资源简介

重庆市荣昌区宝城中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷
一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．数7的相反数为（　　）
A．7 B． C． D．﹣7
2．下列4个艺术汉字示意图中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列调查中，适宜采用普查方式的是（　　）
A．调查市场上蛋糕的质量情况
B．调查全国中小学生的身高情况
C．调查某新能源汽车的电池使用寿命
D．调查航天飞机零部件是否合格
4．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数为（　　）
A．60° B．50° C．45° D．30°
5．对于二次函数y＝3（x﹣5）2﹣4，以下说法正确的是（　　）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝5
C．其顶点坐标为（5，4）
D．当x＞5时，y随x的增大而减小
6．估计（1）×的值应在（　　）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
7．苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，…，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（　　）
A．85 B．81 C．73 D．71
8．2025年以来，在一系列房地产利好政策的带动下，各地楼盘销售量持续攀升，现已知某地房屋销售成交量在7月份323套基础上，8月，9月连续增长达到363套，设月平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（　　）
A．323（1+x）＝363 B．323（1+x）2＝363
C．323（1+2x）＝363 D．323（1﹣x）2＝363
9．如图，裁剪出一正方形纸片ABCD，若AB＝4，且E为BC的中点，将△ABE沿着AE所在直线折叠，使点B落在正方形内点F处，连接CF，请你探究求出△ECF的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．有一列数{﹣1，﹣2，﹣3，﹣4}，将这列数的每个数求其相反数得到{1，2，3，4}，再分别求与1的和的倒数，得到，称为一次操作，记为{a1，a2，a3，a4}；第二次操作是将{a1，a2，a3，a4}再进行上述操作，得到{a5，a6，a7，a8}；第三次将{a5，a6，a7，a8}重复上述操作，得到{a9，a10，a11，a12} 以此类推，得出下列说法中：
①；
②a2025＝﹣2；③a1+a2+a3+ +a359+a360＝﹣79．
正确的有（　　）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．2025年重庆市高考报名人数约为3720000人，将3720000用科学记数法表示为　 　 ．
12．班级书柜上放了2本《三国演义》、3本《西游记》和1本《水浒传》，明明随机抽取一本书是《西游记》的概率是　 　 ．
13．如图，a∥b，∠1＝50°，则∠2＝　 　 °．
14．已知函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上有两个点：A（﹣1，y1），B（4，y2），则y1，y2的大小关系为y1　 　 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
15．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若∠C＝30°，，则⊙O的半径为 　 　 cm．
16．对于一个四位自然数，若满足a+d＝b+c，则称这个四位数为“和平数”，记F（m）＝a+b+c+d．例如：m＝1234，∵1+4＝2+3，∴1234是“和平数”，F（1234）＝1+2+3+4＝10；m＝2346，∵2+6≠3+4，∴2346不是“和平数”．则F（2378）＝　 　 ；已知M，N均为“和平数”，其中M＝1000x+10y+136，N＝4000+100x+10y+n，其中（1≤x≤9，0≤y≤6，0≤n≤9，x、y、b都是整数），如果M+能被11整除，则N＝　 　 ．
三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）解不等式组，并写出它的所有整数解．
18．（8分）在学习菱形的过程中，小兰发现：在菱形ABCD中，E是CD边上的中点，BE与对角线AC相交于点F，如果BF＝CF，则一定有BE⊥CD．为此小兰进行了证明探究，请你根据她的思路，完成以下作图和填空：
第一步：利用尺规作图，过点F作BC的垂线，垂足为G（不写作法，保留作图痕迹）；
第二步：利用三角形的全等证明她的猜想．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACB＝∠ACD，①　 　 ，
∵BF＝CF，FG⊥BC，
∴，∠FGC＝②　 　 ，
∵E是CD中点，
∴，
∴③　 　 ，
在△CFE和△CFG中，
，
∴△CFE≌△CFG（SAS），
∴∠FGC＝∠FEC＝90°，
∴BE⊥CD．
四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）
19．（10分）2025年8月15日是“绿水青山就是金山银山”概念提出20周年，重庆某中学为了增强同学们的环保意识，组织了一场环保知识竞赛活动．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名同学的竞赛成绩进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：
A：95≤x≤100，B：90≤x＜95，C：85≤x＜90，D：x＜85．
下面给出了部分信息：
八年级学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：90，91，92，92，93，94；
九年级学生的竞赛成绩为：80，81，82，85，86，88，88，92，93，93，94，95，96，96，96，96，96，97，97，99；
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 91.5 b 93
