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广东省江门市鹤山市纪元中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·鹤山月考）已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·鹤山月考）已知函数的反函数图象过点，则（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2025高一上·鹤山月考）已知函数，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．10
4．（2025高一上·鹤山月考）方程的实数根所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高一上·鹤山月考）已知为正实数，且，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·鹤山月考）函数y=loga(3x－2)+2(a>0，且a≠1)的图象必过定点（　　）
A．(1，2) B．(2，2) C．(2，3) D．
7．（2025高一上·鹤山月考）“”是“函数为奇函数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2025高一上·鹤山月考）已知函数若对任意的，且，都有，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025高一上·鹤山月考）下列说法错误的是（　　）
A．若函数，则
B．函数与是同一个函数
C．函数，的图象与轴有且仅有一个交点
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
10．（2025高一上·鹤山月考）下列说法正确的有（　　）
A．第一象限角小于第二象限角
B．第三象限的角可表示为
C．若为第三象限角，则为第二或者第四象限角
D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
11．（2025高一上·鹤山月考）已知，，，则下列结论中正确的结论是（　　）
A．0 B．的最大值为2
C．的最大值为 D．
12．（2025高一上·鹤山月考）一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为　 　.
13．（2025高一上·鹤山月考）已知幂函数的图象关于原点对称，若，则实数的取值范围是　 　.
14．（2025高一上·鹤山月考）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为　 　．
15．（2025高一上·鹤山月考）已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
16．（2025高一上·鹤山月考）设函数．
（1）若，求的解集．
（2）若，求的解集．
（3）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；
17．（2025高一上·鹤山月考）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区平行于墙的长度为，垂直于墙的长度为.
（1）若育苗区面积为，求为何值时，所用篱笆总长最小；
（2）若使用的篱笆总长为，求的最小值.
18．（2025高一上·鹤山月考）（1）设，求函数的最大值；
（2）已知且，求的最小值；
（3）已知，求的取值范围.
19．（2025高一上·鹤山月考）已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值．
（2）判断函数的单调性，并用定义证明．
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】补集及其运算；交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由全集，集合，
可得，所以阴影部分表示的集合为.
故答案为：C.
【分析】本题的核心是识别韦恩图中阴影部分对应的集合运算，它表示全集U中除去A与B的交集后剩余的部分，即A∩B在全集U中的补集。
2．【答案】D
【知识点】函数的值；对数的性质与运算法则；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：依题意函数的反函数图象过点，
所以的图象经过点，
所以，解得.
故答案为：D.
【分析】由反函数的反函数图象过点，代入得，可得.
3．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由.
故答案为：B.
【分析】本题的核心是根据分段函数的定义，对 x≤0 的情况进行递推转化，将 f(0) 逐步映射到 x>0 的表达式中，从而完成计算。
4．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，在上单调递增，
并且有，
根据零点存在定理，使得
即方程的根所在的区间为.
故答案为：B.
【分析】本题的核心是将方程的实数根问题转化为函数零点问题，构造辅助函数后，利用零点存在定理判断根所在的区间。
5．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由为正实数，且，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：C.
【分析】先将原分式化为，由基本不等式1的妙用并化简得到，再次运用基本不等式，即可求解.
6．【答案】A
【知识点】对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：令3x－2=1，得x=1，又loga(3×1－2)+2=2，故定点为(1，2)，
故答案为：A.
【分析】本题的核心是利用对数函数loga 1=0（a>0，a1）的性质，通过令真数为 1，求出对应的 x 值，再代入计算得到定点坐标。
7．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的奇偶性
【解析】【解答】由为奇函数，则，
解：即，整理得对任意的成立，
，
即为奇函数等价于，
所以是为奇函数的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】本题的核心是根据奇函数的定义推导出函数为奇函数的充要条件，再通过与 “a=0” 进行逻辑比较，判断两者之间的充分性与必要性。
8．【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为函数对任意的，且，都有，
所以函数在上单调递增，
当时，在上递减，不合题意；
当时，在上是常函数，不合题意；
当时，所以，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：D
【分析】本题的核心是根据条件判断函数 f(x) 在 (0，+∞) 上单调递增，再分别保证分段函数的两段各自递增，且在分段点 x=2 处左段的函数值不超过右段的函数值，从而联立不等式求解 a 的取值范围。
9．【答案】B,D
【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数的值
【解析】【解答】解：A，若函数，则，A正确；
B，的定义域为，的定义域，这两个函数的定义域不同，不是同一个函数，B错误；
C，由函数的概念，定义域内的每一个值，对应唯一一个值，
，根据函数的定义可知对应的值只有一个解，
，的图象与轴有且仅有一个交点，C正确；
D，函数的定义域为，，，
的定义域为，D错误.
