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19.1 第2课时 二次根式的性质
素养目标
1.类比算术平方根的意义,能进行二次根式的平方与开方运算.
2.理解并正确应用二次根式的性质.
3.发展类比思想,培养独立思考的基本能力.
重点
二次根式性质的灵活应用.
【自主预习】
1.根据算术平方根的相关知识,求()2,()2,()2,()2,()2的值.猜想:对于任意非负数a,()2等于多少
2.根据算术平方根的相关知识,求,,,,的值.猜想:对于任意数a,等于多少
1.下列计算正确的是 (　　)
A.=-3 B.=±2
C.=-8 D.-=-7
2.计算:(1)()2的值为　　　　;(2)()2的值为　　　　.
【合作探究】
知识点一：二次根式的平方
阅读课本本课时第二个“探究”之前的全部内容,解答下列问题.
1.旧知回顾:对于非负数,开方运算与平方运算是　　　　的.
2.思考:(1)由于22=4,故=2,所以()2=　　　　,同理()2=　　　　,()2=　　　　,()2=　　　　.
(2)猜想:()2(a≥0)等于多少
3.讨论:在“例2(2)”中,2=　　　　×　　　　　.类比积的乘方(ab)n=　　　　,可知(2)2=(　　)2×(　　　　　)2=　　　　.
学法指导　应注意2表示两倍的根号5,中间省略的是乘号.
　　二次根式的平方运算:()2=　　　　(a≥0).
1.下面是小明的作业,他判断正确的个数是(　　)
判断题:对的打“√”,错的打“×”.
(1)()2=0.2(√);(2)(3)2=1(×);
(3)()2=4(√).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.计算:(1)()2的值为　　　　;(2)(3)2的值为　　　　.
知识点二：二次根式的开方
阅读课本本课时第二个“探究”至“例3”的全部内容,解答下列问题.
1.填一填:=　　　　,=　　　　,=　　　　;结论:非负数的算术平方根一定是
　　　　数.
2.思考:(1)若a=0,则=　　　　;若a>0,则=　　　　;若a<0,则-a　　　　0,故=　　　　.
(2)是否也一定是非负数
　　=　　　　(a≥0),　　　　0.
1.若点A(2,m)和点B(n,3)关于x轴对称,则的值为 (　　)
A.5 B.-5 C.1 D.-1
2.计算:(1)(5)2;(2)(-)2;
(3)()2.
二次根式的双重非负性
例1　若实数m,n满足|m-n-5|+=0,则3m+n的值为　　　　.
【方法归纳交流】在实数范围内,“几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0”这个结论仍然成立,据此可求出一些字母的值.
变式训练　已知+=0,则a2的值为(　　)
A.0 B.1 C.4 D.-4
二次根式开方的综合问题
例2　若1A.2x-4 B.-2 C.4-2x D.2
变式训练　
1.若实数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简|a+1|-+的结果为　　　　.
2.已知2,3,y是一个三角形的三条边的长,则|y-1|+的化简结果是　　　　.
复合二次根式的化简(拓展)
例3　阅读下面的材料:===+;
===-.
根据上面的解题方法化简:.
分析:观察可知16=11+5,55=11×5,则被开方数可以通过变形凑成两个数和的平方的形式,再利用二次根式的性质去根号.
【方法归纳交流】化简复合二次根式的方法,就是通过分解将被开方数拆分成三项,再利用a2±2ab+b2=(a±b)2因式分解,最后利用=化简.
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.解:()2=02=0,()2=22=4,()2=32=9,()2=52=25,()2=62=36,猜想:()2=a.
2.解:==0,==2,==3,==5,==6,猜想:=|a|.
自学检测
1.D
2.(1)5　(2)
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.互逆
2.(1)4　2　　0　(2)a
3.2　　anbn　2　　20
归纳总结　a
对点训练
1.D
2.(1)　(2)54
知识点二
1.2　2　0　非负
2.(1)0　a　>　-a
(2)是的
归纳总结　a　≥
对点训练
1.C
2.解:(1)原式=52×()2=25×=.
(2)原式=(-1)2×()2=1×0.1=0.1.
(3)原式=()2=4.
【题型精讲】
例1　7
变式训练　C
例2　D
变式训练　
1.2　2.4
例3　
解:===+.

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