资源简介

(共17张PPT)
周滚动限时练（五）
（检测内容：28.1　满分：100分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.tan 30°的值等于 （　A　）
A. B.
C.1 D.2
　A　
2.在Rt△ABC 中，∠C=90°.若∠A=α，AB=3，则AC的长为
（　B　）
A.3sin α B.3cos α
C. D.
　B　
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则cos A的值是
（　D　）
A. B.2
C. D.
　D　
4.如图，以点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，点P是上的一点（不与点A，B重合），连接OP.设∠POB=α，则点P的坐标是 （　C　）
第4题图
A.（sin α，sin α）
B.（cos α，cos α）
C.（cos α，sin α）
D.（sin α，cos α）
　C　
5.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a=5，b=12，c=13，下列结论中正确的是 （　C　）
A.sin A= B.cos A=
C.tan A= D.cos B=
　C　
6.在Rt△ABC中，cos A=，则sin A的值是 （　A　）
A. B.
C. D.
　A　
7.如图，电线杆CD的高度为5 m，两根拉线AC与BC交于点C，点A，D，B在同一条直线上.若∠CAB=α，则拉线AC的长度为
（　C　）
A.5 sin α m B. m
C. m D.5 tan α m
第7题图
　C　
8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为
（　A　）
A. B.-1 C.2- D.
第8题图
　A　
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
9.锐角α满足2sin（α-15°）=，则α的度数为　75°　.
　75°　
10.如图，α的顶点为点O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（b，4）.若sin α=，则b=　3　.
第10题图
　3　
11.（2025·南京二模）如图，将一张宽为的矩形纸片折叠，若∠1=60°，则折痕EF的长为　2　.
第11题图
　2　
12.如图，点A在反比例函数y=-（x<0）的图象上，点B在反比例函数y=（x>0）的图象上，且∠AOB=90°，解决下列问题：
第12题图
（1）S△ACO∶S△BDO=　6∶1　.
（2）cos∠OBA= 　 .
　6∶1　
　
三、解答题（本题共3小题，共40分）
13.（12分）计算：
（1）cos 60°+sin 45°+tan 30°.
解：（1）原式=+×+×
=++1
=2.（6分）
（2）sin 45°+cos 30°·tan 60°-.
解：（2）原式=×+×-3=-.（12分）
14.（12分）如图，在△ABC中，BC=12，tan A=，∠B=30°，求AC和AB的长.
第14题图
解：如图，过点C作CH⊥AB于点H.
在Rt△BCH中，∵BC=12，
∠B=30°，∴CH=BC=6，
BH==6.（6分）
在Rt△ACH中，tan A==，∴AH=8，（8分）
∴AC==10，∴AB=AH+BH=8+6.（12分）
15.（16分）如图，在 ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE=3，BE=4，DE=5.
（1）求证：BE⊥CD.
第15题图
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，AD=BC，DC∥AB，
∴∠DEA=∠EAB.（2分）
∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE=5，
∴BC=5，AB=CD=DE+CE=8.（4分）
∵CE2+BE2=32+42=25=BC2，
∴△BCE是直角三角形，∠BEC=90°，
∴BE⊥CD.（8分）
（2）求sin∠DAE的值.
第15题图
（2）∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BEC=90°，
∴AE===4，（12分）
∴sin∠DAE=sin∠EAB===.（16分）(共19张PPT)
★单元核心考点归纳
锐角三角函数的定义
1.（2024·云南）如图，在△ABC中，若∠B=90°，AB=3，BC=4，则tan A的值为 （　C　）
第1题图
A. B.
C. D.
　C　
2.（2024·庐阳期末）在△ABC中，∠C=90°，tan A=2，则cos A的值为 （　A　）
A. B.
C. D.
　A　
3.在△ABC中，∠C=90°，=，则 （　D　）
A.cos A= B.sin B=
C.tan A= D.tan B=
　D　
特殊角的三角函数值
4.sin 45°cos 60°-cos 45°的值等于 （　D　）
A. B.
C. D.-
　D　
5.计算：4sin 60°++-.
解：原式=4×+3+2-2
=2+3+2-2
=5.
6.(2024·肥东期末)计算：tan 230°+2sin 45°-sin 60°×cos 30°.
解：原式=+2×-×
=+-
=-.
解直角三角形
7.如图，在△ABC中，sin B=，tan C=2，AB=3，则AC的长为
（　B　）
A. B. C. D.2
第7题图
　B　
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC=6，点D是AC上的一点.若tan∠DBA=，则AD的长为 （　A　）
A.2 B.
C. D.1
第8题图
　A　
9.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E.若=，则sin C的值是 （　B　）
A. B. C. D.
第9题图
　B　
10.（2024·自贡）如图，等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED=60°，则新钢架减少用钢 （　D　）
A.（24-12）m B.（24-8）m
C.（24-6）m D.（24-4）m
第10题图
　D　
11.（2024·浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC上的中线，AB=10，AD=6，tan∠ACB=1.
（1）求BC的长.
第11题图
解：（1）∵AD⊥BC，AB=10，AD=6，
∴BD===8.
∵tan∠ACB=1，
∴CD=AD=6，
∴BC=BD+CD=8+6=14.
（2）求sin∠DAE的值.
第11题图
（2）∵AE是BC上的中线，∴CE=BC=7，
∴DE=CE-CD=7-6=1.
∵AD⊥BC，
∴AE===，
∴sin∠DAE===.
解直角三角形的实际应用
12.如图1，塔式太阳能电站把地面上多个平面镜（定日镜）反射的太阳光汇聚到吸热塔塔顶，从而利用太阳能发电.如图2，某时刻一条与水平方向成80°角的太阳光线，以20°的入射角射向定日镜上的点C处，点C到吸热塔AB（垂直于水平面）的距离为220 m，定日镜支撑柱的高CD=3 m，则估计吸热塔AB的高为　187.8 　m.（参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84）
　187.8 　
第12题图
13.黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度.具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102 m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是　1　m.（参考数据：tan 63°
≈2）
第13题图
　51　
14.（2025·湖南）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB=19 dm，CD>AB.在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE=13 dm，一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥l.
第14题图
（1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12 dm，求该连衣裙MN的长度.
解：（1）∵EG⊥AB，AB⊥BD，EN⊥BD，
∴四边形BNEG是矩形，
∴EN=BG.
在Rt△AEG中，AE=13 dm，EG=12 dm，
∴AG===5（dm），
∴BG=AB-AG=14 dm，
∴EN=14 dm.
答：该连衣裙MN的长度为14 dm.
（2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧）.若∠BAE=76.1°，求此时该连衣裙下端点N到地面水平线l的距离.（结果保留整数，参考数据：sin 76.1°≈0.97，cos 76.1°≈0.24，tan 76.1°≈4.04）
（2）如图，过点E作EH⊥AB于点H，延长EN交BD于点T.
∵AB⊥BD，EH⊥AB，ET⊥BD，
∴四边形BTEH是矩形，
∴ET=BH.