故答案为：BD.
【分析】本题的核心是逐一验证每个选项，依据函数的定义、同一函数的判定条件、函数图象与 y 轴的交点规律，以及复合函数定义域的求法来判断对错。
10．【答案】B,C,D
【知识点】象限角、轴线角；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：A，为第一象限角，为第二象限角，又，
故第一象限角小于第二象限角错误，故A错误；
B，第三象限的角可表示为，故B正确；
C，若为第三象限的角，则，则，
当时，，则为第二象限角；
当时，，则为第四象限角；
所以若为第三象限角，则为第二或者第四象限角，故C正确；
D，由，得，所以扇形面积，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】本题的核心是逐一验证每个选项，依据象限角的定义与表示方法、半角所在象限的推导，以及扇形的弧长与面积公式来判断对错。
11．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】 【解答】解：A：因为，所以，又，所以，故A正确；
B：因为，
因为，所以，所以，故B错误；
C：因为，当且仅当，即，时取等号，故C正确；
D：因为，
当且仅当即时取等号，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】本题的核心是利用已知条件 y=1 x2与 x>0，y>0，结合二次函数值域、基本不等式等工具，分别验证每个选项的正确性。
12．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为，
由题意可得，解得，
因此，这个扇形的圆心角的弧度数为.
故答案为：.
【分析】本题的核心是利用扇形的弧长公式与面积公式，建立关于半径和圆心角的方程组，通过消元求解圆心角的弧度数。
13．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意得，，解得或，所以或，
又的图象关于原点对称，奇函数，所以，
所以，在单调递减，
因为，
当时，恒成立，
当时，由可得，
综上的取值范围是
故答案为：
【分析】本题的核心是先根据幂函数的定义求出参数m的值，再利用函数图象关于原点对称的性质确定唯一的 m，最后结合函数的单调性解不等式得到 a 的取值范围。
14．【答案】
【知识点】复合函数的单调性；互为反函数的两个函数之间的关系；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意可知
，
令，则，
i因为在定义域内单调递减，若要求函数的单调递增函数，
则需满足 ，解得：，
∴函数的单调递增区间是.
故答案为：
【分析】本题的核心是先求出原函数的反函数 f(x)，再构造复合函数，利用 “同增异减” 的复合函数单调性法则，结合定义域约束，求出单调递增区间。
15．【答案】（1）解：当时，，，
则，
又因为，
所以.
（2）解：由（1）可知，，
当时，显然成立，此时，解得；
当时，此时，解得，
要想，只需，
又因为，
所以，
综上所述：实数a的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）利用a的值得出集合A，根据一元二次不等式求解方法得出集合B，再利用交集的运算法则、并集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合.
（2）由（1）可知，，再根据集合的间的包含关系和分类讨论的方法，再结合补集的运算法则，从而得出实数a的取值范围.
（1）当时，，
，或，
，
，
；
（2）由（1）可知，
当时，显然成立，此时，解得，
当时，此时，解得，
要想，只需，而，所以，
综上所述：实数a的取值范围为.
16．【答案】（1）解：当时，，
若，即，，解得.
故若，的解集为.
（2）解：当时，，则不等式为，
分式不等式等价于，解得或.
故若，的解集为.
（3）解：不等式对一切实数恒成立可整理为对一切实数恒成立.
当时，不等式变为，不满足对一切实数恒成立，舍去；
当时，对一切实数恒成立需满足对应的二次函数开口向上且，
即，整理得，解得.
故的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】第 (1) 问：代入a=2得到具体的二次函数，因式分解后解不等式。
第 (2) 问：代入a=0得到一次函数，转化为分式不等式，再等价为整式不等式求解。
第 (3) 问：将原不等式转化为恒成立问题，分a=0和a0两种情况讨论，利用二次函数的判别式求解。
（1）当时，，若，即，，解得.
故若，的解集为.
（2）当时，，则不等式为，分式不等式等价于，解得或.
故若，的解集为.
（3）不等式对一切实数恒成立可整理为对一切实数恒成立.
