，，，则，
故函数在上的值域为.
【知识点】函数的值域；幂函数的概念与表示
【解析】【分析】(1)设幂函数 ，代入点 求 ；设一次函数 ，代入 和 求 。
(2)先写出 ，换元 （）转化为二次函数，再求值域。
（1）设，，
则由题意可知，，，，得，，，
则，；
（2），
令，则，对称轴为，
又，，，则，
故函数在上的值域为.
17．（2025高一上·秀峰月考）已知关于的不等式的解集为．
（1）求的值并求解不等式的解集；
（2）当且满足时，有恒成立，求k的取值范围．
【答案】（1）解：因为不等式的解集为，
所以1和2是方程的两个根，且．
根据韦达定理得，解得．
不等式即，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为；
（2）解：因为，所以．
因为，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8．
因为恒成立，所以，即，解得，
所以的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)根据不等式解集与对应方程根的关系，利用韦达定理求出 ，再将分式不等式转化为整式不等式求解。
(2)将 乘以 构造“1”的代换，用基本不等式求最小值，再根据恒成立条件求 的范围。
（1）因为不等式的解集为，
所以1和2是方程的两个根，且．
根据韦达定理得，解得．
不等式即，即，所以，解得或，
所以不等式的解集为；
（2）因为，所以．
因为，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8．
因为恒成立，所以，即，解得，
所以的取值范围是．
18．（2025高一上·秀峰月考）2025年8月8日至12日，由中国电子学会、世界机器人合作组织共同主办的2025世界机器人大会在北京经济技术开发区北人亦创国际会展中心举行.这一大会的召开，标志着机器人时代正加速到来.现如今，机器人产业正处于规模化、产业化前夜.某科技企业为抓住“机器人时代”带来的机遇，决定开发生产一大型电子设备，该设备分为两种型号，两种型号均能满足需求.目前研发设备已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产型该设备的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.5亿元：生产型该设备的毛收入(亿元)与投入的资金(亿元)的函数关系为，其图象如图所示.
（1）试分别求出生产两种型号设备的毛收入(亿元)与投入资金(亿元)的函数关系式：
（2）现在公司准备投入20亿元资金同时生产两种型号，设投入亿元生产型号，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润. (净利润=型毛收入+B型毛收入研发耗费资金)
【答案】（1）解：设投入资金(亿元)，则生产芯片的毛收入，
将，代入，得，解得，
故生产芯片的毛收入；
（2）解：由题意，
令，则，
则，
当时，，
即当时，利润最大，最大净利润为(亿元).
【知识点】函数的表示方法；函数的最大（小）值
【解析】【分析】(1) A 型号毛收入与投入资金成正比，直接设比例系数求解；B 型号代入图像上两点 (1，3)、(4，6) 求出幂函数的系数与指数。
(2) 先根据投入总额写出净利润函数，再用换元法转化为二次函数，求其最大值。
（1）设投入资金(亿元)，则生产芯片的毛收入，
将，代入，得，解得，
故生产芯片的毛收入；
（2）由题意，
令，则，
则，
当时，，
即当时，利润最大，最大净利润为(亿元).
19．（2025高一上·秀峰月考）设定义在上的函数满足：（1），；（2），；（3）不存在，使得.
（1）证明：，，并借此证明：，.
（2）研究的单调性和奇偶性.
【答案】（1）证明：由条件（1）知，，即.
当时，可得，，又
所以，当且仅当时，等号成立，
又不存在，使得，则，
于是当时，，
当时，得，解得或或（舍去），
当时，则令，，可得，与条件（2）矛盾，舍去.故.
当时，令，则，得到，即，由已知得，可得，解得，
综上可得，，.
（2）解：对于奇偶性：由（1）得，令，得
故，即，因此为奇函数；
对于单调性：任取，则，，
而，
又，，则，
于是，故，，
因此在上单调递增.
