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第20章 勾股定理
20.1勾股定理及其应用（第3课时）
（人教版）八年级
下
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
理解运用勾股定理证明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL)”的逻辑思路;
掌握利用勾股定理构造直角三角形的方法，能作出长为无理数的线段，并在数轴上准确表示对应的无理数点；
在探究数轴上无理数表示的过程中，培养动手操作能力与几何建模能力.
03
02
新知导入
问题1 如果要证明两个直角三角形全等，可以用哪些方法？
一般三角形均可用 SSS，SAS，ASA，AAS，
还有一个是只有直角三角形可用的HL.
问题2 你还记得我们是怎么得出HL这个判定方法的吗？
我们是用尺规作图的方法，确定了一条直角边， 一条斜边的长度，画出唯一确定的直角三角形.
03
新知讲解
思考
在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
A
C
B
A′
C′
B′
03
新知讲解
先画出图形，再写出已知、求证如下：
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中，∠C = ∠C′= 90°，AB = A′B′，AC = A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，∠C = ∠C′= 90°，
根据勾股定理，BC = ??????????????????????????，B′C′= ????′????′??????????′????′????.
又 AB = A′B′，AC = A′C′，
∴ BC = B′C′，
∴ △ABC≌△A′B′C′ (SSS).
?
A
B C
A′
B′ C′
03
新知讲解
探究
你能在数轴上画出表示????????的点吗？
?
4
3
2
1
0
﹣1
﹣2
﹣3
﹣4
3
﹣2.5
想一想，试一试：
1.你能在数轴上能表示出哪些数？
2.你能画出????的线段长度吗？这个长度在数轴上怎么画出？借助直尺和圆规试一试吧！
3.????????的线段能是两条直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？画一画吧！
?
任何一个实数
03
新知讲解
探究
你能在数轴上表示出????的点吗？
?
我们知道，长为????的线段是两条直角边的长都为 1 的直角三角形的斜边.
?
O
1
2
3
4
1
1
????
?
1
????
?
????
?
03
新知讲解
探究
你能在数轴上画出表示????????的点吗？
?
O
1
2
3
4
1. 在数轴上找出表示 3 的点 A，
则 OA = 3.
2. 过点 A 作直线 l 垂直于 OA，
在 l 上取点 B，使 AB = 2.
3. 以原点 O 为圆心，OB 长为半径
作弧，弧与数轴正半轴的交点 C
即为表示????????的点.
?
????
?
????
?
????
?
????????
?
作长为????（n 是大于 1 的整数）的线段，关键是找到正整数 a，b，使 a2 + b2 = n.
?
l
也可以使OA=2，AB=3，同样可以求出C点.
03
新知讲解
类似地，利用勾股定理，可以画出长为????，????，????，…的线段（如图）.
?
如图，当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长????，即1? + 1? = (????)?；当两条直角边长分别为 1，????时，斜边长为 ????，即 1? + (????)? = (????)?；?以此类推，可以画出长为????，????，????， ? 的线段.
?
03
新知讲解
按照相同的方法，还可以在数轴上画出表示????，????，????，????，????，…的点（如图）.
?
如图，构造两条直角边长都是1的直角三角形，用勾股定理得到斜边的长为????，再用圆规截取的方法画出????在数轴上的对应点；构造两直角边长分别为????，1的直角三角形，用勾股定理得到斜边的长为????，再用圆规截取的方法画出????在数轴上的对应点…以此规律可以在数轴上表示出????，????，????，?.
?
03
新知讲解
例
如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.
解：∵图中的直角三角形的两直角边长为1和2，
∴斜边长为 ，即－1到A的距离是 ，
∴点A所表示的数为 .
注意：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，则所表示的数不是斜边长.
03
新知讲解
总结归纳
在数轴上画表示无理数的点的步骤：
一拆分：把无理数的平方拆分为两个整数的平方和.
二构造：以原点为直角三角形的锐角顶点且其中一条直角边与数轴重合，构造直角三角形.
三画弧：以原点为圆心，斜边长为半径画弧.
04
课堂练习
基础题
1.如图，点C表示的数是(　　)
A．1 B.???? C．1.5 D.????
?
D
04
课堂练习
基础题
2. 如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，点A表示－1，AB＝3，AD＝1.若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点M，则点M所表示的数为 （　A　）
A. ???????? －1
B. ????????
C. ???????? ＋1
D. ???????? ＋2
A
04
课堂练习
基础题
3. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为（　A　）
A. 2
B. ????
C. ????
D. 2????
A. 2
A
4. 如图，∠A＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD的长为?　 　.　
???? 　
?
04
课堂练习
提升题
1. 如图，长方体的长、宽、高分别为3cm，1cm，6cm.如果一只小虫从点A开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（　A　）
A. 5cm
B. 4???? cm
C. 6cm
D. 7cm
A. 5cm
C. 6cm
D. 7cm
A
04
课堂练习
提升题
2. 如图，在长方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝???????? S长方形ABCD，则点P到A，B两点的距离之和（PA＋PB）的最小值为?　 　.　
?
???????? 　
?
04
课堂练习
拓展题
如图所示为一个圆柱形无盖油罐，它的底面圆的周长为24m，高为6m.一只老鼠从距底面1m的点A处沿油罐侧面爬行到对面的点B处吃油，则它爬行的最短路程为多少米？
解：如答案图，将圆柱的侧面展开成长方形，则长方形的长为圆柱的底面圆的周长，即为24m，记点A正下方的顶点为C，正上方的顶点为E.
由题意，得EC＝6m，AC＝1m，EB＝???????????? ＝12（m）.∴ AE＝5m.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB＝????????????＋???????????? ＝13m.
∴ 它爬行的最短路程为13m
?
05
课堂小结
勾股定理的应用
用勾股定理验证直角三角形(HL)判定的证明
运用勾股定理在数轴上画出表示实数???? (n为大于1的整数) 的点
?
06
板书设计
20.1勾股定理及其应用（第3课时）
勾股定理的应用：
Thanks!
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