当时，不等式变为，不满足对一切实数恒成立，舍去；
当时，对一切实数恒成立需满足对应的二次函数开口向上且，即
，整理得，解得.
故的取值范围为.
17．【答案】（1）解：由题意得，，所用篱笆总长为，
则，当且仅当，即时取等号，
所以当时，所用篱笆总长最小.
（2）解：由题意得，，则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)先由面积得到 ，篱笆总长为 ，再用基本不等式求最小值，并确定取等条件。
(2)先由篱笆总长得到 ，将 乘以 构造“1”的代换，再用基本不等式求最小值。
（1）由题意得，，所用篱笆总长为，
则，当且仅当，即时取等号，
所以当时，所用篱笆总长最小.
（2）由题意得，，则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
18．【答案】（1）解：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为；
（2）解：因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为；
（3）解：设，所以，解得，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以的取值范围是.
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)利用基本不等式 ，将函数变形为 ，再求最大值。
(2)将 乘以 构造“1”的代换，再用基本不等式求最小值。
(3)用待定系数法将 表示为 与 的线性组合，再代入已知范围求取值区间。
19．【答案】（1）解：因为在定义域为R上是奇函数，所以，即，∴，
则，由，
则当时，原函数为奇函数．
（2）解：减函数；
由（1）知，
任取，设，
则，
因为函数在R上是增函数，，∴．
又，
∴，即，
∴在上为减函数．
（3）解：因是奇函数，从而不等式：，等价于，
因为减函数，由上式推得：．
即对一切有：恒成立，
设，
令，则有，
∴，
∴，即k的取值范围为．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1） 定义域为 奇函数有，得b=1；验证可得b=1正确；
（2）根据单调性的定义，任取，设作差，化简成因式乘积形式，判断与0的大小关系，可证明单调递减；
（3）由奇函数将不等式化为标准式，为减函数可得，即对一切有：恒成立，由一元二次函数求最值方法可得解.
（1）因为在定义域为R上是奇函数，所以，即，
∴，
则，由，
则当时，原函数为奇函数．
（2）由（1）知，
任取，设，则，
因为函数在R上是增函数，，∴．又，
∴，即，∴在上为减函数．
（3）因是奇函数，从而不等式：，
等价于，
因为减函数，由上式推得：．
即对一切有：恒成立，设，
令，则有，
∴，
∴，即k的取值范围为．
1 / 1广东省江门市鹤山市纪元中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·鹤山月考）已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】补集及其运算；交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由全集，集合，
可得，所以阴影部分表示的集合为.
故答案为：C.
【分析】本题的核心是识别韦恩图中阴影部分对应的集合运算，它表示全集U中除去A与B的交集后剩余的部分，即A∩B在全集U中的补集。
2．（2025高一上·鹤山月考）已知函数的反函数图象过点，则（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】函数的值；对数的性质与运算法则；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：依题意函数的反函数图象过点，
所以的图象经过点，
所以，解得.
故答案为：D.
【分析】由反函数的反函数图象过点，代入得，可得.
3．（2025高一上·鹤山月考）已知函数，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．10
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由.
故答案为：B.
【分析】本题的核心是根据分段函数的定义，对 x≤0 的情况进行递推转化，将 f(0) 逐步映射到 x>0 的表达式中，从而完成计算。
4．（2025高一上·鹤山月考）方程的实数根所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，在上单调递增，
并且有，
根据零点存在定理，使得
即方程的根所在的区间为.
故答案为：B.
【分析】本题的核心是将方程的实数根问题转化为函数零点问题，构造辅助函数后，利用零点存在定理判断根所在的区间。
5．（2025高一上·鹤山月考）已知为正实数，且，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由为正实数，且，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：C.
【分析】先将原分式化为，由基本不等式1的妙用并化简得到，再次运用基本不等式，即可求解.
6．（2025高一上·鹤山月考）函数y=loga(3x－2)+2(a>0，且a≠1)的图象必过定点（　　）
A．(1，2) B．(2，2) C．(2，3) D．
【答案】A
【知识点】对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：令3x－2=1，得x=1，又loga(3×1－2)+2=2，故定点为(1，2)，
故答案为：A.