故在上单调递增，且为奇函数.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】(1)令 代入已知函数方程，即可得到 ；再利用 及条件“不存在 使 ”，证明 。
(2)通过赋值法求 并判断奇偶性；再利用函数方程与 的性质，证明单调性。
（1）由条件（1）知，，即.
当时，可得，，又
所以，当且仅当时，等号成立，
又不存在，使得，则，
于是当时，，
当时，得，解得或或（舍去），
当时，则令，，可得，与条件（2）矛盾，舍去.故.
当时，令，则，得到，即，由已知得，可得，解得，
综上可得，，.
（2）对于奇偶性：由（1）得，令，得
故，即，因此为奇函数；
对于单调性：任取，则，，
而，
又，，则，
于是，故，，
因此在上单调递增.
故在上单调递增，且为奇函数.
1 / 1广西壮族自治区桂林市桂林中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·秀峰月考）快到2026年元旦假期了，是（　　）角
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025高一上·秀峰月考）设集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025高一上·秀峰月考）已知半径为 3 的扇形面积 ，则扇形的圆心角为（　　）
A． B．1 C． D．2
4．（2025高一上·秀峰月考）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（2025高一上·秀峰月考）函数的零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·秀峰月考）已知幂函数.若的图象在时位于直线的上方，实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025高一上·秀峰月考）在中，，则为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
8．（2025高一上·秀峰月考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2025高一上·秀峰月考）下列说法正确的有（　　）
A．命题“若，则”是真命题
B．命题“”是真命题
C．“”是“”的充分不必要条件
D．设，则“且”是“”的充要条件
10．（2025高一上·秀峰月考）下列不等关系正确的为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025高一上·秀峰月考）设正实数满足，则以下说法正确的有（　　）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最大值为4 D．的最小值为
12．（2025高一上·秀峰月考）　 　.
13．（2025高一上·秀峰月考）在上，使不等式成立的的集合为　 　.
14．（2025高一上·秀峰月考）已知函数.若，且，则的取值范围是　 　．
15．（2025高一上·秀峰月考）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点，
（1）求tanα；
（2）求的值；
（3）求的值.
16．（2025高一上·秀峰月考）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且 .
（1）求与的解析式：
（2）求函数在上的值域.
17．（2025高一上·秀峰月考）已知关于的不等式的解集为．
（1）求的值并求解不等式的解集；
（2）当且满足时，有恒成立，求k的取值范围．
18．（2025高一上·秀峰月考）2025年8月8日至12日，由中国电子学会、世界机器人合作组织共同主办的2025世界机器人大会在北京经济技术开发区北人亦创国际会展中心举行.这一大会的召开，标志着机器人时代正加速到来.现如今，机器人产业正处于规模化、产业化前夜.某科技企业为抓住“机器人时代”带来的机遇，决定开发生产一大型电子设备，该设备分为两种型号，两种型号均能满足需求.目前研发设备已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产型该设备的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.5亿元：生产型该设备的毛收入(亿元)与投入的资金(亿元)的函数关系为，其图象如图所示.
（1）试分别求出生产两种型号设备的毛收入(亿元)与投入资金(亿元)的函数关系式：
（2）现在公司准备投入20亿元资金同时生产两种型号，设投入亿元生产型号，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润. (净利润=型毛收入+B型毛收入研发耗费资金)
19．（2025高一上·秀峰月考）设定义在上的函数满足：（1），；（2），；（3）不存在，使得.
（1）证明：，，并借此证明：，.
（2）研究的单调性和奇偶性.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【解答】解：因为，而是第三象限角，所以是第三象限角，
故答案为：C.
【分析】本题的核心是利用终边相同的角的性质，将大于 360 的角转化为 0 到 360 之间的角，再判断其所在的象限。
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：不等式等价于，解得或，所以集合为；；
故答案为：.
