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2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章 二次根式 单元测试·提升卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列代数式中，二次根式为（ ）
A． B． C． D．
3．若与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则值为（ ）
A． B． C． D．
7．下列各式从左到右的变形正确的有（　　）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．设，，则用含有，的式子可以表示为（ ）
A． B． C． D．
9．下列是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
10．下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（ ）
填空（每小题分，共分） ①的倒数是；②的绝对值是；③； ④；⑤体积为的立方体的棱长为
A．分 B．分 C．分 D．分
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．二次根式与 的和为0，则的值为 ．
12．已知，则 ．
13．若与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则 ．
14．如果最简根式和是同类二次根式，则
15．若，则二次根式 化为最简二次根式为 ．
16．如图甲是第七届国际数学教育大会（）的会徽，主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成，其中，现把图乙中的直角三角形继续作下去，若的值是整数，且，则符合条件的有 个．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．（1）计算：
（2）实数，在数轴上的位置如图所示．化简：．
19．【问题情景】 请认真阅读下列这道例题的解法．例：若，为实数，且，化简：．
(1)解：由解得 ， ， ．
(2)【拓展创新】已知，求的值．
20．如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位）
(1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间．
(2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？
21．小星在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：
，
．
，即．
．
请你根据小星的分析过程，解决如下问题：
(1)填空：_______；_______；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
22．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：（其中均为整数）．
则有．，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当均为整数时，若，用含的式子分别表示，得：___________，___________．
(2)利用所探索的结论，找一组正整数填空___________ （______）．
(3)若，且均为正整数，求a的值？
23．观察下列各式及其验证过程：
，验证：；
，验证：；
，验证：；
(1)根据上述三个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，不需要证明．
24．按要求进行二次根式的有关计算：
（1）阅读：，反之，；
，反之，．
应用： ______．
（2）阅读：，；
应用：方程的解是______．
（3）阅读：已知，，试比较x，y的大小；不好直接比较，可用如下方法：
，，因，且x，y都是正数，故．
应用：比较大小：______，______．2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章 二次根式 单元测试·提升卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B B A B D D C
1．A
本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的被开方数必须是非负数是解题的关键．
二次根式要求被开方数为非负实数，选项A的被开方数为负数，不符合定义．
解：A、被开方数为，不属于二次根式，符合题意；
B、被开方数，属于二次根式，不符合题意；
C、被开方数，属于二次根式，不符合题意；
D、被开方数，属于二次根式，不符合题意；
故选：A．
2．C
本题主要考查了二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，逐一分析各选项是否符合定义即可．
解：∵，
∴，
由二次根式的定义可知，四个式子中只有是二次根式（当时，没有意义），
故选：C．
3．B
本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键．
由题意知，，则，计算求解即可．
解：由题意知，，
∴，
解得，，
故选：B．
4．B
本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式性质．
根据二次根式的性质，逐项计算判断即可.
解： A、 ，计算错误，不符合题意；
B、 ，计算正确，符合题意；
C、 ，计算错误，不符合题意；
D 、，计算错误，不符合题意；
故选：B．
5．B
本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可．
解：A、被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意；
B、是二次根式，符合题意；
C、被开方数，不是二次根式，不符合题意；
D、，形式不符合，不是二次根式，不符合题意，
故选：B．
6．A
本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键．
解：∵，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴值为．
故选：A．
7．B
根据二次根式的性质，逐一分析各式的成立条件解答即可．
本题考查了二次根式的公式计算的使用条件，熟练掌握条件是解题的关键．
解：① ：当且时成立，
故①错误；
② ：当且时成立，
故②错误；
③ ：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立；故③正确；
④ ：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立，
故④正确．
综上，正确的有③和④，共2个．
故选：B．
8．D
本题考查了二次根式的化简，掌握将被开方数分解为含已知二次根式的因数，再用字母替换对应二次根式是解题的关键．
将分解为，简化后得到，再代入和表示和．
解：，
∵，
∴．
故选：D．
9．D
本题主要考查了最简二次根式的识别，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．
最简二次根式需满足：被开方数为整数或整式，且不含能开得尽方的因数或因式，也不含分母．
解：A. ，该选项不是最简二次根式；
B. ，该选项不是最简二次根式；
C. ，该选项不是最简二次根式；
D. 该选项被开方数为整式，且无开得尽方的因式，也无分母，该选项是最简二次根式；
故选：D．
10．C
本题考查了倒数，绝对值，立方根，二次根式的乘除运算，根据倒数、绝对值、立方根的定义及二次根式的运算法则计算逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