【分析】本题的核心是利用对数函数loga 1=0（a>0，a1）的性质，通过令真数为 1，求出对应的 x 值，再代入计算得到定点坐标。
7．（2025高一上·鹤山月考）“”是“函数为奇函数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的奇偶性
【解析】【解答】由为奇函数，则，
解：即，整理得对任意的成立，
，
即为奇函数等价于，
所以是为奇函数的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】本题的核心是根据奇函数的定义推导出函数为奇函数的充要条件，再通过与 “a=0” 进行逻辑比较，判断两者之间的充分性与必要性。
8．（2025高一上·鹤山月考）已知函数若对任意的，且，都有，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为函数对任意的，且，都有，
所以函数在上单调递增，
当时，在上递减，不合题意；
当时，在上是常函数，不合题意；
当时，所以，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：D
【分析】本题的核心是根据条件判断函数 f(x) 在 (0，+∞) 上单调递增，再分别保证分段函数的两段各自递增，且在分段点 x=2 处左段的函数值不超过右段的函数值，从而联立不等式求解 a 的取值范围。
9．（2025高一上·鹤山月考）下列说法错误的是（　　）
A．若函数，则
B．函数与是同一个函数
C．函数，的图象与轴有且仅有一个交点
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】B,D
【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数的值
【解析】【解答】解：A，若函数，则，A正确；
B，的定义域为，的定义域，这两个函数的定义域不同，不是同一个函数，B错误；
C，由函数的概念，定义域内的每一个值，对应唯一一个值，
，根据函数的定义可知对应的值只有一个解，
，的图象与轴有且仅有一个交点，C正确；
D，函数的定义域为，，，
的定义域为，D错误.
故答案为：BD.
【分析】本题的核心是逐一验证每个选项，依据函数的定义、同一函数的判定条件、函数图象与 y 轴的交点规律，以及复合函数定义域的求法来判断对错。
10．（2025高一上·鹤山月考）下列说法正确的有（　　）
A．第一象限角小于第二象限角
B．第三象限的角可表示为
C．若为第三象限角，则为第二或者第四象限角
D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
【答案】B,C,D
【知识点】象限角、轴线角；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：A，为第一象限角，为第二象限角，又，
故第一象限角小于第二象限角错误，故A错误；
B，第三象限的角可表示为，故B正确；
C，若为第三象限的角，则，则，
当时，，则为第二象限角；
当时，，则为第四象限角；
所以若为第三象限角，则为第二或者第四象限角，故C正确；
D，由，得，所以扇形面积，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】本题的核心是逐一验证每个选项，依据象限角的定义与表示方法、半角所在象限的推导，以及扇形的弧长与面积公式来判断对错。
11．（2025高一上·鹤山月考）已知，，，则下列结论中正确的结论是（　　）
A．0 B．的最大值为2
C．的最大值为 D．
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】 【解答】解：A：因为，所以，又，所以，故A正确；
B：因为，
因为，所以，所以，故B错误；
C：因为，当且仅当，即，时取等号，故C正确；
D：因为，
当且仅当即时取等号，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】本题的核心是利用已知条件 y=1 x2与 x>0，y>0，结合二次函数值域、基本不等式等工具，分别验证每个选项的正确性。
12．（2025高一上·鹤山月考）一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为　 　.
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为，
由题意可得，解得，
因此，这个扇形的圆心角的弧度数为.
故答案为：.
【分析】本题的核心是利用扇形的弧长公式与面积公式，建立关于半径和圆心角的方程组，通过消元求解圆心角的弧度数。
13．（2025高一上·鹤山月考）已知幂函数的图象关于原点对称，若，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意得，，解得或，所以或，
又的图象关于原点对称，奇函数，所以，
所以，在单调递减，
因为，
当时，恒成立，
当时，由可得，
综上的取值范围是
故答案为：
【分析】本题的核心是先根据幂函数的定义求出参数m的值，再利用函数图象关于原点对称的性质确定唯一的 m，最后结合函数的单调性解不等式得到 a 的取值范围。
14．（2025高一上·鹤山月考）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为　 　．
【答案】
【知识点】复合函数的单调性；互为反函数的两个函数之间的关系；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意可知
，
令，则，
i因为在定义域内单调递减，若要求函数的单调递增函数，
则需满足 ，解得：，
∴函数的单调递增区间是.
故答案为：
【分析】本题的核心是先求出原函数的反函数 f(x)，再构造复合函数，利用 “同增异减” 的复合函数单调性法则，结合定义域约束，求出单调递增区间。
15．（2025高一上·鹤山月考）已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，，
则，
又因为，
所以.