【分析】本题的核心是先解分式不等式求出集合 A，再根据交集的定义求出 A∩B。
3．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由扇形面积公式，
，解得，
则扇形的圆心角为1．
故答案为：B．
【分析】本题的核心是直接使用扇形面积公式，代入已知的半径和面积，解出圆心角的弧度数。
4．【答案】C
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】解：由图象知，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是，
故答案为：C
【分析】本题的核心是先确定阴影部分在 0 到 360 范围内的边界角，再利用终边相同的角的性质，写出所有满足条件的角的集合。
5．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：.因为在上为增函数，且，，
所以的零点所在的区间为.
故答案为：C
【分析】本题的核心是先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，通过计算区间端点的函数值符号，确定零点所在的区间。
6．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为幂函数，的图象在时位于直线的上方，
所以，且，
若变换主元为，则是以为自变量，为底数的指数函数，在定义域上单调递减，
所以且，因此实数的取值范围是，
故答案为：A.
【分析】根据幂函数与直线 的位置关系，转化为不等式 ，再结合 时幂函数的单调性，确定 的取值范围。
7．【答案】D
【知识点】正弦函数的图象；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：，，
或，
或，
或，
等腰三角形或直角三角形.
故答案为：D.
【分析】本题的核心是利用三角诱导公式化简等式，再结合三角形内角和定理，分情况讨论得出三角形的形状。
8．【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；三角函数诱导公式二~六；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由，
所以.
故答案为：B
【分析】由诱导公式可将已知角化为，原式可化为即可求解.
9．【答案】A,C
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A，若，则，成立，故A正确；
B，，显然无实数解，故B错误；
C，，即，解得或，则“”能够推出“或”，
但“或”无法推出“”，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
D，不能得到且，举例，满足，但是，则必要性不成立，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】A：利用不等式的单调性，当 时，对不等式两边同时平方（正数平方后不等号方向不变），可直接推出 ，因此该命题为真。
B：分析方程的实数解情况，对 变形得 ，由于任何实数的平方都非负，该方程无实数解，因此该命题为假。
C：解分式不等式并判断条件关系，先将 转化为 ，等价于 ，解得 或 ，“”是解集的一部分，能推出不等式成立，但不等式成立时不一定有 ，故为充分不必要条件。
D：举反例验证必要性，取 ，满足 ，但不满足 ，说明“”无法推出“ 且 ”，因此不是必要条件。
10．【答案】A,B,D
【知识点】指数函数单调性的应用；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】A，因为是R上单调减函数，，所以，故A正确；
B，因为在上单调递减，，所以，故B正确；
C，因为是R上单调减函数，是R上单调增函数，所以，，故C错误；
D，因为在R上单调递减，则，又在上单调递增，则，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题的核心是利用指数函数、幂函数的单调性，结合中间值（如 1）来比较数值的大小。
11．【答案】A,B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】A：，，
所以当时，取得最小值，故A正确；
B：
即，
当且仅当时，等号成立，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为，故B正确；
C：，，故C错误；
D：，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】本题的核心是利用已知条件 x+2y=4（x，y>0），通过消元、配方、柯西不等式、基本不等式等方法，逐一分析各选项的最值是否正确。
12．【答案】5
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：由题意，
可得：.
故答案为：5.
【分析】根据根式和指数幂运算法则，从而化简求值.
13．【答案】
【知识点】余弦函数的图象；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：由，则，
又，所以所求集合为．
故答案为：．
【分析】本题的核心是先化简三角不等式，再结合余弦函数在 [ π，π] 上的单调性，确定满足条件的 x 的范围。
14．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数图象与性质的综合应用；基本不等式；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：如图，
由，知，且，
得，即，得，
所以，当且仅当即时等号成立.
所以的取值范围为.
故答案为：
【分析】画出函数图象，由易得且，可以化为再判断等号成立条件即可.
15．【答案】（1）解：根据任意角三角函数的定义可得
（2）解：由（1）知.
因为，且，
所以.
所以的值为
（3）解：由（1）知.
因为，，且，
所以.
所以的值为.
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】(1)直接利用任意角三角函数的定义 求解。
(2)先用诱导公式化简表达式，再将式子化为关于 的分式，代入 求值。
(3)将式子除以 ，转化为关于 的分式，代入 求值。
（1）根据任意角三角函数的定义可得
（2）由（1）知.