九年级 91.5 93.5 c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中，a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ．
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级学生环保知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级有1200名学生，九年级有1000名学生参赛，请估计八、九年级参加此次竞赛成绩等级为A的学生共有多少人？
20．（10分）先化简，再求值：，其中．
21．（10分）万州商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的手机充电器，已知每台A型充电器的售价比每台B型充电器售价少40元，商家用1200元购入A型充电器的数量与用1440元购入B型充电器的数量相等．
（1）每台A型充电器与每台B型充电器的售价分别为多少元？
（2）每台B型充电器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型充电器100台．国庆前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型充电器进行降价促销活动，调查发现，每台B型充电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出20台，若商家要想每月销售B型充电器的利润达到10000元，则每台B型充电器应降价多少元？
22．（10分）如图1，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AB＝8，AD＝4，点E为AD中点，动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿折线A→B→A方向运动，当动点P返回到A点时停止运动．动点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿C→B方向运动，到达点B时停止运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为x秒，△PAE的面积为y1，△BDQ的面积为y2．
（1）请直接写出y1、y2关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出y1、y2的函数图象，并写出函数y1的一条性质；
（3）根据图象直接写出当y1≥y2时，x的取值范围为 　 　 ．
23．（10分）随着全民健身深入发展，走向户外、拥抱自然成为越来越多体育爱好者的选择，国庆假期小明和小亮去某户外运动基地锻炼．如图，A，B，C，D在同一平面内，经测量，B位于A的正北方向1500米处，C位于A的南偏东60°方向2700米处，点D位于点B的东南方向上，点D位于点C的正北方向上．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，≈2.65）
（1）求BD的长度（结果保留根号）；
（2）小明和小亮同时从C出发，小明沿CA骑自行车到A处，小亮沿CD步行到D处．已知小明骑自行车的速度为270米/分，小亮步行的速度为90米/分，请通过计算说明小明出发多少米后恰好与小亮相距1200米（结果保留到十位）？
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
Ⅷ
25．（10分）已知四边形ABCD是菱形，连接AC，点E是菱形ABCD外一点，满足∠AEC＝∠ADC＝60°，连接BE．
（1）如图1，若CE⊥AC，CE＝2，求BE的长；
（2）如图2，连接BD，分别交AE，AC于点G，O，取BE的中点F，连接OF，试判断OF，CE，AE这三条线段的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF，GF，当CF最小时，请直接写出的值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D． B D A B B B B C C
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．3.72×106．
12．．
13．130．
14．＜．
15．2．
16．4354．
三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
17．解：，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，
∴不等式组的所有整数解为：﹣1，0，1．
18．解：第一步：图形如图所示：
第二步：证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACB＝∠ACD，①CB＝CD，
∵BF＝CF，FG⊥BC，
∴，∠FGC＝②90°，
∵E是CD中点，
∴，
∴③CE＝CG，
在△CFE和△CFG中，
，
∴△CFE≌△CFG（SAS），
∴∠FGC＝∠FEC＝90°，
∴BE⊥CD．
故答案为：CB＝CD，90°，CE＝CG．
四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）
19．解：（1）八年级B等级有6人，共20人，
∴所占百分比为，
∴A等级所占百分比为：1﹣25%﹣15%﹣30%＝30%
八年级A等级30%，有20×30%＝6人，
B等级中的数据为：90，91，92，92，93，94
∵共 20人，
∴从大到小第10，11个数据的平均数为中位数，
∴八年级竞赛成绩的中位数为，
九年级学生的竞赛成绩中96出现次数最多有5次，
∴九年级竞赛成绩众数为：96；
故答案为：30，91.5，96；
（2）从平均数来看，两个年级一样好，
从众数来看，96＞93，九年级成绩较好，
从中位数来看，93.5＞91.5，九年级成绩较好；
（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级有1200名学生，九年级有1000名学生参赛，请估计八、九年级参加此次竞赛成绩等级为A的学生共有：
＝360+450
＝810（人），
答：八、九年级参加此次竞赛成绩等级为A的学生共有810人．
20．解：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝，
∵，
将代入，得原式＝．
21．解：（1）设A型充电器的售价为x元，则B型号充电器的售价为（x+40）元，