在Rt△AEH中，AE=13 dm，∠HAE=76.1°，
∴AH=AE·cos∠HAE=13×cos 76.1°≈13×0.24=3.12（dm），
∵AB=19 dm.
∴BH=AB-AH=15.88 dm，
∴ET=15.88 dm.
∵EN=14 dm，
∴NT=ET-EN=15.88-14=1.88（dm）≈2（dm）.
答：此时该连衣裙下端点N到地面水平线l的距离约为2 dm.(共8张PPT)
8　【方法技巧专题】求锐角三角函数的方法归类
方法一 运用定义求锐角三角函数的值
1.如图，在3×3的正方形的网格中标出了∠1和∠2，下列三角函数值正确的是 （　C　）
A.tan∠1= B.sin∠1=
C.tan∠2=3 D.sin∠2=
第1题图
　C　
方法二 利用等角关系求三角函数的值
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是边AB上的高，AD=2，CD=3，则tan∠ABC= 　.
第2题图
　
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D.若AD=9，CD=3，点E为AC的中点，求∠ADE和∠EDC的正弦值.
第3题图
解：在Rt△ACD中，AC=
==3.
∵DE是Rt△ACD斜边AC上的中线，
∴AE=DE=CE，
∴∠ADE=∠CAD，∠EDC=∠C，
∴sin∠ADE=sin∠CAD===，
sin∠EDC=sin C===.
方法三 构造直角三角形求三角函数
4.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，A，B，C三点都在格点上，则cos B的值为 （　D　）
A. B. C. D.
第4题图
　D　
5.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为 （　C　）
A.1 B.
C. D.2
第5题图
　C　
6.如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tan B=.
（1）求BC的长.
第6题图
解：（1）如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.
在Rt△ADC中，∠ACD=180°-∠ACB=30°，
∴AD=AC=2，CD=AC·cos 30°=4×=2.
在Rt△ABD中，tan B===，则BD=16，
∴BC=BD-CD=16-2.
（2）利用此图形求tan 15°的值.
（2）在边BC上取一点M，使得CM=AC，连接AM，如图所示.
∵∠ACD=30°，∴∠AMC=∠MAC=15°，
∴tan 15°=tan∠AMD====2-.(共58张PPT)
28.1　锐角三角函数
第1课时　正　弦
正弦的定义
1.（2025·广西）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，AC=3，则sin B的值为 （　B　）
A. B.
C. D.
　B　
2.如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示sin α的值，错误的是
（　D　）
A. B. C. D.
第2题图
　D　
3.如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为
　.
第3题图
　
4.在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=3BC，则sin B= 　.
　
5.变式体验·P63例1如图，在△ABC中，∠C=90°，a∶c=2∶3，分别求sin A，sin B的值.
第5题图
解：∵a∶c=2∶3，设a=2k，
c=3k（k≠0），
∴b==k，
∴sin A===，
sin B===.
正弦的应用
6.（2025·梅州二模）在△ABC中，∠C=90°，BC=4，sin A=，则边AB的长是 （　B　）
A.2 B.6
C. D.2
　B　
7.如图，一辆货车为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知∠BCA=90°，∠BAC=α，BC=h，则AB的长为 　.
第7题图
　
8.在 ABCD中，AB=8 cm，BC=6 cm，sin A=，则 ABCD的面积是 　cm2.
　
9.如图，在平面直角坐标系中，点P是∠α的边OQ上的一点，已知点P的横坐标为6，且sin α=.求点P的纵坐标.
第9题图
解：如图，过点P作PM⊥x轴于点M，则∠PMO=90°.
∵点P的横坐标为6，
∴OM=6.
∵sin α=，∴=.
设PM=4x，则OP=5x.
在Rt△PMO中，OM2+PM2=OP2，
∴62+（4x）2=（5x）2，
解得x=2（舍去负值），∴PM=4x=8，
∴点P的纵坐标为8.
10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论中错误的是 （　C　）
第10题图
A.sin B= B.sin B=
C.sin B= D.sin B=
　C　
11.（2025·滁州三模）如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1.若点A，B，C都在格点上（网格线的交点），则sin B的值为 （　A　）
第11题图
A. B.
C. D.
　A　
12.如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点.若EF=2，BC=5，CD=3，则sin C的值为 　.
第12题图
　
13.如图，点P（12，a）在反比例函数y=的图象上，PH⊥x轴于点H，则sin∠POH= 　.
第13题图
　
14.如图，在△ABC中，AB=AC=15，BC=24，点P，D分别在边AB，BC上，且AD2=AP·AB，求∠ADP的正弦值.
第14题图
解：∵AD2=AP·AB，
∴=.
又∵∠DAP=∠BAD，
∴△PAD∽△DAB，
∴∠ADP=∠B.
如图，过点A作AE⊥BC于点E.
∵AB=AC=15，∴△ABC是等腰三角形.
又∵BC=24，∴BE=CE=12，
∴AE===9，
∴sin∠ADP=sin B===.
15.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，点E为边AC的中点，BC=14，AD=12，sin B=，求：
（1）线段DC的长.
第15题图
解：（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC，∴sin B==.
∵AD=12，∴AB=AD=15.
在Rt△ABD中，
∵BD===9，
∴CD=BC-BD=14-9=5.
（2）sin∠EDC的值.
第15题图
（2）在Rt△ADC中，∵AD=12，DC=5，
∴AC===13.
∵点E是AC的中点，∴DE=EC，
∴∠EDC=∠C，
∴sin∠EDC=sin C==.
余弦
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则cos A的值为
（　A　）
A. B.
C. D.
　A　
第2课时　余弦和正切
2.如图，在网格中每个小正方形边长为1，若点A，B，C均在格点上，则cos∠BAC的值为 （　B　）
A. B. C. D.
第2题图
　B　
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，cos A=，AC=，则BC=　1　.
　1　
正切
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tan A的值是
（　A　）
A. B.
C. D.
　A　
5.（2025·临沧三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，CD=，AC=4，则tan∠DCB的值是 （　C　）
A. B.
C. D.
第5题图
　C　
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tan A=，则BC的长是 （　A　）
A.2 B.8
C.2 D.4
第6题图
　A　
7.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AD的中点，AC=4，OE=2.求OD的长及tan∠EDO的值.
第7题图
解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，AC=2AO.
∵AC=4，∴AO=2.
在Rt△AOD中，
∵点E为AD中点，
∴OE=AD.
∵OE=2，∴AD=4，
∴OD===2，
∴tan∠EDO===.
三角函数
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则下列选项正确的是 （　D　）
第8题图
A.sin A=
B.cos B=
C.tan A=
　D　
D.tan B=
9.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D.若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sin C，cos C，tan C的值.
第9题图
解：∵AD⊥BC，∴tan∠BAD=.
∵tan∠BAD=，AD=12，
∴BD=9，
∴CD=BC-BD=14-9=5.
在Rt△ADC中，
AC==13，
∴sin C==，cos C==，tan C==.
