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2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷
一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．二次函数y＝2（x﹣2）2﹣1图象的顶点坐标为（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
3．下列事件是必然事件的是（　　）
A．车辆随机到达一个路口遇到红灯
B．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
C．任意画一个三角形其内角和是180°
D．打开电视，正在播放赣超联赛
4．将一元二次方程x（x﹣3）＝25化成一般形式正确的是（　　）
A．x2﹣3x﹣25＝0 B．x2+3x+25＝0
C．x2﹣3x+25＝0 D．x2+3x﹣25＝0
5．将分别标有“文”“明”“宁“安”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“宁安”的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，四人的说法如下，
甲：若b＝﹣1，则点P的个数为3；乙：若b＝0，则点P的个数为1；丙：若b＝4，则点P的个数为1；丁：若b＝5，则点P的个数为0．
其中说法正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．已知M（a，﹣3）和N（4，b）关于原点对称，则（a+b）2025＝　 　 ．
8．在一家大型连锁超市中，智感扫码技术发挥了重要作用．超市员工配备了带有智感扫码功能的手持终端．在日常巡店过程中，员工只需扫描货架上商品的二维码．系统不仅能立即显示商品的详细信息，如名称、规格、进价、售价等，还能实时更新库存数据．如图是某二维码示意图，用黑白打印机打印于面积为9cm2的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右．据此可以估计黑色部分的总面积约为　 　 cm2．
9．将抛物线y＝5x2+1先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线的解析式为　 　 ．
10．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣4＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2+x1 x2的值为　 　 ．
11．如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是 　 　 ．
12．如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM，下列结论正确的是　 　 （填序号）．
①EF＝FM；②DE＝DF；③EF＝AE+FC；④∠AED＝∠DEF．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）用合适的方法解下列一元二次方程．
（1）x2﹣4＝0；
（2）（x﹣4）2﹣10（x﹣4）＝0．
14．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．
（1）a　 　 0，c　 　 0；
（2）方程ax2+bx+c＝0的两个根为　 　 ；
（3）观察图象，当﹣2＜x＜1时，y的取值范围为　 　 ；
（4）将该二次函数图象向上平移　 　 个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．
15．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，D为AC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
16．（6分）如图在正方形网格中，已知顶点为格点的△ABC．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
（1）在图1中，作一个四边形ABCD，使它是中心对称图形；
（2）在图2中，作一个△ACM，使它是轴对称图形．
17．（6分）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸．
（1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是 　 　 ．
（2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，其中a，b，c为常数（且a，c≠0）．根据此定义解决下列问题：
（1）一元二次方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是　 　 ；
（2）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2x+c＝0的倒方程的解，求出c的值；
（3）若m是一元二次方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程的一个实数根，则m3+m2﹣6m+2025的值为　 　 ．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A（1，2），O（0，0），B（1，0）．以点O为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到对应的△A1OB1．
（1）画出△A1OB1；
（2）直接写出点A1和点B1的坐标；
（3）在x轴上求作一点P，使PA+PA1的值最小，并写出点P的坐标．
20．（8分）如图a，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点p是抛物线对称轴上一动点，则△PCB周长的最小值为　 　 ；
（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求DQ的最大值，并直接写出此时△ACD的面积．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．
（1）某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率．
（2）某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为132万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价．
（3）在（2）的条件下，若该款汽车销售单价为正整数，将该款汽车销售单价定为多少万元时，该店每周的汽车销售利润最大？最大利润是多少万元？
22．（9分）如图1，B，C，D三点在一条直线上，△ABC和△ECD均为等边三角形，连接BE，AD交于点F，BE交AC于点M，AD交CE于点N．
（1）求证：AD＝BE；
（2）如图2，连接MN，求证：MN∥BD；
（3）如图3，将图1中的△ECD绕点C顺时针旋转一个角度（旋转角小于60°，连接CF，探究线段AF、BF、CF之间的数量关系并说明理由．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0＝m时，其对应的函数值y0＝m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点（m，m）为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数y＝x2中，当x＝1时，y＝1，则我们称函数y＝x2为“不动点函数”，点（1，1）为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．
探究1：（1）对一次函数y＝kx+b（k≠0）进行探究后，得出下列结论：
①y＝x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②y＝﹣3x+2是“不动点函数”，且不动点是；
③y＝x是“不动点函数”，且有无数个不动点．
以上结论中，你认为正确的是　 　 （填写正确结论的序号）．
探究2：（2）对二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线y＝x2﹣2bx+c的顶点为该二次函数上的一个不动点，求b、c满足的关系式．
探究3：（3）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（12﹣x）件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．
参考答案
