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江苏省盐城市响水县2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．若数据a1，a2，a3的平均数是2，则数据2a1，2a2，2a3的平均数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．用配方法解方程x2﹣2x＝1时，配方后所得的方程（　　）
A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2
3．在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次的平均成绩均是9.1环，方差分别是1.2，，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的描述正确的是（　　）
A．甲比乙稳定
B．乙比甲稳定
C．甲和乙一样稳定
D．甲、乙稳定性没法对比
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心，以3.5为半径画圆，则点A与⊙C的位置关系是（　　）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定
5．如图，随机闭合开关K1，K2，K3中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．20°
7．如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝AC＝4，O为BC的中点，以O为圆心的圆弧分别与AB、AC相切于点D、E，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．4﹣π B．4 C．π D．
8．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．8
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
9．有一组数据：﹣3、﹣4、0、2、7，则这组数据的极差　 　 ．
10．圆锥的母线长为2cm，底面圆的半径长为1cm，则该圆锥的侧面积为 　 　 cm2．
11．数据2，1，0，3，4的方差是　 　 ．
12．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则x1x2﹣（x1+x2）＝　 　 ．
13．已知⊙O的半径为6，则⊙O的内接正方形的边长为 　 　 ．
14．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是　 　 ．
15．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝8，AC＝5，则BD的长为 　 　 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O是△ABC的内心，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有且只有一个公共点，则r的取值范围是 　 　 ．
三、解答题（本大题共10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）（x+1）2＝3（x+1）．
18．（8分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．
（1）用尺规作图作出⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
19．（8分）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为1，求m2+2m+2017的值．
20．（10分）某人了解到某公司员工的月工资情况如下：
员工 经理 副经理 职员A 职员B 职员C 职员D 职员E 职员F 职员G
月工资/元 12000 8000 3200 2600 2400 2200 2200 2200 1200
在调查过程中有3位员工对月工资给出了下列3种说法：
甲：我的工资是2400元，在公司中属中等收入．
乙：我们有好几个人的工资都是2200元．
丙：我们公司员工的收入比较高，月工资有4000元．
（1）上述3种说法分别用了平均数、中位数、众数中哪一个描述数据的集中趋势？
（2）在上述3种说法中你认为哪种说法可以较好地反映该公司员工月收入的一般水平？说说你的理由．
21．（10分）四张扑克牌的牌面如图1所示，将扑克牌洗匀后，如图2背面朝上放置在桌面上，小明进行摸牌游戏：
（1）如果小明随机从中抽出一张扑克牌，牌面数字恰好为5的概率为　 　 ；
（2）如果小明从中随机同时抽取两张扑克牌，请用树状图或列表的方法表示出所有可能的结果，并求出两张牌面数字之和为奇数时的概率．
22．（10分）已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB＝CD．
求证：（1）PO平分∠BPD；
（2）PA＝PC．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
（1）若∠A＝20°，求的度数；
（2）若BC＝5，AC＝12，求BD的长．
24．（12分）某水果批发商以40元/千克的成本价购入了某种水果700千克，据市场预测，该水果的销售价y（元/千克）与保存时间x（天）的函数关系为y＝50+2x，但保存这批产品平均每天将损耗15千克，且最多保存10天．另外，批发商每天保存该批产品的费用为50元．
（1）若批发商在保存该产品5天后一次性卖出，则销售价格是　 　 ，则可获利　 　 元；
（2）如果水果批发商希望通过这批产品卖出获利9880元，则批发商应在保存该产品多少天后一次性卖出？
25．（12分）如图一，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．
（1）求证：∠CAD＝∠BAC；
（2）如图二，若把直线EF向上移动，使得EF与⊙O相交于G，C两点（点C在点G的右侧），连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由．
