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第7章 一元一次不等式与不等式组
7.2 一元一次不等式
第7章 一元一次不等式与不等式组
7.2 课时1 一元一次不等式
1.知道一元一次不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式
等概念；
2.会解含括号的不等式,并在数轴上表示不等式的解集.(重点)
学习目标
有一次，鲁班的手不慎被一片小草叶子割破了，
他发现小草叶子的边缘布满了密集的小齿，于是便产
生联想，根据小草的结构发明了锯子.
鲁班在这里就运用了“类比”的思想方法，“类比”也是数学学习中常
用的一种重要方法.
新课导入
问题：什么是一元一次方程？
只含一个未知数、未知数的指数是1且两边都是整式的等式.
思考：根据一元一次方程的定义，你能猜出一元一次不等式的定义吗？
只含 、 且两边都是 的 叫做一元一次不等式.
一个未知数
未知数的指数是1
整式
不等式
自主学习
像x＞3，y≤0，7 + 5x ≤12 这样的式子都是一元一次不等式.
一元一次不等式的概念
含有一个未知数，含未知数的项的次数是1、且不等号两边都是整式的
不等式叫作一元一次不等式.
1.下列不等式中，哪些是一元一次不等式
(1) 3x+2>x–1 (2)5x+3<0
(3) (4) x2-x–1<2x
√
√
×
×
左边不是整式
未知数次数超过了1
练一练
对于不等式7 + 5x ≤12，
当x=-1时，代入等式左边得
7 + 5x= .此时不等式7 + 5x ≤12是否成立？ .
当x=1时，代入等式左边得
7 + 5x= .此时不等式7 + 5x ≤12是否成立？ .
当x=2时，代入等式左边得
7 + 5x= .此时不等式7 + 5x ≤12是否成立？ .
2
成立
成立
不成立
12
17
这就是说x取某些值时(如-1，1)，不等式7 + 5x ≤12成立，当x取另外一些
值(如2)时，不等式7 + 5x ≤12不成立.
所有这些解的全体称为这个不等式的解集.
求一个不等式的解集的过程称为解不等式.
一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解，
继续观察不等式7 + 5x ≤12，我们知道当x=1时，不等式成立，所以x=1是
不等式7 + 5x ≤12的解；那么x=0.9和x=1.1是不是该不等式的解呢？
当x=0.9时，7 + 5x= .此时不等式7 + 5x ≤12 .
11.5
12.5
成立
当x=1.1时，7 + 5x= .此时不等式7 + 5x ≤12 .
不成立
所以x=0.9是该不等式的解，x=1.1不是该不等式的解.
让x多取几组数，你会发现当x取小于或等于 的数时，不等式成立.
1
那么不等式7 + 5x ≤12的解集就是 .
x≤1
探究一 解一元一次不等式
问题提出：试着用别的方法得出不等式7 + 5x ≤12的解集x≤1.
问题探究：首先可以先将不等式转化成mx≤n的形式，
利用不等式的性质1.两边同时减去 ，得 .
7
5x≤5
这一步骤相当于把不等式左边的7移到不等式右边，类似于解方程中的移项.
下一步就能由5x≤5得到x≤1.
再利用 .两边同时除以 ，得x≤1.
不等式的性质2
5
合作探究
练一练
2.解不等式2x+5≤7(2-x)
有括号要先去掉括号
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
x系数化为1，得
.
.
.
.
2x+5≤14-7x
2x+7x≤14-5
9x≤9
x≤1
小结：解一元一次不等式的基本步骤是：
(1)去括号 (2)移项 (3)合并同类项 (4)x系数化为1.
探究二 用数轴表示不等式的解集
0
1
2
3
4
5
6
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
x＞2
x＜2
x .
x .
＞3
＜3
观察解集在数轴上表示方式并填空.
大于向 画；
小于向 画.
小结：
右
左
0
1
2
3
4
5
6
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
x＞2
x≥2
0
1
2
3
4
5
6
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
x .
x .
≥3
≤3
>、<画 圆；
≥、≤画 圆.