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C C A B C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．﹣1．
8．6.3．
9． y＝5（x﹣2）2﹣3．
10．﹣7．
11．1．
12．①③④．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．解：（1）x2＝4，
x＝±2，
所以x1＝﹣2，x2＝2；
（2）（x﹣4）（x﹣4﹣10）＝0，
x﹣4＝0或x﹣4﹣10＝0，
所以x1＝4，x2＝14．
14．解：（1）由二次函数的图象可得a＞0，c＜0，
故答案为：＞，＜；
（2）由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可得函数的对称轴为直线x＝﹣1，函数图象与x轴的一个交点为1，
∴函数图象与x轴的另一个交点为2×（﹣1）﹣1＝﹣3，
∴ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣3，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1；
（3）∵二次函数的开口向上，顶点为（﹣1，﹣4），
∴当x＝﹣1时，函数有最小值为﹣4，
∵当x＝1时，y＝0，
∴当﹣2＜x＜1时，y的取值范围为﹣4≤y＜0，
故答案为：﹣4≤y＜0；
（4）设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2﹣4，将（1，0）代入得0＝（1+1）2a﹣4，
解得a＝1，
∴二次函数的解析式为y＝（x+1）2﹣4，
设将二次函数y＝（x+1）2﹣4图象向上平移m个单位长度后恰好过点（﹣2，0），
将（﹣2，0）代入得0＝（﹣2+1）2﹣4+m，
解得m＝3，
故答案为：3．
15．证明：∵将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，
∴AD＝AE，∠CAE＝α，
∴∠CAE＝∠BAD＝α，
在△CAE和△BAD中，
，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴BD＝CE．
16．解：（1）如图1，中心对称图形四边形ABCD，如图1即为所求；
（2）轴对称图形△ACM，如图2即为所求．
17．解：（1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的结果数为2，
所以两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率＝＝．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．解：（1）方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是：x2+3x﹣4＝0；
故答案为：x2+3x﹣4＝0；
（2）由条件可倒方程为cx2﹣2x+1＝0，
把x＝﹣1代入方程，
得c+2+1＝0，
∴c＝﹣3；
（3）由题意得：方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程为x2+x﹣6＝0，
∵m是方程x2+x﹣6＝0的一个实数根，
∴m2+m﹣6＝0，
∴m3+m2﹣6m+2025＝m（m2+m﹣6）+2025＝2025．
故答案为：2025．
19．（1）解：如图所示，
（2）A1（﹣2，1），B1（0，1）；
（3）如图所示，
作点A关于x轴的对称点A'，连接AA'交x轴于点P，则点P即为所求
则A1P+AP＝A1P+A'P＝AA'，
∵A（1，2），
∴A'（1，﹣2），
设直线A1A'的解析式为y＝kx+b，
将点A1（﹣2，1），A'（1，﹣2）代入得，，
解得：，
∴直线A1A'的解析式为y＝﹣x﹣1，
令y＝0，解得x＝﹣1，
∴P（﹣1，0）．
20．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）在y＝﹣x2﹣2x+3中，当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴B（1，0），
∴；
如图所示，连接PA，
由抛物线的对称性可得PA＝PB，
∴△PBC的周长＝，
∴当P、A、C三点共线时PC+PA有最小值，且最小值为线段AC，即此时△PBC的周长有最小值，最小值为AC+BC的值，
∵，
∴△PBC的周长的最小值为：，
故答案为：；
（3）设直线AC解析式为y＝mx+n，
则，
∴，
∴直线AC解析式为y＝x+3；
设Q（t，t+3），则D（t，﹣t2﹣2t+3），
∴DQ＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）
＝﹣t2﹣3t
＝，
∵﹣1＜0，﹣3≤t≤0，
∴当，即时，DQ有最大值，最大值为，
∴此时S△ACD＝S△ADQ+S△CDQ
＝
＝
＝
＝．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．解：（1）设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，
则30（1+x）2＝36.3，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（负值不符合题意，舍去），
答：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为10%；
（2）若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为132万元．
设每辆汽车售价下调a万元，
则（25﹣a﹣12）（8+2a）＝132，
解得a1＝2，a2＝7，
由题意可得：a应取7，
∴25﹣a＝25﹣7＝18（万元），
答：下调后每辆汽车的售价为18万元．
（3）设该店每周的汽车销售利润w万元，该款汽车销售单价定y万元时，
由题意得，w＝（y﹣12）[8+2（25﹣y）]＝﹣2y2+82y﹣696＝﹣2（y﹣20.5）2+144.5，
∵﹣2＜0，函数开口向下，有最大值，
∵对称轴为直线y＝20.5，
∴当y＝20或21时，w有最大值，最大值为144万元，
∵此次销售尽量让利于顾客，
∴y＝20．
答：将该款汽车销售单价定为20万元时，该店每周的汽车销售利润最大，最大利润是144万元．
22．（1）证明：△ABC和△ECD均为等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE；
（2）证明：由（1）知△BCE≌△ACD，
∴∠CBE＝∠CAD，即∠CBM＝∠CAN，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACE＝60°，即∠ACN＝∠BCM＝60°，
在△ACN和△BCM中，
，
∴△ACN≌△BCM（ASA）
∴CN＝CM，
又∵∠ACE＝60°，
∴∠CMN＝60°＝∠ACB，
∴MN∥BD（内错角相等，两直线平行）．
（3）解：BF＝AF+CF，理由如下：
在BF上截取BG＝AF，连接CG，CF，
同（1）可证△BCE≌△ACD，
∴∠CBE＝∠CAD，
又∵AC＝BC，BG＝AF，
在△ACF和△BCG中，
，
∴△ACF≌△BCG（SAS），
∴CF＝CG，∠ACF＝∠BCG，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACG+∠BCG＝60°，即∠ACG+∠ACF＝∠FCG＝60°，
∴△FCG为等边三角形，
∴FG＝CF，
∴BF＝BG+FG＝AF+CF，
即BF＝AF+CF．
六、（本大题共1小题，共12分）
23．解：（1）①对于y＝x+2，
由于m≠m+2，
所以y＝x+2不是“不动点函数”，原说法错误；
②对于y＝﹣3x+2，代入点（m，m），
得m＝﹣3m+2，
解得m＝，
所以y＝﹣3x+2是“不动点函数”，且不动点是（，），原说法正确；
③y＝x是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确．
故答案为：②③；
（2）由抛物线y＝x2﹣2bx+c＝（x﹣b）2+c﹣b2得，
顶点坐标为（b，c﹣b2），
∵抛物线y＝x2﹣2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，
∴b＝c﹣b2；
（3）根据题意得，y＝（x﹣6）（12﹣x）＝﹣x2+18x﹣72，
∴令x＝﹣x2+18x﹣72，
整理得x2﹣17x+72＝0，
解得x1＝8，x2＝9，
∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等．

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