10.如图，一个不可伸拉的梯子与地面所成的夹角为α（0°<α<
90°），关于∠α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法正确的是 （　A　）
A.sin α值越大，梯子越陡
B.cos α值越大，梯子越陡
C.tan α值越小，梯子越陡
D.陡缓程度与∠α的函数值无关
第10题图
　A　
11.新考法如图，在△ABC中，∠C=90°，定义：斜边与∠A的对边的比叫作∠A的余割，用“csc A”表示.若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则csc A=，则下列说法正确的是 （　C）
A.csc B·sin A=1 B.csc B=
C.csc A·cos B=1 D.csc2A+csc2B=1
第11题图
　C　
12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是边BC上的中线.若sin∠CAM=，则tan B= 　.
第12题图
　
13.如图，AB是☉O的直径，BC与☉O相切于点B，连接AC，OC.若sin∠BAC=，则tan∠ACO的值为 　.
第13题图
　
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AD=1，BD=4.
（1）求CD的长.
（2）求sin A，tan B的值.
第14题图
解：（1）先证得△ACD∽△CBD，
∴=，
∴CD2=AD·BD=4，
∴CD=2.
（2）在Rt△ACD中，AC==，
∴sin A==，tan B=tan∠ACD==.
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=，点D是边AC上的一点，连接BD.若tan A=，tan∠ABD=.
（1）求点D到AB的距离.
第15题图
解：（1）如图，过点D作DE⊥AB于点E.
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=，
∴tan A==，∴AC=2BC=2.
由勾股定理，得AB===5.
∵tan A=，tan∠ABD=，∴=，=，
∴DE=AE，DE=BE，∴AE=BE，∴BE=AE.
∵AE+BE=5，∴AE+AE=5，
∴AE=2，∴DE=1，
即点D到AB的距离为1.
（2）求CD的长.
（2）在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，
∴AD===.
∵AD+CD=AC=2，
∴CD=AC-AD=2-=，
即CD的长为.
30°、45°、60°角的三角函数值
1.下列三角函数值是有理数的是 （　C　）
A.sin 60° B.sin 45°
C.cos 60° D.tan 30°
　C　
第3课时　特殊角的三角函数值
2.计算6tan 45°-2sin 30°的结果是 （　D　）
A.4 B.4
C.5 D.5
　D　
3.（2025·龙岩二模）如图，BD是菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点E，交BD于点F，且点E为BC的中点，则tan∠AFD的值是
（　D　）
A. B. C. D.
第3题图
　D　
4.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB=60°，则的值是 （　D　）
A. B.
C. D.
第4题图
　D　
5.计算：
（1）3tan 30°-2cos 45°+2sin 60°.
解：（1）原式=3×-2×+2×
=-+
=2-.
（2）3tan230°-（cos 75°-sin 10°）0+2cos 60°·tan 45°.
解：（2）原式=3×-1+2××1
=3×-1+1
=1.
通过特殊三角函数值求角度
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=，则∠B的度数是
（　D　）
A.15° B.45°
C.30° D.60°
　D　
7.若α为锐角，且sin α=，则tan α的值为　1　.
　1　
8.若α为锐角，且3tan（90°-α）=，则α的度数为　60°　.
　60°　
9.在△ABC中，若+=0，则△ABC一定是 （　D　）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
　D　
10.如图，在△ABC中，∠C=45°，tan B=，AD⊥BC于点D，AC=2.若点E，F分别为AC，BC的中点，则EF的长为 （　B　）
第10题图
A. B.2
C. D.
　B　
11.（2025·哈尔滨三模）在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点P是BC上一点，满足∠APD=90°，则tan∠BAP= 或2　.
或2　
12.新考法小慧同学在学习“相似”一章后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值　3　，感受这种特殊化的学习过程.在“特殊线段比”的条件下，已知Rt△ABC，∠C=90°，点D在BC上.若AC=b，BC=a，CD=c，则∠BAD=　30°或90°　.
第12题图
　3　
　30°或90°　
13.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠C=60°，AB=2，求BC的长.
第13题图
解：如图，过点B作BD⊥AC于点D.
∵在Rt△ABD中，∠A=45°，
∴sin A==.
又∵AB=2，∴BD=.
∵在Rt△BCD中，∠C=60°，
∴sin C===，
∴BC==.
14.在△ABC中，已知∠A=60°，∠B为锐角，且tan A，cos B恰好为一元二次方程2x2-3mx+3=0的两个实数根.求m的值，并判断△ABC的形状.
解：由题意可知，x=tan A=tan 60°=.
把x=代入方程2x2-3mx+3=0，得
2×（）2-3m+3=0，解得m=，
则原方程为2x2-3x+3=0，
解得x1=，x2=，
∴cos B=，即∠B=30°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
即△ABC是直角三角形.
15.核心素养·推理能力我们知道：sin 30°=，cos 30°=，可得sin230°+cos230°=+=1，那么对于任意的锐角A，是否都有sin2A+cos2A=1呢？
（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，可得sin A=，cos A=.求证：sin2A+cos2A=1.
解：（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴a2+b2=c2.
又∵sin A=，cos A=，
∴sin2A+cos2A=+==1.
第15题图
（2）若sin A=，利用（1）中的结论求cos A的值.
（3）用以上探究方法你能得出sin A，cos A，tan A三者之间的关系吗？请直接写出答案.
（2）∵sin2A+cos2A=1，sin A=，
∴cos2A=1-=，
∴cos A=.（锐角的正弦值、余弦值都是正数）
（3）∵sin A=，cos A=，tan A=，
∴cos A·tan A=×==sin A，
即sin A=cos A·tan A.
用计算器求锐角的三角函数值
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=42°，BC=8.若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是 （　D　）
第1题图
A.8÷sin42=
B.8÷cos42=
C.8÷tan42=
D.8×tan42=
　D　
第4课时　借助计算器求锐角三角函数
2.用计算器求下列锐角三角函数的值.（结果精确到0.000 1）
（1）tan 32°. （2）cos 24.53°.
（3）sin 62°11'. （4）tan 39°39'39″.
解：（1）tan 32°≈0.624 9.
（2）cos 24.53°≈0.909 7.
（3）sin 62°11'≈sin 62.183°≈0.884 4.
（4）tan 39°39'39″=tan°≈
tan 39.660 8°≈0.829 1.
已知三角函数值，求锐角
3.已知tan A=1.386 4，则∠A=　54.197°　.（结果精确到0.001°）
　54.197°　
4.已知sin α=0.2，cos β=0.8，则α+β=　8°24'　.（结果精确到1'）
　48°24'　
5.用计算器求图中∠A的度数.（结果精确到0.1°）
第5题图
解：（1）由图1，得tan A===，
利用计算器求得∠A≈35.3°.
（2）由图2，得cos A===，
利用计算器求得∠A≈36.9°.
6.sin 46°，cos 46°，tan 46°的大小关系是 （　D　）
A.tan 46°B.cos 46°C.sin 46°D.cos 46°　D　
7.新情境要加工如图所示的零件，根据图示尺寸（单位：mm）计算α的度数为　22°9'12″　.（用计算器计算，结果精确到1″）
第7题图
　22°9'12″　
8.如图，在△ABC中，AB=8，AC=9，∠A=48°.求：
（1）边AB上的高.（结果精确到0.01）
第8题图
解：（1）如图，过点C作边AB上的高CH，垂足为点H.