小结：
x≥2包括2，所以把表示2的点画成实心点.
空心
实心
练一练
3.画一画: 利用数轴来表示下列不等式的解集.
(1) x＞- 1; (2) x ≤ 1 .
0
-1
(1)
0
1
(2)
0
1
0
-1
解：
1.已知 是关于x的一元一次不等式，则a的值是____．
解析：由 是关于x的一元一次不等式得2a－1＝1，
计算即可求出a的值等于1.
1
当堂检测
2.判断下列说法是否正确？
(1) x=2是不等式x+3<4的解； （ ）
(2) 不等式x+1<2的解有无穷多个； （ ）
(3) x=3是不等式3x<9的解； （ ）
(4) x=2是不等式3x<7的解集. （ ）
√
×
×
×
3.解不等式12-6x≥2(1-2x)，并把它的解集在数轴上表示出来.
解：去括号，得 12 -6x ≥ 2-4x，
移项，得 -6x+4x ≥2-12，
合并同类项，得 -2x≥-10，
两边都除以-2，得 x≤5.
原不等式的解集在数轴上表示如图所示：
-1
0
1
2
3
4
5
6
一元一次不等式
一元一次不等式的概念
将解集在数轴上表示
一元一次不等式的解及其解集
课堂总结
第7章 一元一次不等式与不等式组
7.2 课时2 一元一次不等式及其解
1.会解含分母的不等式；(重点)
2.进一步理解并掌握解一元一次不等式的一般步骤；
3.会列不等式并确定未知数的取值范围.
学习目标
忆一忆：解一元一次方程的依据和一般步骤.
依据：
步骤：
等式的性质
去分母，去括号，移项，
合并同类项，系数化为1．
思考：这些步骤对你解一元一次不等式有什么启发？
一般地，利用不等式的性质，采取与解一元一次方程相类似的步骤，
就可以求出一元一次不等式的解集.
新课导入
探究一 解含分母的不等式的步骤
活动：观察下面解含分母的不等式过程，并填空.
(2)
8x-4≥15x-60.
8x-15x≥-60+4.
-7x≥-56.
x≤8.
解含分母的不等式的一般步骤：
①去________；②去________；
③________；④合并________；
⑤将未知数系数化为 .
(1)
2(4+x)-6<3x.
8+2x-6<3x.
-x<-2.
x>2.
2x-3x<6-8.
分母
括号
移项
同类项
1
合作探究
(2)
8x-4≥15x-60.
8x-15x≥-60+4.
-7x≥-56.
x≤8.
(1)式中去分母是将不等式两边同时乘以 ，(2)式中去分母是
将不等式两边同时乘以 .
(1)
2(4+x)-6<3x.
8+2x-6<3x.
-x<-2.
x>2.
2x-3x<6-8.
6
12
为什么要乘这个两个数，
它们有什么特殊之处？
它们是最简公分母
(2)
8x-4≥15x-60.
8x-15x≥-60+4.
-7x≥-56.
x≤8.
(1)
2(4+x)-6<3x.
8+2x-6<3x.
-x<-2.
x>2.
2x-3x<6-8.
过程①和②利用了不等式的
，不等号方向 ；
过程③和④利用了不等式的
，不等号方向 .
①
②
③
④
性质2
性质3
不变
改变
注意：如果去分母时两边同时乘以一个负数，不等号方向 .
改变
练一练
1.补充解不等式的步骤.
解不等式：
解：去分母，两边同时乘以6得 .
得 2x+4≥6x-9.
移项得 4x≤13.
2（x+2）≥ 3（2x-3）
系数化为 得 x .
——
去括号
1
≤
练一练
2. 解不等式 ，并把它的解集表示在数轴上.
去分母得:
去括号得:
移项得:
合并同类项得:
化系数为1得:
解:
2(y+1)-3(2y-5)≥12.
2y+2-6y+15≥12.
2y-6y≥12-2-15.
-4y≥-5.
y≤ .
