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北师大版数学7年级下册培优精做课件2.2.2利用内错角、同旁内角判定两直线平行第二章相交线与平行线授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.
学习目标
1.理解并掌握内错角和同旁内角的概念.
2.能够识别内错角和同旁内角.
3.能够运用内错角、同旁内角判定两条直线平行.
4.会尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线.
问题 小明有一块小画板， 他想知道它的上、 下边缘是否平行， 于是他在两个边缘之间画了一条线段 AB（如图所示） .
思考 小明身边只有一个量角器， 他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上、 下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？
观察∠1与∠4的位置关系：
①在直线l的两侧；
②在直线AB，CD的之间
内错角
图中的内错角还有哪些？
∠3与∠2
探究点1：内错角和同旁内角的识别
问题引入，自主探究
C
D
A
B
l
1
3
2
问题1：观察右图中的∠1和∠2， ∠1和∠3，它们是同位角吗？
问题2：观察右图中的∠1和∠2，你能发现它们有什么样的位置关系吗？
1.都在被截直线AB，CD的_____________。
2.都在截线 l 的__________。
之间(之内)
两侧(交错)
不是
具有∠1与∠2这样位置关系的角称为内错角。
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1．如图所示，下列说法中正确的有(　　)
①∠A与∠B是同旁内角；
②∠2与∠1是内错角；
③∠A与∠C是内错角；
④∠A与∠1是同位角．
A．1个　 B．2个　 C．3个 D．4个
C
2．如图，下列能判定AB∥CD的条件有(　　)
①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；
③∠3＝∠4；④∠B＝∠5.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
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【点拨】①利用同旁内角互补判定两直线平行，正确；②利用内错角相等判定两直线平行．因为∠1＝∠2，所以AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故错误；③利用内错角相等判定两直线平行，正确；④利用同位角相等判定两直线平行，正确．故选C.
【答案】 C
A
B
F
1
2
3
4
5
7
6
8
C
D
E
问题3：尝试找出下图中内错角，并观察内错角的图形有什么特征。
∠4和∠6，∠3和∠5
α
β
α
β
4
6
3
5
总结
图形特征：在形如字母“ Z ”的图形中有内错角。
C
D
A
B
l
1
3
2
问题4：观察右图中的∠1和∠3，你能发现它们有什么样的位置关系吗？
1.都在被截直线AB，CD的___________。
2.都在截线 l 的______________。
之间(之内)
同一旁(同侧)
具有∠1与∠3这样位置关系的角称为同旁内角。
∠4和∠5，∠3和∠6
A
B
F
1
2
3
4
5
7
6
8
C
D
E
问题5：尝试找出下图中同旁内角并观察同旁内角的图形有什么特征。
α
β
α
β
4
5
3
6
总结
图形特征：在形如字母“ U ”的图形中有同旁内角。
3. [观察·交流]如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段AB，AC，AE，ED，EC，DB中，相互平行的线段有(　　)
A．4组
B．3组
C．2组
D．1组
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【点拨】∠B＝∠DCE，则AB∥EC(同位角相等，两直线平行)；∠BCA＝∠CAE，则AE∥DB(内错角相等，两直线平行)；∠ACE＝∠DEC，则AC∥ED(内错角相等，两直线平行)．互相平行的线段有：AE∥DB，AB∥EC，AC∥ED，共3组．故选B.
【答案】 B
回顾同位角﹑内错角和同旁内角的位置与结构特征，完成下列表格。
角的名称 位置特征 基本图形 形象记法 共同特征
同位角 截线：_________ 被截线：_______ “_________”
内错角 截线：_________ 被截线：_______ “_________” 同旁内角 截线：_________ 被截线：_______ “_________” 同侧
同侧
F
Z
U
两侧
之间
同侧
之间
①必有三条直线
②这三类角都没有公共顶点
③都表示角之间的位置关系
问题1：内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？
探究点2：平行线的判定
a
b
l
3
2
1
解：当内错角相等时，两直线平行，
即当∠1=∠2时，a∥b。
因为∠1=∠3（对顶角相等），
当∠1=∠2时，
∠2 = ∠3 (等量代换)，
所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）。
总结
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简述为：内错角相等，两直线平行。
几何语言：
因为∠1=∠2 (已知)，
所以 a∥b (内错角相等，两直线平行)。
a
b
l
3
2
1
解：当同旁内角互补时，两直线平行，
即当∠1+∠2=180°时，a∥b。
因为∠1+∠2=180°(已知)，
∠1+∠3=180°(平角的定义)，
所以∠2 = ∠3 (同角的补角相等)，
所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）。
问题2：同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？与同伴进行交流。
a
b
l
3
2
1
4. 如图，________是∠1和∠6的同位角，________是∠1和∠6的内错角，________是∠6的同旁内角．
∠3
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∠5
∠4
5. 如图，在四边形ABCD中，点F在AD的延长线上，点E在AB的延长线上，如果添加一个条件，使AB∥DC，那么可添加的条件为_____________________________．
(写出一个即可)
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∠ADC＋∠A＝180°(答案不唯一)
总结
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简述为：同旁内角互补，两直线平行。
几何语言：
因为∠1＋∠2＝180°(已知)，
所以 a∥b (同旁内角互补，两直线平行)。
a
b
l
3
2
1
观察·交流
(1)如图，三个相同的三角尺拼成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由。
B
C
A
E
D
B
C
A
E
D
(2)以下是小颖的思考过程，你能明白她的意思吗？
BC与AE是平行的。因为∠BCA与∠EAC 是内错角，而且相等。
依据内错角相等，判断两直线平行。
B
C
A
E
D
(3)在图中再找出一组平行线，说说你的理由，并与同伴进行交流
AB∥EC。
理由:
因为∠BAC=∠ECA=90°，
所以 AB∥EC。(内错角相等，两直线平行)
思考·交流
如图，在探究两条直线是否平行时，常用第三条直线截这两条直线，那么这条截线的作用是什么呢？与同伴进行交流。
b
a
截线
利用截线与两条直线构造出同位角、内错角或同旁内角，再依据平行线的判定说明两条直线平行。
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6．如图是一个由4条射线构成的“鱼”形图案，∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°.找出图中所有的平行线，并说明理由．
【解】BF∥CE，BC∥EF.理由
如下：因为∠1＝50°，∠2＝50°，所以∠1＝∠2，所以BF∥CE.因为∠2＝50°，∠3＝130°，所以
∠2＋∠3＝180°，所以BC∥EF.
