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长沙市周南梅溪湖中学2025-2026学年八年级上学期期末考试
数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1.雕窗是我国古代一种常见的窗户样式，其外框为圆形，中间具有精美的图案．如图，琳琳家的一个雕窗出现了破损，为买到同款雕窗，她应前往商店购买的样式为（ ）
A. B. C. D.
2.小强利用所学知识，制作了如图所示的三角支架用来固定相框的位置，这样做的数学原理是（ ）
A.三角形的内角和为 B.两点之间，线段最短
C.三角形具有稳定性 D.垂线段最短
3.若，则满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
4.可以表示为（ ）
A. B. C. D.
5.下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　）
A. B. C. D.
7.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )
A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7
8.如图，△ABC的外角的平分线CE交BA的延长线于点，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在△ABC中，边的垂直平分线分别交边于点D、E，连接，若△ABC的周长为的周长为12，则的长为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
10.如图，某中学的校园中有甲、乙两块边长为的正方形场地．场地甲中间有一个边长为的正方形喷水池，四周为草坪；场地乙的上方是长为、宽为的长方形花卉区，下方为草坪．已知，设甲、乙两块场地中草坪面积的比为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请将正确答案填入答题卡上相应位置．）
11.已知点的坐标是，则点关于轴的对称点坐标是__________．
12.已知△ABC的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是___________．
13.如图，在△ABC中，，AD是边BC上的高．若，则BD的长为__________．
14.若，则a的值为____.
15.已知，，则____________．
16.如图，等边△ABC中，过点作直线是直线上的动点，当取最小值，的度数为__________．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、20题每小题6分，第18、19、21、22、23题每小题8分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.分解因式：（1）； （2）．
18.计算：（1）； （2）．
19.解分式方程：（1）； （2）．
20.先化简，再求值：，其中．
21.如图，点A、D、C、F在同一直线上，．
（1）求证：；
（2）若，求AD长．
22.如图，△ABC中，以为圆心，BC长为半径画弧，交AC于另一点D，连接BD，．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若，求的度数．
23.假期将至，学校准备购买花卉装点校园，采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买种花卉的数量是用320元购买种花卉的数量的2倍．求A、B两种花卉的单价．
解：［法一］设种花卉价格为元／枝，根据题意可列出方程：① ；
［法二］设② ，根据题意可列出方程：．
（1）法一中①处应填：___________，法二中②处应填：___________．
（2）任选其中一种方法解答此题．
24.在比较两个数或式子大小时，常常采用“作差法”：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则，结合上述材料，完成下列问题：
（1）填空：若，则___________（填“>”“=”“<”）．
（2）若，求证：不论取何值，始终有成立；
（3）若关于的多项式（为大于0的常数）有一个因式是，试判断此多项式的另一个因式与的大小关系．
25.若两个等腰三角形的顶角顶点重合，且顶角之和等于，我们称这两个等腰三角形互为“顶补三角形”，这个重合的顶点称为“顶补点”．
（1）如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，为等边三角形，且，求证：△ABC和是“顶补三角形”；
（2）如图2，△ABC和△ADE互为“顶补三角形”，是“顶补点”，，若，求△ABC和△ADE的面积之和；
（3）如图3，△ABC和△ADE互为“顶补三角形”，是“顶补点”，，延长交于点F，连接AF，请判断以为边构成的三角形的形状，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1.B．
2.C
3.C．
4.B．
5.D．
6.．
7.D．
8.B．
9.A．
10.C．
二、填空题
11.．
12.．
13.．
14.．
15.6．
16.．
三、解答题
17.（1）解：原式；
（2）解：原式．
18.（1）解：；
（2）解：．
19.（1）解：两边同乘以，去分母得
检验：当时，
∴原分式方程无解；
（2）解：两边同乘以，去分母得
检验：当时，
∴原分式方程的解为
20.解：原式，
，即有，∴原式．
21.（1）证明：，
，
又，
；
（2）解：由（1）知：，
∴，
，即，
∵，即：，
∴．
22.（1）证明：根据作图痕迹可知，
，
又，
，即有
，
，即是等腰三角形；
（2）解：，
∴设，
，
，，
中，
即，解得
．
23.（1）解：法一：设种花卉价格为元/枝，则种花卉价格为元/枝，
根据题意可列出方程：；
法二：设320元购买种花卉的数量为枝，则800元购买种花卉的数量为枝，
根据题意可列出方程：；
故答案为：；320元购买种花卉的数量设为枝；
（2）解：选择法一：，
去分母，得，
解得：，
经过检验是原方程的解，
，
答：种花卉的单价是20元/枝，种花卉的单价是25元/枝．
选择法二：，
去分母，得，
解得：，
经过检验是原方程的解，
，
答：种花卉的单价是20元/枝，种花卉的单价是25元/枝．
24.（1）解：∵，
∴，
∴，故答案为：>；
（2）证明：令，
，
，
，
∴不论取何值，始终有成立．
（3）解：∵多项式有一个因式是，
∴设，
∵
，
∴，
∴，
，
∴多项式的另一个因式是，
令，
当时，或，此时；
当时，或，此时；
当时，，此时．
25.（1）证明：是等边三角形
又
，
，
∵，
且
和是“顶补三角形”；
（2）解：作，垂足分别为H，G，
和互为“顶补三角形”，
，
又，
，
，
，又，
，
，
和的面积之和
（3）和互为“顶补三角形”，
，
，
又，
；
以为边向下作等边，连接，
又，
又，
，
，
∴以为边构成的三角形，即为，
此时，
为直角三角形；
∴以为边构成的三角形为直角三角形．

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