∵在Rt△ACH中，sin A=，
∴CH=AC·sin A=9sin 48°≈6.69，
即边AB上的高为6.69.
（2）∠B的度数.（结果精确到1'）
（2）∵在Rt△ACH中，cos A=，
∴AH=AC·cos A=9cos 48°，
∴在Rt△BCH中，
tan B===≈3.382，
∴∠B≈73°32'.(共16张PPT)
10　【热点题型专题】解直角三角形的应用
类型一 单直角三角形
此类型题目中只有单独一个直角三角形，或利用辅助线构造一个直角三角形，再利用解直角三角形的知识求解.
结合题意可得四边形AEDB为矩形，∠AEC=90°.
1.（2025·贵州）某小区在设计时，计划在如图1的住宅楼正前方建一栋文体活动中心.设计示意图如图2所示，已知BD=28 m，CD=21 m，该地冬至正午太阳高度角α为35°.如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务.
第1题图
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离AB的长.
解：任务一：如图，过点A作AE⊥CD于点E，
∵BD=28 m，CD=21 m，
∴AE=BD=28 m，AB=DE.
∵∠CAE=α=35°，
∴CE=AE·tan α≈28×0.7=19.6（m），
∴AB=DE=CO-CE≈21-19.6=1.4（m）.
即冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离AB的长约为1.4 m.
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿BD方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米.（参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°
≈0.70，结果保留小数点后一位）
任务二：如图，过点B作AC的平行线，
过点C作BD的平行线，两线交于点Q，
BQ与AE交于点T，过点Q作QK⊥BD的延长线于点K，
∴∠QBK=∠ATB=∠CAE=35°，四边形CDKQ为矩形，
∴QK=CD=21 m，
∴BK===30（m），
∴DK=BK-BD=30-28=2（m），
即该活动中心移动了约2 m.
类型二 “背靠背”型
如图，这种类型的特点是两个直角三角形是并列关系，有公共直角顶点和一条公共直角边，其中这条公共直角边是沟通两个直角三角形关系的媒介.
2.（2025·铜仁三模）2025年1月17日，世界第一高桥花江峡谷大桥合龙，预计2025年内实现通车，通车后，花江峡谷大桥安龙岸与六枝岸之间的车程将从原来的1 h缩短为2 min.小明看到这则新闻特别开心，小明家在A地，奶奶家在B地，过去爸爸开车带他回奶奶家每次都要在距他家150 km的C地服务区休息一下再走，等花江峡谷大桥建成通车后就不必再绕行到C地了，小明画出了自己家到奶奶家的简易行程图，如图所示.
第2题图
若已知∠CAB=30°，∠ABC=45°，请你用自己学过的数学知识帮小明算一算：（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到个位）
（1）大桥建成以后A，B两地直接通行的距离.
解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CDA=∠CDB=90°.
∵AC=150，∠CAB=30°，
∴在Rt△CDA中，AD=AC·cos 30°=150×=75（km），
CD=AC·sin 30°=150×=75（km）.
∵∠ABC=45°，
∴在Rt△CBD中，BD==75×1=75（km），
∴AB=AD+BD=75+75≈205（km）.
答：A，B两地直接通行的距离约为205 km.
（2）求大桥建成后与之前A-C-B的路线相比，从A地到B地的路程将缩短约多少km.
（2）∵CD⊥AB，∠ABC=45°，BD=CD，
∴在Rt△CBD中，BC=BD=75 km，
∴AC+BC-AB=150+75-205≈51（km）.
答：大桥建成以后，从A地到B地的路程将缩短约51 km.
∠CBA=180°-70°-35°=75°，AB=30×2=60，
3.如图，一艘轮船由A港沿北偏东70°方向以30 n mile/h的速度航行，2 h后到达小岛B，稍作休整，然后再沿北偏西35°方向航行至C港，C港在A港北偏东25°方向，求A，C两港之间的距离.（结果精确到1 n mile，参考数据：≈1.41，≈1.73）
第3题图
解：如图，过点B作BD⊥AC于点D.
由题意，得∠CAB=70°-25°=45°，
∴∠CBD=75°-45°=30°.
在Rt△ADB中，∠CAB=45°，∴AD=BD=AB=60.
在Rt△CBD中，CD=BD×tan∠CBD=60×=20，
∴AC=AD+DC=60+20≈95.
答：A，C两港之间的距离约为95 n mile.
类型三 “母抱子”型
如图，这种类型的特点是一个直角三角形包含在另一个直角三角形中，两个直角三角形有公共直角和一条公共直角边，其中这条公共直角边是沟通两个直角三角形关系的媒介.
在Rt△CEG中，tan∠CEG=，
答：楼DH的高度约为26 m.
∴tan 22°=，∴0.4≈，解得x=25，
4.如图，某大楼上树立一块高度为3 m的广告牌CD.数学活动课上，老师带领小燕和小娟同学测量楼DH的高度.测角仪支架高AE=BF=1.2 m，小燕在E处测得广告牌的顶点C的仰角为22°，小娟在F处测得广告牌的底部点D的仰角为45°，AB=45 m.请你根据两位同学测得的数据，求出楼DH的高度.（结果取整数，参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40）
第4题图
解：延长EF交CH于点G，则∠CGF=90°.
∵∠DFG=45°，∴DG=FG，
设DG=x m，则CG=CD+DG=（x+3）m，
EG=FG+EF=（x+45）m，
∴DH=DG+GH=25+1.2≈26（m）.
类型四 “拥抱”型
如图，这种类型的特点是两个直角三角形的直角顶点重合，两条直角边分别有一部分重合，斜边相交，两个直角三角形重合的直角边的关系是沟通两个直角三角形关系的媒介.
5.如图，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30 m的A处用仪器测得∠DAC=30°；向百货大楼的方向走10 m，到达B处时，测得∠EBC=48°，仪器的高度忽略不计，求广告牌ED的高度.（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.732，sin 48°≈0.743，cos 48°≈0.669，tan 48°≈1.111）
第5题图
解：根据题意，知AC=30 m，AB=10 m，∠C=90°，
则BC=AC-AB=30-10=20.
在Rt△ADC中，DC=AC×tan A=30×tan 30°=10，
在Rt△BEC中，EC=BC×tan∠EBC=20×tan 48°，
∴ED=EC-DC=20×tan 48°-10.
即ED=20×tan 48°-10≈20×1.111-10×1.732=4.9.
答：广告牌ED的高度为4.9 m.
类型五 “牵手”型
如图，这种类型的特点是两个直角三角形有一条直角边在同一条直线上，另一条直角边平行，解决的思路是分别在两个三角形中借助解直角三角形的知识求解.
6.某零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B，C分别在EF，DF上，∠ABC=90°，∠BAD=53°，AB=10 cm，BC=6 cm.求零件的截面面积.（参考数据：sin 53°
≈0.80，cos 53°≈0.60）
第6题图
解：∵四边形AEFD为矩形，∠BAD=53°，
∴AD∥EF，∠E=∠F=90°，
∴∠BAD=∠EBA=53°.