因为，且，
所以.
所以的值为.
方法二：
根据任意角三角函数的定义可得.
所以.
所以的值为.
（3）由（1）知.
因为，，且，
所以.
所以的值为.
方法二：
由（2）知，.
所以.
所以的值为.
16．【答案】（1）解：设，，
则由题意可知，，，，
得，，，
则，；
（2）解：，
令，则，对称轴为，
又，，，则，
故函数在上的值域为.
【知识点】函数的值域；幂函数的概念与表示
【解析】【分析】(1)设幂函数 ，代入点 求 ；设一次函数 ，代入 和 求 。
(2)先写出 ，换元 （）转化为二次函数，再求值域。
（1）设，，
则由题意可知，，，，得，，，
则，；
（2），
令，则，对称轴为，
又，，，则，
故函数在上的值域为.
17．【答案】（1）解：因为不等式的解集为，
所以1和2是方程的两个根，且．
根据韦达定理得，解得．
不等式即，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为；
（2）解：因为，所以．
因为，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8．
因为恒成立，所以，即，解得，
所以的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)根据不等式解集与对应方程根的关系，利用韦达定理求出 ，再将分式不等式转化为整式不等式求解。
(2)将 乘以 构造“1”的代换，用基本不等式求最小值，再根据恒成立条件求 的范围。
（1）因为不等式的解集为，
所以1和2是方程的两个根，且．
根据韦达定理得，解得．
不等式即，即，所以，解得或，
所以不等式的解集为；
（2）因为，所以．
因为，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8．
因为恒成立，所以，即，解得，
所以的取值范围是．
18．【答案】（1）解：设投入资金(亿元)，则生产芯片的毛收入，
将，代入，得，解得，
故生产芯片的毛收入；
（2）解：由题意，
令，则，
则，
当时，，
即当时，利润最大，最大净利润为(亿元).
【知识点】函数的表示方法；函数的最大（小）值
【解析】【分析】(1) A 型号毛收入与投入资金成正比，直接设比例系数求解；B 型号代入图像上两点 (1，3)、(4，6) 求出幂函数的系数与指数。
(2) 先根据投入总额写出净利润函数，再用换元法转化为二次函数，求其最大值。
（1）设投入资金(亿元)，则生产芯片的毛收入，
将，代入，得，解得，
故生产芯片的毛收入；
（2）由题意，
令，则，
则，
当时，，
即当时，利润最大，最大净利润为(亿元).
19．【答案】（1）证明：由条件（1）知，，即.
当时，可得，，又
所以，当且仅当时，等号成立，
又不存在，使得，则，
于是当时，，
当时，得，解得或或（舍去），
当时，则令，，可得，与条件（2）矛盾，舍去.故.
当时，令，则，得到，即，由已知得，可得，解得，
综上可得，，.
（2）解：对于奇偶性：由（1）得，令，得
故，即，因此为奇函数；
对于单调性：任取，则，，
而，
又，，则，
于是，故，，
因此在上单调递增.
故在上单调递增，且为奇函数.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】(1)令 代入已知函数方程，即可得到 ；再利用 及条件“不存在 使 ”，证明 。
(2)通过赋值法求 并判断奇偶性；再利用函数方程与 的性质，证明单调性。
（1）由条件（1）知，，即.
当时，可得，，又
所以，当且仅当时，等号成立，
又不存在，使得，则，
于是当时，，
当时，得，解得或或（舍去），
当时，则令，，可得，与条件（2）矛盾，舍去.故.
当时，令，则，得到，即，由已知得，可得，解得，
综上可得，，.
（2）对于奇偶性：由（1）得，令，得
故，即，因此为奇函数；
对于单调性：任取，则，，
而，
又，，则，
于是，故，，
因此在上单调递增.
故在上单调递增，且为奇函数.
1 / 1

展开更多......

收起↑