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东城领秀学校2025—2026学年度第一学期第一次统一作业
七年级 数学 试题
一、单选题
1．下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式：①；②；③；④．其中相等的两个是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
3．从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其截成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的式为（ ）

A．
B．
C．
D．
4．若，，则下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．设，则（ ）
A． B． C． D．
6．要使的积中不含有的一次项，则等于（　　）
A．-4 B．-3 C．3 D．4
7．下列各式的计算中不正确的个数是（　　）
①；②；③；④
A．4 B．3 C．2 D．1
8．已知，则的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
9．如图，有甲、乙、丙三种纸片各若干张，其中甲、乙分别是边长为a(cm)、b(cm)的正方形，丙是长为b(cm)，宽为a(cm)的长方形．若同时用甲、乙、丙纸片分别为4张、1张、4张拼成正方形，则拼成的正方形的边长为(　　)
A．(a+2b)cm B．(a﹣2b)cm C．(2a+b)cm D．(2a﹣b)cm
10．在有理数的原有运算法则中我们补充定义新运算“ ”如下：当时，；当时，．则当时，的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．臭氧（）是使地表生物免受太阳紫外线伤害的可变气体，它在干洁空气中每100立方米含臭氧为0.000 001立方米，那么209立方米干洁空气含臭氧 立方米（用科学记数法表示）．
12．若的值为256，则= ．
13．若，则 ．
14．实践课上，小郑做了一个边长为的正方形，若把这个正方形的边长减少，则其面积减少了 ．
15．已知，，，那么a、b、c之间满足的等量关系是 ．
16．观察下列各式的规律：
；
；
；
…
可得到______．
17．对于实数a，b，c，d，规定一种运算，如，那么当时，x等于 ．
18．先阅读小明的解题过程，然后回答问题：
计算：．
解：原式
老师说小明的解法有错误，那么上述解题过程是从第_______步开始出现错误，错误原因是_______．
三、解答题
19．计算下列各式：
（1）
（2）
（3）
先化简，再求值：，其中，．
21．解方程：．
22．植物园有一个游戏场和一块葡萄园，所占地形状都是正方形，面积也相同，后来重新改建，扩大了游戏场的面积，缩小了葡萄园的面积，扩大后的游戏场地仍为正方形，边长比原来增加了3米，缩小后的葡萄园也为正方形，边长比原来减少了2米，设它们原来的边长都为x米，请表示出扩大后的游戏场地的面积比缩小后的葡萄园的面积多多少平方米，并计算当时的值．
23．已知多项式．
（1）化简多项式时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程．在标出①②③④的几项中出现错误的是__________；请写出正确的解答过程．
（2）小亮说：“只要给出的合理的值，即可求出多项式的值．”小明给出值为4，请你求出此时的值．
小明的作业 解：
24．阅读材料：
求的值．
解：设，将等式两边同时乘，
得．
将下式减去上式，得
即，
即
仿照此法计算：
(1)
(2)．
25．【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法：
方法一：比较的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大；
方法二：比较和的大小：因为，所以．
即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)比较大小：_______________（直接填写“>”或“”或“<”）．
(2)已知，试比较的大小．
26．阅读材料：整体思想是数学中的重要思想，其核心是通过全局视觉处理问题，将多个局部元素视为整体，简化运算或发现隐藏关系，主要有整体代入，整体运算，整体构建等方法．
例：因式分解：，把""看成整体，即，
原式＝，原式＝．
请依据上面的材料解决有关问题：
因式分解：________；
已知，则________；
若，求的值，写出过程．
27．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空： ；
(2)若，，，请你尝试证明：；
(3)进一步探究这种运算时发现一个结论：．
证明：设，，，
，即．
．
请你利用上述结论，计算：．
28．数形结合是一种重要数学思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解决数学问题．
(1)例如：图1阴影部分的面积可以解释数学公式：．图2：____；图3：____．
其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．例如：如图4，已知，，求的值．
方法一：从“数”的角度 解：∵，∴，即，又∵，∴．
方法二：从“形”的角度 解：∵，∴，又∵，∴，∴．即．
类比迁移：
(2)若，则的值为多少？
(3)如图5，是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，分别表示图中两个正方形的面积，设，图中阴影部分面积，则两个正方形的面积之和的值为多少？
试卷第1页，共3页
《2025年09月26日数学作业》参考答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C D B D B D C B
二、填空题：
11.
12.3
13.11
14．
15．
16．
17.22
18．②，错误的原因是：第一，混淆了合并同类项与同底数幂相乘运算法则，属于合并同类项，而不是同底数幂的乘法；第二，同底数幂相乘时，漏加了指数为1的项的指数
三、解答题：
19．解：（1）=z)=2xz；
（2）原式；
（3）=．
20．解：
，
当，时，原式．
21.
22．解：
当时，
答：绿化的面积是；当时，值为125．
23．解：（1）出现错误的是①，正确的解答过程如下：
；
（2）
或
或
方法一：
当时，
当时，
方法二：
当时，
当时，
综上，此时的值为10或．
24．（1）解：设，
两边乘以3得：，
将下式减去上式，得
即，
即；
（2）设，
两边乘以得：，
将下式减去上式得：
解得：，
即．
25．（1）解：∵，
∴；
∵，而，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，；
∵，
∴；
26．(1) (2)-4
27．（1）解：由题意可得：，
，
故答案为：；
（2）证明：，，，
，，，
，
，
即：，
；
（3）解：
，
设，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
28．解：（1）
（2）设，，则，，
所以
，
故答案为：10．
（3）设，，则，
∵，
∴
答案第1页，共2页

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