在Rt△ABE中，∠E=90°，AB=10，∠EBA=53°，
∴sin∠EBA=≈0.80，cos∠EBA=≈0.60，
∴AE=8，BE=6.
∵∠ABC=90°，∴∠FBC=90°-∠EBA=37°，
∴∠BCF=90°-∠FBC=53°.
在Rt△BCF中，∠F=90°，BC=6，
∴sin∠BCF=≈0.80，cos∠BCF=≈0.60，
∴BF=，FC=，∴EF=6+=，
∴=AE·EF=8×=，
S△ABE=·AE·BE=×8×6=24，
S△BCF=·BF·CF=××=，
∴零件的截面面积为-S△ABE-S△BCF=-24-=53（cm2）.(共55张PPT)
28.2　解直角三角形及其应用
28.2.1　解直角三角形
已知两边，解直角三角形
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=3，则∠A的度数为 （　D　）
A.75° B.60°
C.45° D.30°
　D　
2.在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若c=6，a=6，则b=　6　，∠B=45°　，∠A=45°　.

（2）若a=4，b=4，则∠A=　0°　，∠B=0°　，c= 8　.
　6　
　45°　
　45°　
　60°　
　30°　
　8　
3.变式体验·P73例1已知在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C=90°，a=4，b=12.解这个直角三角形.
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a=4，
b=12，∴c=8.
∵tan A===，
∴∠A=30°，∴∠B=60°.
已知一边及一锐角，解直角三角形
4.某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5 m，∠BCA约为35°，则该楼梯的高度AB可表示为 （　A　）
第4题图
A.3.5sin 35° m B.3.5cos 35° m
C.3.5tan 35° m D. m
　A　
5.如图，在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C=90°，∠A=30°，c=10，则下列结论中错误的是
（　D　）
A.∠B=60° B.a=5
C.b=5 D.tan B=
第5题图
　D　
6.（2024·临夏）如图，在△ABC中，AB=AC=5，sin B=，则BC的长是 （　B　）
A.3 B.6
C.8 D.9
第6题图
　B　
7.根据下列条件，求出Rt△ABC（∠C=90°）中未知的边和锐角.
（1）BC=8，∠B=60°.
（2）∠B=45°，AC=.
解：（1）∵∠B=60°，∴∠A=30°.
在Rt△ABC中，AB===16，
∴AC=AB·sin B=16×=8.
（2）∵∠B=45°，∴∠A=45°，
∴BC=AC=，AB==2.
8.（2025·铁岭模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP，交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AB于点E.若DE=2，tan B=，则AB的长为 （　B　）
A. B.2+2 C.2 D.4
第8题图
　B　
9.对于题目：“如图，∠AOB=α（0°<α<90°），OA上存在两点M，N，OM=MN=2，点P为OB上一点，当△MNP为等腰直角三角形时，求tan α的值.”对于其答案，甲答：tan α=1；乙答：tan α=2；丙答：tan α=或.下列判断正确的是 （　C　）
A.只有甲答案对
B.甲、乙答案合在一起才完整
C.甲、丙答案合在一起才完整
　C　
D.三人答案合在一起才完整
第9题图
10.新考法定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移a（a>0）个单位长度，再绕原点按逆时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的ρ（a，θ）变换.例如：点A（2，0）按照ρ（1，90°）变换后得到点A'的坐标为（-1，2），则点B（，-1）按照ρ（2，105°）变换后得到的点B'的坐标为
　（ ）　.
　（-，）　
11.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，点D是边AC上的一点，若tan∠DBA=，求AD的长.
第11题图
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵△ACB为等腰直角三角形，∠C=90°，
∴BC=AC=3，∠A=45°，
∴AB=AC=3.
在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，
在Rt△BED中，tan∠DBE=tan∠DBA==，
则BE=5x，∴AB=AE+BE=x+5x=3，
解得x=，∴AD=×=1，即AD的长为1.
12.如图，在△ABC中，∠B=45°，CD是边AB上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD=5，sin∠BCD=.
（1）求BC的长.
第12题图
解：（1）∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠DEC=90°.
∵在Rt△DEC中，CD=5，
sin∠BCD=，
∴=，∴DE=3，
∴CE===4.
∵在Rt△DEB中，∠B=45°，DE=3，∴BE=DE=3，
∴BC=BE+CE=3+4=7.
（2）求∠ACB的正切值.
（2）如图，过点A作AH⊥BC，垂足为点H.
∵在Rt△DEB中，∠B=45°，DE=3，∴BD=3.
∵CD是边AB上的中线，∴AB=2BD=6.
∵在Rt△ABH中，∠B=45°，AB=6，
∴BH=AH=AB=6，∴CH=BC-BH=7-6=1，
∴tan∠ACB===6.
13.如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC=8，CD=4，cos∠ABC=，BF为边AD上的中线.
（1）求AC的长.
第13题图
解：（1）∵cos∠ABC==，BC=8，
∴AB=10.
在Rt△ACB中，由勾股定理，得
AC===6.
（2）求tan∠FBD的值.
（2）如图，连接CF，过点F作BD的垂线，垂足为点E.
∵BF为边AD上的中线，即点F为AD的中点，
∴CF=AD=FD.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得
AD===2.
∵△CFD为等腰三角形，FE⊥CD，∴CE=CD=2.
在Rt△EFC中，EF===3，
∴tan∠FBD===.
28.2.2　应用举例
第1课时　解直角三角形的简单应用
解直角三角形的简单应用
1.如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A=60°，∠C=90°，AC=2 km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB为 （　D　）
　D　
A.2 km B.3 km
C.2 km D.4 km
第1题图
2.如图，在离地面高度6 m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC的长是 （　C　）
A.12 m B.2 m
C.4 m D.6 m
第2题图
　C　
3.如图是一架人字梯，已知AB=AC=2 m，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为　4cos α　m.
第3题图
　4cos α　
4.甲、乙两人约好一起去江边垂钓.如图，钓鱼竿AC的长为4 m，露在水面上的鱼线BC的长为2 m，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'的长度是　3.5　m.（结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73）
第4题图
　3.5　
5.教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC=90°.黑板上投影图象的高度AB=120 cm，CB与AB的夹角∠B=33.7°，求AC的长.（结果精确到1 cm，参考数据：sin 33.7°≈0.55，
cos 33.7°≈0.83，tan 33.7°≈0.67）
第5题图
解：在Rt△ABC中，AB=120，∠BAC=90°，
∠B=33.7°，
∴AC=AB·tan 33.7°≈120×0.67=80.4≈80（cm）.
∴AC的长约为80 cm.
6.（2024·包头）如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB的高度”的实践活动.教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）.
（1）请你设计测量教学楼AB的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标证所画的图形上（测出的距离用m，n等表示，测出的角用α，β等表示），并对设计进行说明.
第6题图
解：（1）如图，在地面上取点C，
测量BC=m，测量∠ACB=α，
根据tan α=，即可得出AB的长度.
