资源简介

(共31张PPT)
北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1.2.3等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质第一章三角形的证明及其应用1. 探索等边三角形的判定条件并证明，运用所学知识进行相关的证明和计算。
2.探究有30°角的直角三角形的性质及推理过程。
进行新课
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？
请证明自己的结论，并与同伴进行交流。
如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形吗 为什么
是.理由如下：
已知△ABC，∠A=∠B=∠C.
求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵ ∠B=∠C，
∴ AB=AC . (等角对等边)
同理 BC=AC .
∴ AB=AC=BC.
∴ △ABC是等边三角形.
知识点1 等边三角形的判定定理
A
B
C
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗 为什么
是.理由如下：
已知△ABC，AB=AC，其中一个内角等于60°.
求证：△ABC是等边三角形.
证明：当∠A=60°时，∵AB=AC，
∴∠B=∠C=60°，即∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等边三角形.
当∠B=60°时，∵AB=AC，
∴∠B=∠C=60°，∴∠A=60°，
∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形.
知识点1 等边三角形的判定定理
A
B
C
知识点1 等边三角形的判定定理
等边三角形的判定定理：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
1. 若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为 ，则这
个三角形一定是( )
C
A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形
C. 等边三角形 D. 钝角三角形
（第2题）
2. 如图，嘉琪想测量一座古塔
的高度，在 处测得
，再往前行进
到达 处，测得
，点，， 在
B
A. B. C. D.
同一条直线上，根据测得的数据，可得这座古塔 的高度为
( )
等边三角形与等腰三角形的判定定理归纳：
知识点1 等边三角形的判定定理
等腰三角形 等边三角形
边
角
三条边都相等的三角形是等边三角形
两个角相等的三角形是等腰三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形
两条边相等的三角形是等腰三角形
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
例1 如图，AC与BD相交于点O，若OA=OB，∠A =60°，且AB//
CD，求证：△OCD是等边三角形.
证明： ∵∠A=60°,OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠B=60°.
∵ AB//CD，
∴ ∠C= ∠A =60°，∠D = ∠B =60°，
∴∠COD=60°，
∴∠D=∠C=∠COD，
∴△OCD是等边三角形.
知识点1 等边三角形的判定定理
（第3题）
3. 如图，已知 ，
点在边上，，点，在边
上，.若，则 的长是
( )
B
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【点拨】如图，过点作于点 ，
则 . ，
.
，
， .
知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理
思考
(1) 用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成怎样的三角形 能拼出一个等边三角形吗
两个完全相同的含 30°角的三角尺，可以拼成一个等边三角形.
(2) 在上述拼接过程中，你发现了什么结论 请证明你的结论.
由此可以发现：
30°角的对边等于三角尺斜边的一半.
知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理
已知：如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°.
求证：BC= AB.
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接 AD.
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠ ACD=90°.
∵ AC=AC，
∴ △ABC≌△ADC(SAS).
∴ AB=AD(全等三角形的对应边相等).
知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理
A
B
C
D
A
B
C
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理).
∵ ∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴ ∠B=180°-30°- 90°=60°.
∴ △ABD是等边三角形(有一个角等于60°
的等腰三角形是等边三角形).
∴ BC=BD=AB.
知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理
A
B
C
D
知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理
直角三角形性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
30°
A
B
C
几何语言：
在Rt△ABC中，
∵∠C=30°，∠A=30°，
∴BC=.
4.如图，等边三角形纸片的边长为6，，是边 上的
三等分点.分别过点，沿着平行于， 方向各剪一刀，
则剪下的 的周长是___.
6
（第4题）
5.将含 角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，
已知 ，点，表示的刻度分别为， ，则
线段的长为___ .
2
（第5题）
（第5题）
【点拨】 直尺的两对边相互平行，
.易知 ， .
是等边三角
形. .
例2 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高.
求证：CD=AB.
A
B
C
D
知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理
证明：在△ABC中，∵ AB=AC，∠B=15°，
∴ ∠ACB=∠B=15°(等边对等角).
∴ ∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).
∵ CD是腰 AB上的高，
∴ CD=AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它
所对的直角边等于斜边的一半).
∴ CD=AB.
A
B
C
D
∴ ∠ADC=90°.
知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理
6.[2025绵阳期末] 如图，在四边形
中，， 平分
，于点，
于点，连接 .
（1）求证： ；
【证明】， .
平分， .
.
（2）若 ，求证：
是等边三角形.
，
.
于点， , .
，， .
是等边三角形.
7. 如图， ，平分，且 .若点
，分别在，上，且 为等边三角形，则满足
上述条件的 有( )
D
（第7题）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个
（第8题）
8. 如图，是等边三角形的中线，
是直线上一点，连接，以 为边，
向下方作等边三角形，连接 .若
，则 的最小值为( )
C
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3
（第9题）
9.如图，在四边形中， ，
， ，点在 上，连接
，相交于点，.若 ，则
的长为___.
6
（第10题）
10.如图，在中， ,
,点在边上， ,
连接,且平分,过点 作
于点,若,则 的值为
__.
【点拨】如图，过点作 于点
平分, .又
,,,, ,
,即
, ,
是等边三角形. ,
..
, .
课堂小结
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
等边三角形的判定：
含30°角的直角三角形的性质：
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
A
B
C
30°
A
B
C

展开更多......

收起↑