（2）解：由（1）可知，，
当时，显然成立，此时，解得；
当时，此时，解得，
要想，只需，
又因为，
所以，
综上所述：实数a的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）利用a的值得出集合A，根据一元二次不等式求解方法得出集合B，再利用交集的运算法则、并集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合.
（2）由（1）可知，，再根据集合的间的包含关系和分类讨论的方法，再结合补集的运算法则，从而得出实数a的取值范围.
（1）当时，，
，或，
，
，
；
（2）由（1）可知，
当时，显然成立，此时，解得，
当时，此时，解得，
要想，只需，而，所以，
综上所述：实数a的取值范围为.
16．（2025高一上·鹤山月考）设函数．
（1）若，求的解集．
（2）若，求的解集．
（3）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；
【答案】（1）解：当时，，
若，即，，解得.
故若，的解集为.
（2）解：当时，，则不等式为，
分式不等式等价于，解得或.
故若，的解集为.
（3）解：不等式对一切实数恒成立可整理为对一切实数恒成立.
当时，不等式变为，不满足对一切实数恒成立，舍去；
当时，对一切实数恒成立需满足对应的二次函数开口向上且，
即，整理得，解得.
故的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】第 (1) 问：代入a=2得到具体的二次函数，因式分解后解不等式。
第 (2) 问：代入a=0得到一次函数，转化为分式不等式，再等价为整式不等式求解。
第 (3) 问：将原不等式转化为恒成立问题，分a=0和a0两种情况讨论，利用二次函数的判别式求解。
（1）当时，，若，即，，解得.
故若，的解集为.
（2）当时，，则不等式为，分式不等式等价于，解得或.
故若，的解集为.
（3）不等式对一切实数恒成立可整理为对一切实数恒成立.
当时，不等式变为，不满足对一切实数恒成立，舍去；
当时，对一切实数恒成立需满足对应的二次函数开口向上且，即
，整理得，解得.
故的取值范围为.
17．（2025高一上·鹤山月考）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区平行于墙的长度为，垂直于墙的长度为.
（1）若育苗区面积为，求为何值时，所用篱笆总长最小；
（2）若使用的篱笆总长为，求的最小值.
【答案】（1）解：由题意得，，所用篱笆总长为，
则，当且仅当，即时取等号，
所以当时，所用篱笆总长最小.
（2）解：由题意得，，则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)先由面积得到 ，篱笆总长为 ，再用基本不等式求最小值，并确定取等条件。
(2)先由篱笆总长得到 ，将 乘以 构造“1”的代换，再用基本不等式求最小值。
（1）由题意得，，所用篱笆总长为，
则，当且仅当，即时取等号，
所以当时，所用篱笆总长最小.
（2）由题意得，，则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
18．（2025高一上·鹤山月考）（1）设，求函数的最大值；
（2）已知且，求的最小值；
（3）已知，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为；
（2）解：因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为；
（3）解：设，所以，解得，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以的取值范围是.
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)利用基本不等式 ，将函数变形为 ，再求最大值。
(2)将 乘以 构造“1”的代换，再用基本不等式求最小值。
(3)用待定系数法将 表示为 与 的线性组合，再代入已知范围求取值区间。
19．（2025高一上·鹤山月考）已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值．
（2）判断函数的单调性，并用定义证明．
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为在定义域为R上是奇函数，所以，即，∴，
则，由，
则当时，原函数为奇函数．
（2）解：减函数；
由（1）知，
任取，设，
则，
因为函数在R上是增函数，，∴．
又，
∴，即，
∴在上为减函数．
（3）解：因是奇函数，从而不等式：，等价于，
因为减函数，由上式推得：．
即对一切有：恒成立，
设，
令，则有，
∴，
∴，即k的取值范围为．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1） 定义域为 奇函数有，得b=1；验证可得b=1正确；
（2）根据单调性的定义，任取，设作差，化简成因式乘积形式，判断与0的大小关系，可证明单调递减；
（3）由奇函数将不等式化为标准式，为减函数可得，即对一切有：恒成立，由一元二次函数求最值方法可得解.
（1）因为在定义域为R上是奇函数，所以，即，
∴，
则，由，
则当时，原函数为奇函数．
（2）由（1）知，
任取，设，则，
因为函数在R上是增函数，，∴．又，
∴，即，∴在上为减函数．
（3）因是奇函数，从而不等式：，
等价于，
因为减函数，由上式推得：．
即对一切有：恒成立，设，
令，则有，
∴，
∴，即k的取值范围为．
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