（2）根据你测量的数据，计算教学楼AB的高度.（用字母表示）
（2）由（1）可知AB=BC×tan α=mtan α.
7.新情境如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC=8 cm，AB=16 cm.当AB，BC转动到∠BAE=60°，∠ABC=50°时，点C到AE的距离是（结果保留小数点后一位，参考数据：sin 70°≈0.94，≈1.73）
（　D　）
图1　 　图2
第7题图
A.13.8 cm B.7.5 cm
　D　
C.6.1 cm D.6.3 cm
8.梿枷是我国的一种古代农具，如图是该种劳动工具生产过程中某一时刻的简意图，梿枷的最低点B距地面0.8 m，梿枷的杆身长OB=1.5 m，OA=0.6 m.当α=70°，β=147°时，则点A离地面的距离为　2.6　m.（参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈
0.34，tan 70°≈2.75，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈
0.75，结果精确到0.1 m）
第8题图
　2.6　
9.如图，现有一架长5.5 m的梯子，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足60°≤α
≤75°.
（1）求使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙.（结果保留小数点后一位，参考数据：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，tan 75°
≈3.73，sin 23.6°≈0.40，cos 66.4°≈0.40，tan 21.8°≈0.40）
第9题图
解：（1）由题意得，当α=75°时，
这架梯子可以安全攀上最高的墙，
在Rt△ABC中，sin α=，
∴AC=AB·sin α≈5.5×0.97≈5.3（m）.
答：使用这架梯子最高可以安全攀上5.3 m的墙.
（2）当梯子底端距离墙面2.2 m时，求α的度数（结果保留小数点后一位）.此时人是否能够安全使用这架梯子？
（2）在Rt△ABC中，cos α===0.40，
则α≈66.4°.
∵60°≤66.4°≤75°，
∴此时人能够安全使用这架梯子.
10.（2024·广东）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位.经测量，∠ABQ=60°，AB=5.4 m，CE=1.6 m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定.
第10题图
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1 m，参考数据≈1.73）
（1）求PQ的长.
解：（1）∵四边形PQMN是矩形，∴∠Q=∠P=90°.
在Rt△ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5.4 m，
∴AQ=AB·sin∠ABQ= m，∠QAB=30°.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，
∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90°，
∴∠CBE=30°，
∴BC== m，∴AD= m.
∵∠PAD=180°-30°-90°=60°，
∴AP=AD·cos∠PAD= m，
∴PQ=AP+AQ=≈6.1 m.
（2）该充电站有20个停车位，求PN的长.
（2）在Rt△BCE中，BE==3.2 m.
在Rt△ABQ中，BQ=AB·cos∠ABQ=2.7 m.
∵该充电站有20个停车位，
∴QM=QB+20BE=66.7 m.
∵四边形PQMN是矩形，
∴PN=QM=66.7 m.
解直角三角形在仰角、俯角问题中的应用
1.如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪.量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是 （　A　）
A.40° B.50°
C.80° D.130°
第1题图
　A　
第2课时　解直角三角形在仰角、俯角问题中的应用
2.如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=30 m，则树的高AB为
（　A　）
A.30tan 37° m B. m
C. m D.30sin 37° m
第2题图
　A　
3.2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事.如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20 m，且距地面高度AB为1.5 m，则气球顶部离地面的高度EC是　9.5　m.（结果精确到0.1 m，参考数据：sin 21.8°≈0.371 4，cos 21.8°≈0.928 5，tan 21.8°≈0.400 0）
第3题图
　9.5　
4.某数学活动小组要测量一处建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB=30 m.用高1 m（AC=1 m）的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是　（15 +1）　m.
第4题图
　（15+1）　
5.（2025·湖北）如图，甲、乙两栋楼相距30 m，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°，A到地面的距离为18 m，求乙楼的高.（参考数据：tan 35°≈0.7）
第5题图
解：如图，由题意可得，四边形AEDC为矩形，
∠BAC=35°，AE=18 m，DE=30 m，
∴∠ACB=180°-∠ACD=180°-90°=90°，
CD=AE=18 m，AC=DE=30 m.
∵在Rt△ABC中，tan∠BAC=，
∴BC=AC·tan∠BAC=30×tan 35°≈30×0.7=21（m），
∴BD=BC+CD=21+18=39（m）.
答：乙楼的高约为39 m.
6.（2025·成都）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离.如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60 m到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°.求校园西门A与东门B之间的距离.（结果精确到0.1 m，参考数据：sin 63.4°
≈0.89，cos 63.4°≈0.45，tan 63.4°≈2.00，≈1.73）
第6题图
解：由题意，得∠CAB=∠ACD=90°，
∠ABC=30°，CD=60 m.
在Rt△ACD中，AC=CD·tan 63.4°≈120 m，
在Rt△ABC中，AB==120≈207.6（m），
答：校园西门A与东门B之间的距离约为207.6 m.
7.如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出塔顶的仰角为30°，从点C向塔底走100 m到达点D，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高度为 （　C　）
A.50 m B.100 m
C.50（+1）m D.50（-1）m
第7题图
　C　
8.（2024·盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30 m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为　　　m.（结果精确到1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
第8题图
　　17　　
9.如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400m到D处（∠DCB=30°，CD=400 m），测得山顶A的仰角为60°，求山AB的高度.
第9题图
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F.
∵在Rt△CDF中，
∠DCF=30°，CD=400 m，
∴DF=CD·sin 30°=×400=200（m），
CF=CD·cos 30°=×400=200（m）.
在Rt△ADE中，∠ADE=60°.
设DE长为x，则AE=tan 60°·x=x，
在矩形DEBF中，BE=DF=200 m.
在Rt△ACB中，∵∠ACB=45°，∴AB=BC，
即x+200=200+x，解得x=200，
∴AB=AE+BE=（200+200）m，
即山AB的高度为（200+200）m.
10.核心素养·模型观念综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度.如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD=6 m，∠DCE=30°，点E，C，A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°.
第10题图
（1）求DE的长.
解：（1）在Rt△DCE中，∠DCE=30°，
CD=6，∴DE=CD=3，
即DE的长为3 m.
（2）设塔AB的高度为h（单位：m）.
①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；
（2）①在Rt△DCE中，cos∠DCE=，
∴EC=CD·cos∠DCE=6×cos 30°=3.
在Rt△BCA中，由tan∠BCA=，AB=h，
∠BCA=45°，则CA==h，
∴EA=CA+EC=h+3，
即EA的长为（h+3）m；
第10题图
②求塔AB的高度.（tan 27°取0.5，取1.7，结果取整数）
②如图，过点D作DF⊥AB，垂足为点F.
根据题意，∠AED=∠FAE=∠DFA=90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∴DF=EA=（h+3）m，FA=DE=3 m.
可得BF=AB-FA=（h-3）m.
在Rt△BDF中，tan∠BDF=，∠BDF=27°，
∴BF=DF·tan∠BDF.
即h-3=（h+3）×tan 27°，
∴h=≈≈11（m）.
答：塔AB的高度约为11 m.