根据题意列分式方程得：，
整理得，240x＝48000，
解得，x＝200，
检验：当x＝200时，x（x+40）≠0．
所以，原分式方程的解为x＝200．
则B型号充电器的售价为x+40＝240．
答：A型充电器的售价为200元，则B型充电器的售价为240元．
（2）设每台B型充电器应降价m元．
根据题意列一元二次方程有：，
整理得：﹣2m2+100m＝0，
解得m1＝0，m2＝50，
∵为了尽快减少库存，
∴m＝50．
答：每台B型充电器应降价50元．
22．解：（1）过点E作EF⊥AB于点F，过点D作DH⊥CB，交CB的延长线于点H，
∵∠A＝30°，AD＝4，点E为AD中点，
∴EF＝AE＝1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝30°，AB＝CD＝8，
∴DH＝CD＝4，
当0＜x＜4时，y1＝AP EF＝ 2x×1＝x；
当4≤x＜8时，y1＝AP EF＝（16﹣2x）×1＝﹣x+8．
当0＜x＜4时，y2＝BQ DH＝×（4﹣x）×4＝8﹣2x．
∴y1关于x的函数关系式为y1＝，y2关于x的函数关系式为y2＝﹣2x+8（0≤x＜4）；
（2）画出y1，y2的函数图象如下，
函数y1的一条性质：当0＜x＜4时，y随x的增大而增大；
当4≤x＜8，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）观察图象可得：当y1≥y2时，x的取值范围是≤x＜8．
故答案为：≤x＜4．
23．解：（1）过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E，过点B作BF⊥CD交CD的延长线于F，如图，
∵CD⊥CE，
∴∠E＝∠ECF＝∠F＝90°，
∴四边形BECF是矩形，
∴BF＝CF，BE＝CF，∠EBF＝90°，
在Rt△ACE中，∵∠CAE＝60°，
∴AE＝AC＝1350米，
∴CE＝AE＝1350米，
∴BF＝1350米，
在Rt△BDF中，∵∠DBF＝90°﹣∠ABD＝90°﹣45°＝45°，
∴BD＝BF＝×1350＝1350（米）；
答：BD的长度为1350米；
（2）设t分钟小明与小亮相距1200米，此时小明在M处，小亮在N处，如图，过M点作MH⊥CD于H点，
由题意得CM＝270t米，CN＝90t米，MN＝1200米，
∵AE∥CD，
∴∠MCD＝∠EAC＝60°，
在Rt△MCH中，∵∠MCH＝60°，
∴CH＝CM＝135t米，
MH＝CH＝135t米，
在RT△MNH中，∵NH＝CH﹣CN＝135t﹣90t＝45t（米），MH＝135t，
∴MN＝＝90t（米），
∴90t＝1200，
解得t＝，
∴CM＝270t＝270×≈1.36×103（米）．
答：小明出发1.36×103米后恰好与小亮相距1200米．
24．解：（1）把A（0，﹣4），B（4，0）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）设直线AB解析式为y＝kx+t，把A（0，﹣4），B（4，0）代入得：
，
解得，
∴直线AB解析式为y＝x﹣4，
设P（m，m2﹣m﹣4），则PD＝﹣m2+m+4，
在y＝x﹣4中，令y＝m2﹣m﹣4得x＝m2﹣m，
∴C（m2﹣m，m2﹣m﹣4），
∴PC＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m，
∴PC+PD＝﹣m2+2m﹣m2+m+4＝﹣m2+3m+4＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，PC+PD取最大值，
此时m2﹣m﹣4＝×（）2﹣﹣4＝﹣，
∴P（，﹣）；
答：PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，﹣）；
（3）∵将抛物线y＝x2﹣x﹣4向左平移5个单位得抛物线y＝（x+5）2﹣（x+5）﹣4＝x2+4x+，
∴新抛物线对称轴是直线x＝﹣＝﹣4，
在y＝x2+4x+中，令x＝0得y＝，
∴F（0，），
将P（，﹣）向左平移5个单位得E（﹣，﹣），
设M（﹣4，n），N（r，r2+4r+），
①当EF、MN为对角线时，EF、MN的中点重合，
∴，
解得r＝，
∴r2+4r+＝×（）2+4×+＝，
∴N（，）；
②当FM、EN为对角线时，FM、EN的中点重合，
∴，
解得r＝﹣，
∴r2+4r+＝×（﹣）2+4×（﹣）+＝，
∴N（﹣，）；
③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中点重合，
∴，
解得r＝﹣，
∴r2+4r+＝×（﹣）2+4×（﹣）+＝，
∴N（﹣，）；
综上所述，N的坐标为：（，）或（﹣，）或（﹣，）．
25．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC＝BC＝AB，
∵∠AEC＝∠ADC＝60°，
∴△ADC是等边三角形，同理△ABC也是等边三角形，
∴AC＝BC，ACB＝60°，
∵CE⊥AC，
∴∠ACE＝90°，
∵∠ACE＝90°，∠AEC＝60°，CE＝2，
∴∠CAE＝90°﹣∠ACE＝30°，
∴AE＝2CE＝4，
∴，
∴，
过B作BH⊥EC的延长线于H，如图
∵∠ACB＝60°，∠ACE＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB﹣∠ACE＝30°
∵，
∴，
∴，
∴EH＝CE+CH＝5，
∴．
（2）AE＝2OF+CE，理由如下：
在AE上截取EH＝CE，连接CH，DE，如图
∵EH＝CE，AEC＝60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴∠ECH＝60°，CH＝CE，
∵∠ACD＝∠ECH＝60°，
∴∠ACH+HCD＝∠DCE+HCD＝60°，
∴∠ACH＝∠DCE，
在△ACH与△DCE中，
，
∴△ACH≌△DCE（SAS），
∴AH＝DE，
∵F是BE中点，四边形ABCD是菱形，
∴O是BD中点，
∴，
即AD＝DE＝2OF，
∴AE＝AH+EH＝2OF+CE，
（3）∵F是BE中点，当点E运动时：
∴当E与C重合时，F是BC中点（记为F1）；
当E与A重合时，F是AB中点（记为F2），
连接CF2交BO于M，根据瓜豆原理，点F在以M为圆心、MF2为半径的圆上运动，如图
即当点F在CM上时，CF取得最小值，
∵点F2为AB中点，BC＝AC，
∴∠ACF＝∠BCF，即点F到AC，BC边的距离相等，设为h，
∴．

展开更多......

收起↑