这个不等式的解集在数轴上的表示为
0
探究二 列不等式解决问题
问题提出：当代数式 的值小于代数式 的值时，求x的取值范围．
问题探究：正确列出不等式，首先要理解各个数量之间的关系，更重要的是
把表示不等关系的词语化为 ，
如“不大于”要写成“ ”，“不小于”要写成“ ”，“非负数”要写
成“ ”，“非正数”要写成“ ”等．
不等符号
≤
≥
≥0
≤0
故根据题意可列出不等式： .
＜
去分母，得 ．
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
＜
2(x－4)＜3(2x＋1)
2x－8＜6x＋3
－4x＜11
x＞
问题解决：x的取值范围为x＞ .
练一练
3.列出不等式解决问题(只列出不等式，不需要求解).
当x取什么值时，代数式 的值
(1)小于-6 (2)为非负数 (3)的两倍大于代数式 的值.
解：
(1) ＜-6；
(2) ≥0；
(3)2× ＞ .
练一练
4. 当x取什么值时，代数式 与 的差大于1.
解：根据题意，得 ＞1，
去分母，得 2（x＋5）－3（3x－2）>6，
去括号，得 2x＋10－9x＋6>6，
移项、合并同类项，得－7x>－10，
系数化为1，得 x< .
≥ －1
1. 解不等式 ，并把它的解集表示在数轴上.
解:两边同时乘以6去分母，得3(y－3)≥2(2y－1)－6.
去括号，得3y－9≥4y－2－6.
移项，得3y－4y≥－2－6＋9.
合并同类项，得－y≥1.
将未知数的系数化为1，得y≤－1.
这个不等式的解集在数轴上的表示为：
-1
-2
-3
0
1
当堂检测
2. y为何值时，代数式 的值不大于代数式 的值.
去分母得：4(5y＋4)≤21－8(1－y)，
去括号得：20y＋16≤21－8＋8y，
移项得：20y－8y≤21－8－16，
合并同类项得：12y≤－3，
把y的系数化为1得： .
解:依题意，得 ，
解一元一次不等式的一般步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将未知数系数化为1.
注意：在上面步骤①和⑤中，如果乘数或除数是负数，那么在利用不等式的
基本性质3时，一定要改变不等号的方向．
课堂总结
第7章 一元一次不等式与不等式组
7.2 课时3 一元一次不等式的应用
1.会从实际问题中抽象出数学模型；
2.会列一元一次不等式,解决相关数学问题和实际问题.(重点)
学习目标
回顾与思考
1.应用一元一次方程解实际问题的步骤：
实际问题
找相等关系
设未知数
列出方程
检验解的合理性
解方程
2.将下列生活中的不等关系翻译成数学语言.
(1)超过
(2)至少
(3)最多
≥
≤
＞
新课导入
探究一 利用一元一次不等式解决简单的实际问题
去年某市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比
达到60%，如果明年（365天）这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良
好的天数要比去年至少增加多少？
问题1 此实际问题中的不等关系是什么？　
明年空气质量良好的天数÷明年天数＞70%.　
合作探究
问题2 设x表示明年增加的空气质量良好的天数，则明年空气质量是良好的
天数是多少？
x+365×60%.　
问题3 你能列出不等式并解出来吗？
(x+365×60%)÷365＞70%，　
x＞36.5.　
x+219＞255.5，　
问题4 你能给出一个合理化的答案吗？
明年要比去年空气质量良好的天数至少增加37天，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70%．
练一练
1.某童装店按每套90元的价格购进40套童装，应缴纳的税费为销售额的10%. 如果要获得不低于900元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？
解：
则40x－90×40－40x·10％≥900.
解得 x ≥ 125.
答：每套童装的售价至少是125元.
分析：本题数量关系：销售额－成本－税费≥纯利润(900元).
设每套童装的售价是 x 元.