第10题图
解直角三角形在方位角问题中的应用
1.如图，一条笔直的东西公路的北边有一个建筑物C，小明在公路上的点A处测得建筑物C在北偏东60°的方向上；小明向东走20 m到达点B处，测得建筑物C在北偏东30°方向上，则建筑物C到公路l的距离为 （　B　）
A.10 m B.10 m
C.15 m D.3 m
第1题图
　B　
第3课时　解直角三角形在方位角、坡度（坡角）问题中的应用
2.（2025·海南一模）如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距7海里，若该渔船由西向东航行3海里到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上，则该渔船此时与小岛C之间的距离是 （　C　）
A.4海里 B.4.5海里
C.5海里 D.5.5海里
第2题图
　C　
3.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔
60 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于
灯塔P的北偏东30°方向上的B处，则B处与灯塔P之间的距
离为　60　n mile.
第3题图
　60
4.如图，海中有一灯塔P，它的周围8 n mile内有暗礁.海轮以
18 n mile/h的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，航行40 min到达B处，测得灯塔P在北偏东30°
方向上.若海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
第4题图
解：如图，过点P作PD⊥AB于点D，
AB=18×=12（n mile）.
∵∠PAB=30°，∠PBD=60°，
∴∠PAB=∠APB=30°，
∴BP=AB=12 n mile.
在Rt△PBD中，
PD=BP·sin∠PBD=12×=6（n mile）.
∵6>8，∴海轮不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险.
直角三角形在坡度（坡角）问题中的应用
5.如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡AB的坡比是1∶3，坝高BC=12 m，则迎水坡AB的长度是 （　D　）
第5题图
A.24 m B.24 m
C.36 m D.12 m
　D　
6.如图是大坝的横断面，斜坡AB的坡度i=1∶2，背水坡CD的坡度i=1∶1.若坡面CD的长度为6 m，则斜坡AB的长为　13.4　m.（≈1.414，≈2.236，结果精确到0.1）
第6题图
　13.4　
7.（2024·广安）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图1，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图（点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC）.已知斜坡CD长为20 m，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC=30 m，求该风力发电机塔杆AB的高度.（结果精确到个位，参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，≈1.73）
图1 图2
解：如图2，过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥BE于点H.
由题意，得DC=20 m，∠DCH=60°.
第7题图
在Rt△DCH中，CH=CD·cos 60°=10 m，
∴DH=CD·sin 60°=10 m≈17.3 m.
∵∠DFB=∠B=∠DHB=90°，
∴四边形DFBH为矩形，
∴BH=FD，BF=DH.
∵BH=BC+CH=30+10=40（m），
∴FD=40 m，
在Rt△AFD中，
AF=FD·tan 20°≈40×0.36=14.4（m），
∴AB=AF+BF=14.4+17.3=31.7（m）≈32（m）.
答：该风力发电机塔杆AB的高度为32 m.
8.新情境星期天早上，小明和小华在人民公园晨跑，相约在D处见面.如图，小明从A入口进入公园，并向正北方向跑200 m后到达E处，再从E处沿着东北方向跑步一段距离后到达D处.入口B在入口A的正东方向，小华从B入口进入公园后，沿着正北方向跑步100 m后到达C处，然后从C处沿着北偏西37°的方向跑400 m到达D处.
（1）求DE的长度.（结果精确到1 m）
解：（1）过D作GH∥AB交AE的延长线于点G，
交BC的延长线于点H，
则四边形ABHG是矩形，
∴AG=BH，GH=AB.
在Rt△DHC中，cos∠DCH=，
∴cos 37°=≈，
∴CH=320 m，
∴AG=BH=BC+CH=100+320=420（m），
∴EG=AG-AE=220 m.
∵∠DEG=45°，∠G=90°，
∴∠EDG=∠DEG=45°，
∴DE=GE=220 m≈310 m.
答：DE的长度约为310 m.
（2）小明和小华在D处见面后，约定继续晨跑，同时出发前往A处，小明以200 m/min的速度沿D-C-B-A路线跑步，小华以100 m/min的速度沿D-E-A路线跑步.请通过计算说明他们谁先到达A处？（结果精确到0.1 min）
（2）由（1）知，DE=310 m，AE=200 m，
∴小华跑了310+200=510（m），
∴小华用了510÷100=5.1（min）.
∵DH=CD×sin 37°≈400×=240（m），
∴小明跑了400+100+240+220=960（m），
∴小明用了960÷200=4.8（min）.
∵4.8<5.1，∴小明先到达A处.(共4张PPT)
综合与实践　测量塔的高度
某校数学实践小组利用数学知识测量某塔的高度.下面是两个方案及测量数据：
项目 测量某塔AB的高度 方案 方案一：测量标杆长CD， 影长DE，塔影长BD 方案二：测量距离CD， 仰角α，仰角β 测量 示意图 测量 数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值
CD 1.61 m 1.59 m 1.6 m α 37.1° 36.9° 37°
测量 数据 DE 1.18 m 1.22 m 1.2 m β 26.4° 26.6° 26.5°
BD 38.9 m 39.1 m 39 m CD 34.8 m 35.2 m 35 m
（1）根据“方案一”的测量数据，此塔AB的高度为　　　　m.
解：（1）由题意可知△ABD∽△CDE，
∴=，即=，
解得AB=52 m，
∴塔AB的高度为52 m，故答案为52.
（2）根据“方案二”的测量数据，求出此塔AB的高度.（参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 26.5°
≈0.45，cos 26.5°≈0.89，tan 26.5°≈0.50）
（2）在Rt△ABC中，tan α=，∴BC=.
在Rt△ABD中，tan β=，∴BD=.
∵CD=BD-BC=35 m，
∴-=35 m，即2AB-AB=35 m.
∴AB=52.5 m，∴塔AB的高度为52.5 m.(共17张PPT)
周滚动限时练（六）
（检测内容：28.2　满分：100分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则tan B的值为 （　C　）
A. B.
C. D.
　C　
2.已知一个斜坡的坡面长为30 m，铅直高度为15 m，则这个斜坡的坡度为 （　C　）
A.1∶2 B.30°
C.1∶ D.∶1
　C　
3.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100 m，∠PCA=35°，则小河宽PA为 （　C　）
A.100sin 35° m B.100sin 55° m
C.100tan 35° m D.100tan 55° m
　C　
第3题图
4.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，测得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为 （　B　）
A. B.
C. D.
第4题图
　B　
5.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，cos C=，AB=6，AC=6，则BC的长为 （　A　）
A.12 B.12 C.9 D.9
第5题图
　A　
6.如图，菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，∠ABD=α，则下列结论中正确的是 （　D　）
A.sin α= B.cos α=
C.tan α= D.tan α=
第6题图
　D　
7.如图，某梯子长10 m，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与水平地面所成角为β.若sin α=cos β=，则梯子顶端上升了 （　C　）
A.1 m B.1.5 m
C.2 m D.2.5 m
第7题图
　C　
8.下表是李军同学填写的综合实践活动报告的部分内容：
设铁塔顶端到地面的高度FE为x（m），根据以上条件，可以列出的方程为 （　A　）
A.x=（x-10）tan 50° B.x=（x-10）cos 50°
C.x-10=xtan 50° D.x=（x+10）sin 50°
题目 测量铁塔顶端到地面的高度 测量 对象 示意图
相关数据 CD=10 m，α=45°，β=50° 　A　
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
9.在Rt△ABC 中，∠C=90°，若sin A=，BC=4，则AB=　6　.
