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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1.5.1角平分线的性质定理及其逆定理第一章三角形的证明及其应用 我们曾经探索过角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
请你尝试证明这一结论.
进行新课
知识点1
角平分线的性质
O
E
C
B
A
D
通过刚刚的折纸活动，你能得出什么结论？
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
你能证明这个结论吗？
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥ OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E。
求证：PD = PE。
O
A
B
C
1
2
P
D
E
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
∴∠PDO =∠PEO = 90°。
∵ ∠1 =∠2，OP = OP，
∴△PDO ≌△PEO（AAS）。
∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）。
1. 已知是等腰三角形底边上的高，若点 到直线
的距离为3，则点到直线 的距离为( )
C
A. B. 2 C. 3 D.
（第2题）
2. [2025江门月考] 如图，在 中，
，垂直平分， ，
则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
（第2题）
【点拨】连接 ，
.垂直平分 ，
， ，
， ，是 的平
分线，， ，
，
.
知识点1 角平分线的性质定理
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
符号语言：
∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD＝PE.
O
B
A
C
P
E
D
注意：该定理中，“点到这个角的两边的距离”是指该点到角两边的垂线段的长度.
例1 如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是(　　)
A. 2 B. 3 C. 1 D. 4
知识点1 角平分线的性质定理
D
（第3题）
3.如图，在锐角三角形中， 是边
上的高，在， 上分别截取线段
，，使；分别以点，
为圆心，大于 的长为半径画弧，在
内，两弧交于点，作射线 ，交
6
于点，过点作于点.若 ，
，则 ___.
你能写出这个定理的逆命题吗 它是真命题吗 请你证明自己结论的正确性.
知识点2 角平分线的判定定理
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.
求证：OP平分∠AOB.
知识点2 角平分线的判定定理
O
B
A
P
E
D
1
2
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
∴ ∠ODP=∠OEP=90°.
∵ PD=PE， OP=OP，
∴ Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).
∴ ∠1=∠2(全等三角形的对应角相等).
∴ OP平分∠AOB.
简记为“两垂直 + 一相等，得点在角平分线上”.
知识点2 角平分线的判定定理
角平分线性质定理的逆定理：
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的
平分线上.
符号语言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴ 点P在∠AOB的平分线上 .
O
B
A
P
E
D
知识点2 角平分线的判定定理
O
A
B
C
P
D
E
F
如图，把直尺的一边落在∠AOB的边OA 上，沿直尺的另一边画出直线CD；再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF. CD与EF相交于点P，连接OP.
OP是∠AOB的平分线吗 为什么
OP是∠AOB的平分线
角的内部到角两边距离相等的点
在这个角的平分线上.
（第4题）
4. 小明将两把完全
相同的直尺如图放置在 上，两
把直尺的接触点为，边 与其中一
把直尺边缘的交点为，点， 在这
把直尺上的刻度读数分别是 ，
，则 的长度是______.
角平分线和线段垂直平分线的比较：
相同点：都有定理和逆定理，都有“距离相等”，证明方法都利用了三角形全等.
不同点：角平分线是在角的内部，到角的两边距离相等的点的集合，是点到线(射线)的距离相等；
线段垂直平分线是到线段的两个端点距离相等的点的集合，是点到点的距离相等.
知识点2 角平分线的判定定理
（第5题）
5.如图，在四边形中， ，过
点作于点，连接 .若
，，且 恰好平分
，则 的面积为_ ___.
6.如图，， ，于点 .
（1）求证：平分 ；
【证明】如图，过点作，交的延长线于点 .
， .
， ，
.
又 ,
.
，平分 .
（2）若，，求 的长.
【解】在和 中，
.
由（1）可得 ，
.
.
例2 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在边BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
知识点2 角平分线的判定定理
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，
∴ AD平分∠BAC(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
又∵ ∠BAC=60°，
∴ ∠BAD= 30°.
在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，
∴ DE=AD=×10=5(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半).
知识点2 角平分线的判定定理
7. [2025合肥蜀山区期末] 如图，分别以
的边， 为直角边，向外作等腰
直角三角形,，连接,， ,
交于点，连接 .下列结论中不一定成
立的是( )
D
A. B.
C. 平分 D.
8.如图， ，的平分线上有一点 ，
，，，则 _________.
（第8题）
9.如图，，，分别平分，， 过
点，且与垂直，若， ，则四边形
的面积是____ .
40
（第9题）
10.如图，是的平分线，点在射线上， 是线
段的垂直平分线，交于点,交于点, 于点
.若 , ，则 ____.
课堂小结
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
判定定理
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

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