26．（12分）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为4cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示：
（1）通过计算（结果保留根号与π）．
（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为　 　 ；
（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为　 　 ；
（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为　 　 ；
（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．
参考答案
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A C B B A B
二、填空题（本大题共8小题）
9．11．
10．2π．
11．2．
12．﹣1．
13．6．
14．25%．
15．3．
16．或r＝2．
三、解答题（本大题共10小题）
17．解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
x﹣2，
x1＝2，x2＝2；
（2）（x+1）2＝3（x+1），
（x+1）2﹣3（x+1）＝0，
（x+1）（x+1﹣3）＝0，
x+1＝0，x+1﹣3＝0，
x1＝﹣1，x2＝2．
18．解：（1）如图，作AD的垂直平分线交AB于O点，再以O点为圆心，OA为半径作圆，
则⊙O为所作；
（2）直线BC与⊙O相切．
理由如下：
连接OD，如图，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
而OD为⊙O的半径，
∴BC为⊙O的切线．
19．（1）证明：∵Δ＝（2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当x＝1时，m2+2m＝0，
∴m2+2m+2017＝0+2017＝2017．
20．解：（1）甲所说的数据2400元，我们称之为该组数据的中位数；
乙所说的数据2200元，我们称之为该组数据的众数；
平均数为：（12000+8000+2400+2200×3+3200+2600+1200）÷9＝4000；
（2）根据中位数和众数的意义即可得出：甲、乙两人的说法能较好地反映公司员工收入的一般水平．
21．解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中牌面数字恰好为5的结果有2种，
∴牌面数字恰好为5的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
2 4 5 5
2 （2，4） （2，5） （2，5）
4 （4，2） （4，5） （4，5）
5 （5，2） （5，4） （5，5）
5 （5，2） （5，4） （5，5）
共有12种等可能的结果，其中两张牌面数字之和为奇数时的结果有：（2，5），（2，5），（4，5），（4，5），（5，2），（5，4），（5，2），（5，4），共8种，
∴两张牌面数字之和为奇数时的概率为．
22．证明：（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，
∵AB＝CD，OE、OF是弦心距，
∴OE＝OF，
∴PO平分∠BPD；
（2）在Rt△POE与Rt△POF中，
∵OP＝OP，OE＝OF，
∴Rt△POE≌Rt△POF，
∴PE＝PF，
∵AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，E、F分别为垂足，
∴AE，
CF，
∴AE＝CF，
∴PE﹣AE＝PF﹣CF，即PA＝PC．
23．解：（1）连接CD，
由条件可知∠B＝70°，
∵CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB＝70°，
∴∠BCD＝40°，
∴的度数为40°；
（2）作CH⊥BD，则BH＝DH，
由勾股定理可知AB13，
∵CH ABBC AC，
∴CH，
在Rt△BCH中，BH，
∴BD＝2BH．
24．解：（1）x＝5时，y＝50+2×5＝60（元），
60×（700﹣15×5）﹣700×40﹣50×5，
＝60×（700﹣75）﹣28000﹣250，
＝37500﹣28000﹣250，
＝9250元；
故答案为：60，9250；
（2）由题意得，（50+2x）×（700﹣15x）﹣700×40﹣50x＝9880，
整理得，x2﹣20x+96＝0，
解得：x1＝12（不合题意舍去），x2＝8，
答：批发商应在保存该产品8天时一次性卖出．
25．（1）证明：如图一，连接OC，则OC⊥EF，且OC＝OA，
易得∠OCA＝∠OAC．
∵AD⊥EF，
∴OC∥AD．
∴∠OCA＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠OAC．
即∠CAD＝∠BAC．
（2）解：与∠CAD相等的角是∠BAG．
证明如下：
如图二，连接BG．
∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形，
∴∠ABG+∠ACG＝180°．
∵D，C，G共线，
∴∠ACD+∠ACG＝180°．
∴∠ACD＝∠ABG．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BAG+∠ABG＝90°
∵AD⊥EF
∴∠CAD+∠ACD＝90°
∴∠CAD＝∠BAG．
26．解：（1）（Ⅰ）如图①，
连接AC，
∵∠ABC＝90°，
∴AC4，
∴最小直径为：4，
故答案为：4；
（Ⅱ）如图②，
∵OD＝4，
∴最小直径为：8，
故答案为：8；
（Ⅲ）如图③，
直径EF＝8，
故答案为：8；
（2）如图1，
可得：AD＝8，BD＝2，CD＝6，
∵∠ADB＝ADC＝90°，
∴AB，AC10，
∴sin∠ACB，
∴直径．

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