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19.2 第3课时 最简二次根式
素养目标
1.理解最简二次根式的概念.
2.会进行二次根式的乘除混合运算,并能将二次根式化为最简形式.
重点
将二次根式化为最简形式.
【自主预习】
下面是小明计算的过程:==.他的结果还能化简吗 如果能,请直接写出最简形式.
1.下列二次根式中,是最简二次根式的是(　　)
A. B. C. D.
2.计算:×÷= (　　)
A.2 B.4 C. D.2
【合作探究】
知识点一：最简二次根式
阅读课本本课时“例7”之前的内容,解答下列问题.
1.===　　　　,因此　　　　(填“是”或“不是”)最简二次根式.
2.===　　　　,因此　　　　(填“是”或“不是”)最简二次根式.
3.==　　　　,因此　　　　(填“是”或“不是”)最简二次根式.
最简二次根式:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数不含能开得尽平方的　　　　　　　　　　　　　　　　　.
1.下列式子中,是最简二次根式的是 (　　)
A. B. C. D.
2.下列二次根式中,是最简二次根式的是 (　　)
A. B.
C. D.
3.若是最简二次根式,则整数a的最小值为　　　　.
4.将化为最简二次根式的结果为　　　　.
知识点二：二次根式的计算(结果需化为最简二次根式)
阅读课本本课时“例7”及之后的全部内容,解答下列问题.
1.思考:在二次根式化简或计算中,怎样的形式才是最后结果
2.====　　　　.
另一种解法:===　　　　.
3.===　　　　.
注意:在二次根式的运算中,一般要把最后结果化为最简二次根式或整式,并且分母中不含二次根式.
1.计算:(1);(2).
2.若一个圆锥的体积V=3π,高h=,求它的底面积.
二次根式(被开方数含有分母)的化简
例1　把下列二次根式化为最简二次根式:
(1);(2)-3;(3);(4).
【方法归纳交流】将根号下的分母化去的方法:若被开方数中含有小数,应将小数化为分数;被开方数中含有带分数,应将带分数化为假分数;若被开方数是分式,应先将分式的分母化成能转化为平方的形式,再进行开方运算.
二次根式的乘除混合运算
例2　计算:(1)÷×;
(2)·÷.
【方法归纳交流】类比实数的乘除混合运算,二次根式的乘除混合运算也是先确定结果的符号,再把除法转化为乘法,然后按照从左到右的顺序逐步计算;也可以类比单项式的乘除混合运算,将根号前的各因数(式)相乘除作为因数(式),各被开方数相乘除作为被开方数,最后利用算术平方根的性质化简.
变式训练　计算:(1)×÷3×;
(2)·(-)÷(m<0).
实际问题中的二次根式的乘除混合运算
例3　(真情境)“欲穷千里目,更上一层楼”.如图,经测定,站在距水平地面h米高的地方,能看得到的水平距离是d米,且h,d之间近似地符合式子d=8.登山爱好者小明从n米高的山腰登上2n米高的山顶时,在山顶能看得到的水平距离是在山腰能看得到的水平距离的多少倍
参考答案
【自主预习】
预学思考
解:能,最简形式为5.
自学检测
1.B　2.A　
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.2　不是
2.　不是
3.a　不是
揭示概念　因数或因式
对点训练
1.D　2.C　3.3　4.
知识点二
1.最后的结果为最简二次根式.
2.　
3.
对点训练
1.解:(1)原式=====.
(2)原式===.
2.解:设它的底面积为S.
由V=Sh得,S======.
【题型精讲】
例1
解:(1)原式====.
(2)原式=-3=-3=-.
(3)原式======.
(4)原式==.
例2
解:(1)原式====.
(2)原式=
==.
变式训练
解:(1)原式=×××=.
(2)∵m<0,≥0,>0,∴n<0.
原式=·(-)·
=·(-)·
=·(-)·
=-·(-n)·=.
例3
解:设在山顶能看得到的水平距离为d1,则d1=8,设在山腰能看得到的水平距离为d2,则d2=8.
因为===,
所以在山顶能看得到的水平距离是在山腰能看得到的水平距离的倍.

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