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北师大版数学7年级下册培优精做课件1.3.1平方差公式第一章整式的乘除授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.
学习目标
1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导平方差公式.
2.掌握平方差公式，能正确运用公式进行简单计算和推理.
从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为 20 米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何 ”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把
这事和邻居们－讲，大家都说：
“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．
你知道张老汉是否吃亏了吗
新课探究
（1）(x+2) (x–2)
（2）(1+3a)(1–3a)
（3）(x+5y)(1–5y)
（4）(2y+z)(2y–z)
= x2 – 2x + 2x – 4
= x2 – 4
= 1 – 3a + 3a – 9a2
= 1 – 9a2
= x2 – 5xy + 5xy – 25y2
= x2 – 25y2
= 4y2 – 2yz + 2yz – z2
= 4y2 – z2
用多项式与多项式相乘的运算法则计算下列多项式的积：
两数的___
两数的___
中间项抵消了
两数_____的___
和
差
差
平方
你发现了什么
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差。
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B
1．下列各式中，不能用平方差公式计算的是(　　)
A．(x－2y)(2y＋x)
B．(x－2y)(－2y＋x)
C．(x＋y)(y－x)
D．(2x－3y)(3y＋2x)
2．若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则m，n的值为(　　)
A．m＝2，n＝3
B．m＝－2，n＝－3
C．m＝2，n＝－3
D．m＝－2，n＝3
B
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你能再举一些类似的例子验证一下你的发现吗
(a + b)(a - b) = a2 - b2
（1）(3m + 1)(3m - 1); （2）(x2 + y)(x2 - y).
= 9m2 - 3m + 3m - 1=9m2 – 1。
= x4 - x2y + yx2 - y2= x4 - y2。
（1）(3m + 1)(3m - 1)
（2）(x2 + y)(x2 - y)
你能用字母表示你发现的规律吗
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
平方差公式：
平方差公式是多项式乘方(a+b)(p+q)中p=a，q=－b的特殊情形。
相反项
相同项
注意用谁减谁
相同项2-相反项2
3. [教材P25习题T10(2)]若xn－81＝(x2＋9)(x＋3)(x－3)，则n等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
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【点拨】因为(x2＋9)(x＋3)(x－3)＝(x2＋9)(x2－9)＝
x4－81，所以xn－81＝x4－81，所以n＝4.
B
4．填空：(1)(5m＋3n)(5m－3n)＝_________；
(2)(－3x＋y)(－3x－y)＝________；
(3)(2a＋b)________＝b2－4a2.
25m2－9n2　
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9x2－y2
(b－2a)
例 1
利用平方差公式计算：
（1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) ；
（2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) ；
（3） (– m + n ) (– m – n) 。
解：（1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) = 52–(6x)2 = 25 – 36x2 ；
（2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) = x2– (2y)2 =x2– 4y2；
（3） (– m + n ) (– m – n) = (– m)2 – n2 =m2– n2 。
a
b
总结:关键是先确定相同项“a”和相反项“b”。
5．已知9m2－n2＝24，且3m－n＝4，则3m＋n等于_____．
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6
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(2)a4－(1－a)(1＋a)(1＋a2)．
【解】原式＝a4－(1－a2)(1＋a2)＝a4－(1－a4)＝2a4－1.
（1）( a + 2)( a – 2) ； （2）(3a + 2b)(3a – 2b)。
解:（1） ( a + 2)( a – 2)
（2） (3a + 2b)(3a – 2b)
= a2 – 22
= (3a)2 – (2b)2
= a2 – 4
= 9a2 – 4b2
计算：
随堂练习
例 2 利用平方差公式计算
（1）(– x – y)(– x + y)；
（2）(ab + 8)(ab – 8) 。
解：（1）(– x – y)(– x + y)= (– x)2 – y2= x2 – y2；
（2）(ab + 8)(ab – 8) = (ab)2 – 82 =a2b2 – 64 。
如何计算(a – b)(– a – b) 你是怎样做的
(a – b)(– a – b)
= – (a – b) (a + b )
= – (a2 – b2)
= b2 – a2
尝试·思考
注意:对于不能直接应用公式的，
可能要经过变形才可以应用。
7．化简(a＋b＋c)2－(a－b＋c)2的结果为(　　)
A．4ab＋4bc B．4ac
C．2ac D．4ab－4bc
【点拨】(a＋b＋c)2－(a－b＋c)2＝[(a＋b＋c)＋(a－b＋c)][(a＋b＋c)－(a－b＋c)]＝2b(2a＋2c)＝4ab＋4bc.故选A.
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A
8. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如8＝32－12，16＝52－32，所以8，16都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为(　　)
A．22　　 B．24　　 C．30　　 D．34
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【点拨】设这两个连续奇数分别为2n－1，2n＋1，其中n是正整数，则“凤凰数”＝(2n＋1)2－(2n－1)2＝[(2n＋1)＋(2n－1)]·[(2n＋1)－(2n－1)]＝4n×2＝8n.A.22÷8＝2……6，故该选项错误；B.24÷8＝3，故该选项正确；C.30÷8＝3……6，故该选项错误；D.34÷8＝4……2，故该选项错误．故选B.
【答案】 B
9. 若(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝15，则a＋b＝________.
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【点拨】因为(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝15，所以(2a＋2b)2－1＝15，所以4(a＋b)2＝16.所以(a＋b)2＝4.所以
a＋b＝2或a＋b＝－2.
2或－2
10. 阅读下列材料：
某同学在计算3(4＋1)(42＋1)时，把3写成4－1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3(4＋1)(42＋1)＝(4－1)(4＋1)(42＋1)＝(42－1)(42＋1)＝162－1.
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平方差公式
文字描述
几何验证
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差
(a + b)(a－b) = a2－b2
多项式乘多项式
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
符号表示
c=a，d=-b

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