解：①的倒数是，该题做错了；
②的绝对值是，该题做对了；
③，该题做错了；
④，该题做对了；
⑤体积为的立方体的棱长为，该题做对了；
∴得分应是分，
故选：．
11．/0.5
本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键．
解：由题意得
，
，，
解得：，，
；
故答案：．
12．
本题考查了二次根式有意义的条件．
根据二次根式有意义的条件，得出的值，进而得到的值，再代入求值即可解答．
解：由题意，得，
∴，
解得，
，
．
故答案为：．
13．5
本题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解．
解：∵与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，
∴，，
解得：，，
此时被开方数，，被开方数相同，满足同类二次根式的条件。
∴，
故答案为：5；
14．2
根据同类二次根式的定义：两个最简二次根式，被开方数相同，列式求解即可．
解：由题意，得，
解得：，
故答案为：2．
本题考查同类二次根式．熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
15．
本题考查二次根式有意义的条件、利用二次根式性质化简等知识，先由二次根式有意义的条件判断，再由二次根式性质化简即可得到答案，熟练掌握二次根式有意义的条件、二次根式性质是解决问题的关键．
解：二次根式中，，
，
，
故答案为：．
16．3
本题考查了勾股定理的应用；探索图形规律，找到规律是解题的关键．
利用勾股定理可求出，得到，即可得到，再根据是整数及，由此可求出n的值的个数．
解：由题意得
；
；
；
∵，
∴的值是整数，
∴·的值可以是，，，是整数的有3个．
故答案为：3．
17．(1)
(2)
本题考查了二次根式的化简和运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
（1）先化简每个二次根式，再合并同类项即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再去括号，最后加减计算即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（1）；（2）
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
（1）先进行二次根式的乘法运算，绝对值和乘方的运算，然后把各二次根式化简为最简二次根式后合并即可；
（2）利用数轴表示数的方法得到，，，然后根据二次根式的性质化简后合并即可．
（1）解：
；
（2）解：由数轴知：，，，
∴
．
19．(1)3，1，
(2)29
（1）根据二次根式的非负性，列出不等式组，即可求得，，进而化简代数式即可；
（2）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得，，进而求出即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，通过对完全平方公式变形求值，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）解：由，
解得：，
∵
．
；
故答案为：3，1，
（2）解：∵
由：，
解得：，
∵
∴
，
．
20．(1)
(2)0.27m．
（1）已知摆长，直接代入周期公式 计算即可；
（2）已知周期，通过公式变形求解摆长．
（1）解：已知，，，代入公式：
．
（2）解：已知，对公式变形得：
代入、、：
．
本题考查了二次根式的实际应用，解题关键是熟练代入公式计算，并根据已知量对公式进行合理变形，同时注意近似值的计算精度．
21．(1)；
(2)
(3)
本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，代数式求值，完全平方公式的应用.
（1）根据分母有理化法则计算；
（2）根据分母有理化法则把各个二次根式化简，根据裂项相消法计算即可；
（3）仿照题干作答即可．
（1）解：；
．
故答案为：；．
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：∵，
∴，
∴，即，
，
．
22．(1)，
(2)4，2，1，1（答案不唯一）
(3)的值为或
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用完全平方公式将展开，再对应相等即可得解；
（2）令，，则，，由此即可得解；
（3）由（1）可得：，，从而得出，且，为正整数，计算可得，或，，再分情况求解即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，；
（2）解：令，，则，，
∴；
（3）解：由（1）可得：，，
∵，
∴，且，为正整数，
∴，或，，
∴当，时，；
当，时，；
综上所述，的值为或．
23．(1)，验证见解析
(2)（为自然数，且）
本题考查了二次根式的化简．
（1）仿照题干计算即可；
（2）根据已知等式找出规律即可．
（1）解：，验证如下：
；
（2）解：由题干和（1）可知，（为自然数，且）．
证明：．
24．（1）；（2）；（3）<，>
本题考查二次根式的运用，熟练掌握二次根式的计算和完全平方公式是解题的关键，
（1）利用完全平方公式展开，再利用二次根式计算即可得到答案：
（2）利用分母有理化计算即可得到答案；
（3）先计算各个数的平方，再利用平方比较大小即可得到答案．
解：（1）由题可得：，
故答案为：；
（2）由题可得：，
整理得：，
移项得：，
解得：，
故答案为：；
（3）由题可得：令，，
∴，，
∴，
∴；
令，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：<，>．(共7张PPT)
浙教版2024 八年级下册
第一章 二次根式
单元测试·提升卷分析
一、试题难度
整体难度：中等
难度 题数
容易 2
较易 7
适中 14
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.94 二次根式有意义的条件
2 0.94 二次根式的识别
3 0.85 利用二次根式的性质化简；已知最简二次根式求参数
4 0.75 利用二次根式的性质化简
5 0.65 求二次根式的值
6 0.65 通过对完全平方公式变形求值；二次根式有意义的条件；已知条件式，化简求值
7 0.65 二次根式的乘法；二次根式的除法
8 0.65 利用二次根式的性质化简；二次根式的乘法
9 0.65 最简二次根式的判断；化为最简二次根式
10 0.64 倒数；二次根式的乘除混合运算；绝对值的几何意义；立方根的实际应用
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 求二次根式中的参数；已知式子的值，求代数式的值
12 0.75 二次根式有意义的条件
13 0.65 已知最简二次根式求参数；同类二次根式
14 0.65 已知最简二次根式求参数
15 0.65 二次根式有意义的条件；利用二次根式的性质化简；化为最简二次根式
16 0.65 二次根式的应用；勾股树（数）问题
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 运用平方差公式进行运算；运用完全平方公式进行运算；二次根式的加减运算；二次根式的混合运算
18 0.85 利用二次根式的性质化简；实数与数轴
19 0.75 二次根式有意义的条件；通过对完全平方公式变形求值
20 0.65 二次根式的除法
21 0.65 二次根式的混合运算；分母有理化；通过对完全平方公式变形求值
22 0.65 二次根式的混合运算；运用完全平方公式进行运算
23 0.65 利用二次根式的性质化简
24 0.4 运用完全平方公式进行运算；二次根式的混合运算；分母有理化；实数的大小比较

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