如图，某公园现有两条直道AB和CD交于点O，为方便游客观赏，公园管理部门决定过小路CD上的点P，再修建一条直道MN，并且MN与AB 平行。
问题1：过点P的直线有多少条？
A
B
C
D
O
P
探究点3：用尺规过一点作已知直线的平行线
问题2：满足什么条件的直线才能与AB平行？
无数条
E
需要满足∠DPE=∠POB，可根据同位角相等判断所画直线与AB平行。
1.在直线AB上任取一点O，过点O，P作直线CD。
2.以点 P 为顶点，以PD为一边，在直线CD的右侧作∠DPN=∠DOB。
PN边所在的直线MN就是要作的直线。
A
B
P
O
C
D
M
N
因为∠DPN=∠DOB 且为同位角，利用同位角相等，得出两直线平行
问题3：你能在图中画出直道 MN 吗？
问题4：你能说说这样作的道理吗？
7．如图，点O在直线AB上，F是DE上一点，连接OF，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF.
(1)试说明：OC⊥OD；
(2)若∠D与∠1互余，试说明：ED∥AB.
【解】因为∠COD＝90°，所以∠1＋∠BOD＝90°.因为∠D与∠1互余，所以∠1＋∠D＝90°，所以∠D＝∠BOD，所以ED∥AB.
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8．下列各图中，能画出AB∥CD的是(　　)

A．①②③　 B．①②④ C．③④　 D．①②③④
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【点拨】由同位角相等，两直线平行可知①③正确；由内错角相等，两直线平行可知②④正确．
【答案】 D
9．一次数学活动中，检验两条纸带①、②的边线是否平行，嘉嘉和淇淇采用两种不同的方法：嘉嘉将纸带①沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝59°；淇淇将纸带②沿CD折叠，发现CN与CM重合，DQ与DP重合(点C在MN上，点D在PQ上)，展开后得到折痕CD，如图所示．
下列判断正确的是(　　)
A．只有纸带①的边线平行
B．只有纸带②的边线平行
C．纸带①，②的边线都平行
D．纸带①，②的边线都不平行
【点拨】如图①，因为∠1与∠3互为对顶角，所以∠1＝∠3＝59°.又因为∠1＝∠2＝59°，所以∠3＝∠2＝59°.所以∠4＝∠5＝180°－59°－59°＝62°.所以∠2≠∠4.所以纸带①的边线不平行；
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如图②，因为沿CD折叠，CN与CM重合，DQ与DP重合，所以∠MCD＝90°，∠PDC＝90°.
所以∠MCD＋∠PDC＝180°.
所以纸带②的边线平行．故选B.
【答案】 B
10．如图是由五个同样的三角形组成的图案，三角形的三个角分别为36°，72°，72°，则图中共有________对平行线．
5
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【点拨】如图，因为∠BAJ＝∠AIE＝72°，所以AB∥EH.因为∠BFC＝∠FCD＝72°，所以BJ∥CD.因为∠CBF＝∠BJA＝72°，所以BC∥AI.因为∠EDG＝∠CGD＝72°，所以DE∥CF.
因为∠AEH ＝∠EHD＝72°，
所以AE∥DG.故共有5对平行线．
11．将一块三角板ABC(∠BAC＝90°，∠ABC＝30°)按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的五个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30′；②∠2＝2∠1；③∠1＋∠2＝90°；④∠ACB＝∠1＋∠2；⑤∠ABC＝∠2－∠1.能判定直线
m∥n的有________．(填序号)
①⑤
线
平
行
线
相
交
线
两条
直线
相交
一般情况
补角
对顶角
相交成直角
垂直
位置
关系
余角
点到直线的距离
两条直线被第三条所截
概念
两直线平行的条件
两直线平行的性质
性质
概念
两个角有公共点，它们的两边互为反向延长线。
对顶角相等
两个角的和为180°，称两个角互补。
同角(或等角)的补角相等
两个角的和为90°，称两个角互余。
同角(或等角)的余角相等
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直。
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离
课堂小结
性质
概念
性质
性质
概念
同位角
在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
形如 ∠1与∠2 的位置关系
同位角相等，两直线平行。
概念
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
平行于同一条直线的两条直线平行。
内错角相等，两直线平行。
内错角
同旁内角
形如 ∠2与∠3 的位置关系
形如 ∠2与∠4 的位置关系
同旁内角互补，两直线平行。

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