　6　
10.（2024·南通）若菱形的周长为20 cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为 　cm.
　
11.如图，在△ABC的外接圆☉O中，AB=2，sin∠ACB=，点E为AB的中点，则线段OE的长为 　.
第11题图
　
12.（2024·深圳）如图，在△ABC中，AB=BC，tan B=.点D为BC上一点，且满足=，过点D作DE⊥AD交AC延长线于点E，则= 　.
第12题图
　
三、解答题（本大题共3小题，共40分）
13.（12分）如图，在等腰三角形ABC中，CA=CB，sin C=，求tan B的值.
第13题图
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
sin C==，（3分）
设AD=12a，
则AC=13a，（6分）
∴CD==5a.（8分）
又∵CA=CB，∴BD=8a，（10分）
在Rt△ADB中，tan B===.（12分）
∴∠FNP=∠PME=90°.（4分）
14.（14分）如图，在同一平面内，两条平行的高速公路AB和CD之间有一条“L”形道路，“L”形道路中的EP=FP=20 km，∠BEP=12°，∠EPF=80°，求AB和CD之间的距离.（参考数据：sin 12°=cos 78°≈0.21，sin 68°=cos 22°≈0.93，tan 68°≈2.48）
第14题图
解：如图，过点P作MN⊥AB于点M，交CD于点N.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD，
∵∠BEP=12°，PE=20 km，
∴PM=PE·sin∠PEM≈20×0.21=4.2（km）.（8分）
∵∠EPM=90°-12°=78°，∠EPF=80°，
∴∠FPN=22°，（10分）
∴PN=PF·cos∠FPN≈20×0.93=18.6（km），（12分）
∴AB和CD之间的距离MN=PM+PN=4.2+18.6=22.8（km）.（14分）
∴AC==20 m.（6分）
15.（14分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60 m，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上.
（1）求坡底C到大楼距离AC的长.
第15题图
解：（1）在Rt△ABC中，AB=60 m，∠ACB=60°，
（2）求斜坡CD的长.
（2）过点D作DF⊥AB于点F，则四边形AEDF为矩形，
∴AF=DE，DF=AE，
设CD=x m，在Rt△CDE中，DE=x m，CE=x m.（8分）
在Rt△BDF中，∠BDF=45°，
∴BF=DF=AB-AF=m.（10分）
∵DF=AE=AC+CE，∴20+x=60-x，
解得x=80-120，即CD=（80-120）m.（14分）(共5张PPT)
综合与实践　测量轻轨高架站的相关距离
（2024·济南）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便.某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离
测量工具 测倾器，红外测距仪等
过程资料
轻轨高架站示意图
相关数据及说明：图中点A，B，C，D，E，F在同一平面内，房顶AB，吊顶CF和地面DE所在的直线都平行，点F在与地面垂直的中轴线AE上，∠BCD=98°，∠CDE=97°，AE=8.5 m，CD=6.7 m
成果梳理 ……
请根据记录表提供的信息回答下列问题：（结果精确到0.01 m，参考数据：sin 15°≈0.259，cos 15°≈0.966，tan 15°≈0.268，sin 83°≈0.993，cos 83°≈0.122，tan 83°≈8.144）
（1）求点C到地面DE的距离.
解：（1）如图，过点C作CN⊥ED，
交ED的延长线于点N，垂足为点N.
∵∠CDE=97°，∴∠CDN=83°.
在Rt△CDN中，sin∠CDN=sin 83°=≈0.993，CD=6.7 m，
∴CN=CDsin 83°≈6.7×0.993≈6.65（m）.
答：点C到地面DE的距离为6.65 m.
（2）求顶部线段BC的长.
（2）如图，过点B作BP⊥CF，垂足为点P.
∵CF∥DE，∴∠FCD=∠CDN=83°.
∵∠BCD=98°，∴∠BCP=∠BCD-∠FCD=15°.
∵平行线间的距离处处相等，∴EF=CN=6.65 m.
∵AE=8.5 m，∴BP=AF=AE-EF=8.5-6.65=1.85（m）.
在Rt△BCP中，sin∠BCP=sin 15°=≈0.259，
∴BC=≈7.14（m）.
答：顶部线段BC的长为7.14 m.(共8张PPT)
9　【基础提升专题】作垂线解斜三角形
1.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=3.
（1）求AC的值.
第1题图
解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△BCD中，∠B=45°，BC=3，
∴BD=BC·cos 45°=3×=3，
∴CD=BD·tan 45°=3×1=3，
在Rt△ACD中，∠A=30°，
∴AC==CD×2=6.
（2）求△ABC的面积（结果保留根号）.
（2）由（1）知，在Rt△ACD中，AC=6，CD=3，
∴AD=CD·cos 30°=6×=3，
∴AB=AD+BD=3+3，
∴S△ABC=×AB×CD=.
2.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=10，AC=5，求sin∠ACB的值.
解：如图，过点B作BD⊥AC交CA的延长线于点D.
第2题图
∵∠BAC=120°，
∴∠DAB=60°，
sin∠DAB=sin 60°=，
cos∠DAB=cos 60°=.
又∵AB=10，∴BD=5，AD=AB=5，
∴CD=AD+AC=10，
∴BC==5，
∴sin∠ACB===.
3.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=120°，∠ABC=70°，BC=80，CD=100，求AB的长.（结果取整数，参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，≈1.732）
第3题图
解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，
过点D作DF⊥CE于点F，
∴∠AEF=∠DFE=90°.
又∵∠DAB=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴∠ADF=90°，AE=DF.
∵∠ADC=120°，
∴∠CDF=∠ADC-∠ADF=30°.
在Rt△CDF中，cos 30°=，CD=100，
∴DF=CD·cos 30°=100×=50，
∴AE=DF=50≈86.6.
∵∠ABC=70°，CE⊥AB，
∴∠BCE=90°-70°=20°.
在Rt△CEB中，BC=80，sin 20°=，
∴BE=BC·sin 20°≈27.2，
则AB=AE+EB≈114.
4.如图，AD是△ABC的中线，tan B=，cos C=，AC=.求：
（1）BC的长.
第4题图
解：（1）如图，过点A作AH⊥BC于点H.
在Rt△ACH中，∵cos C==，
AC=，∴CH=1，AH==1.
在Rt△ABH中，∵tan B==，
∴BH=5，∴BC=BH+CH=6.
（2）sin∠ADC的值.
（2）∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD.由（1），得BC=6，∴CD=3.
∵CA=1，∴DH=2，∴AD==.
在Rt△ADH中，sin∠ADH==，
∴sin∠ADC=.

展开更多......

收起↑