探究二 利用一元一次不等式解决方案选择问题
甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠
方案：在甲商场累计购买100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场
累计购买超过50元后，超过50元的部分按95%收费．顾客到哪家商场购物花
费少
问题1 你是如何理解题意的呢？
问题2 如果购物款为x元，你能分别表示出在两家商场花费的钱数吗
购物款 甲商场 乙商场
0＜x≤50
50＜x≤100
x＞100
方案：在甲商场累计购买100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场
累计购买超过50元后，超过50元的部分按95%收费．
50+0.95(x-50)
100+0.9(x-100)
x
x
x
50+0.95(x-50)
问题3 你能看出在哪个商场花费少呢？
购物款 甲商场 乙商场 比较
0＜x≤50 x x
50＜x≤100 x 50+0.95(x-50)
x＞100 100+0.9(x-100) 50+0.95(x-50)
一样
乙少
不确定
问题4 如果累计购物超过100元，在哪家商场花费少呢？
提示：什么情况下，到甲商场购物花费少？什么情况下，到乙商场购物花费少？
什么情况下，两商场花费一样？
若在甲商场花费少，则
100+0.9(x-100)＜50+0.95(x-50)；
解得x＞150；
若在乙商场花费少，则
100+0.9(x-100)＞50+0.95(x-50)；
解得x＜150；
两商场花费一样
100+0.9(x-100)=50+0.95(x-50)；
解得x=150.
问题5 你能综合上面分析给出一个合理化的消费方案吗？
购物不超过50元和刚好是150元时， 在两家商场购物没有区别；
超过50元而不到150元时在乙商场购物花费少；超过150元后，
在甲商场购物花费少.
归纳总结：最优方案的选择，主要是通过比较两种方案间的大小关系，
从而确定出最优方案的范围或条件．
练一练
3.为深入学习新时代中国特色社会主义思想，中宣部推出“学习强国”学台，学习积分可兑换礼品．某品牌的圆珠笔每支需要40积分，笔芯每支需
要10积分．现积分超市推出以下两种活动：
活动一：按照购买金额打八折扣积分；
活动二：买一支圆珠笔送两支笔芯．
王叔叔有足够的积分，想兑换这种圆珠笔10支，笔芯x支（x≥20）．
若只能选择一种兑换活动，请你帮助王叔叔判断选择哪种活动更优惠？
解：设活动一的消耗的积分为y1元，活动二的消耗的积分y2，由题意可得，
y1=（40×10+10x）×0.8=8x+320，y2=40×10+10（x-10×2）=10x+200，
当y1=y2时，8x+320=10x+200，得x=60，
当y1＜y2时，8x+320＜10x+200，得x＞60，
当y1＞y2时，8x+320＞10x+200，得x＜60，
∴当x=60时，选择活动一和活动二一样优惠，当x＞60时，选择活动一更优惠，
当x＜60时，选择活动二更优惠．
1.小明家的客厅长5 m，宽4 m．现在想购买边长为60cm的正方形地砖把地
面铺满，至少需要购买多少块这样的地板砖？
解：设需要购买x块地板砖，则有
5×4≤0.6×0.6x.
解得x ≥ 55.6.
由于地板砖的数目必须是整数，所以x的最小值为56.
答：小明家至少要购买56块这样的地板砖.
当堂检测
2. 一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道
题扣1分.在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答
对了几道题？
分析： 本题涉及的数量关系是：总得分≥85.
解：设小明答对了 x 道题，则他答错和不答的共有 (25－x)道题.
根据题意，得 4x－1×(25－x)≥85.
解这个不等式，得 x ≥ 22.
所以，小明至少答对了22道题.
3.某市打市内电话的收费标准是：每次3 min以内（含3 min）0.22元，以后
每分钟0.11元（不足1 min部分按1 min计）．小琴一天在家里给同学打了一
次市内电话，所用电话费低于0.55元．她最多打了几分钟的电话？
解:设小琴最多打了x分钟的电话，则有
0.22+ (x－3) ×0.11＜0.55
解得 x ＜6
由于电话计时按照分钟计时，x应是整数，所以x的最大值为5.
答：小琴最多打了5min的电话.
一元一次不等式的应用
实际问题
根据题意列不等式
解一元一次不等式
根据实际问题找出符合条件的解集或整数解
得出解决问题的答案
课堂总结

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