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(共31张PPT)
第20章 勾股定理
20.1勾股定理及其应用（第1课时）
（人教版）八年级
下
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
理解勾股定理的推导过程，掌握勾股定理的数学表达形式
(a +b =c ) ;
能够运用勾股定理解决直角三角形中的边长计算问题；
在探究勾股定理的几何直观模型过程中，培养观察、归纳
与逻辑推理能力.
03
02
章节导入
　 直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对其研究也由来已久。在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦。根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪。人们就知道，如果勾为三、股为四，那么弦为五。后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的数量关系——两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，这就是勾股定理。
本章我们将探索并证明勾股定理及其逆定理，并运用这两个定理解决有关问题，由此可以加深对直角三角形的认识。
02
新知导入
A
B
C
① 有一个直角，∠C = 90°.
② 两个角互余，∠A + ∠B = 90°.
a
b
c
说一说直角三角形有哪些性质？
对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？
03
新知讲解
在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前 11 世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.
03
新知讲解
商高所指的面积关系可以用图形表示. 如图，红色直角三角形的三边长分别为 3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形.
3
4
5
所得正方形的面积分别为
____，____，____.
9
16
25
面积之间的数量关系是:
9 + 16 = 25
这个直角三角形的三边满足：
两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
03
新知讲解
探究
如图 ,每个小方格的面积均为 1,图中正方形 A ,B ,C 的面积之间有什么关系？A ,B ,C 呢？A ,B ,C 呢？
03
新知讲解
探究
如图 ,每个小方格的面积均为 1,图中正方形 A ,B ,C 的面积之间有什么关系？A ,B ,C 呢？A ,B ,C 呢？
SA =_________,SB =_________,SC =_________,
面积之间的关系：
______________________________.
1
4
5
SA +SB =SC
S正方形-4×S直角三角形
=3×3-4××1×2=5.
03
新知讲解
探究
如图 ,每个小方格的面积均为 1,图中正方形 A ,B ,C 的面积之间有什么关系？A ,B ,C 呢？A ,B ,C 呢？
SA =_________,SB =_________,SC =_________,
面积之间的关系：
______________________________.
4
9
13
SA +SB =SC
S正方形-4×S直角三角形
=5×5-4××2×3=13.
03
新知讲解
探究
如图 ,每个小方格的面积均为 1,图中正方形 A ,B ,C 的面积之间有什么关系？A ,B ,C 呢？A ,B ,C 呢？
SA =_________,SB =_________,SC =_________,
面积之间的关系：
______________________________.
9
25
34
SA +SB =SC
S正方形-4×S直角三角形
=8×8-4××3×5=34.
03
新知讲解
探究
以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？
SA4=_________,SB4=_________,SC4=________,
面积之间的关系：
______________________________.
4
16
20
SA4+SB4=SC4
S正方形-4×S直角三角形
=6×6-4××2×4=20.
A4
B4
C4
03
新知讲解
可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积. 由此我们猜想：
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，
那么 a2 + b2 = c2 .
B
A
C
b
a
c
证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法.
03
新知讲解
a
b
c
黄实
朱实
朱实
朱实
这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.
03
新知讲解
赵爽拼图证明法
a
b
c
b
a2 + b2
c2
a
证法 1:
a
b
c
=
03
新知讲解
赵爽拼图证明法
a
b
c
b－a
证法 2:
= c2，
= (b－a)2，
= 4S三角形 + S小正方形，
c2 = 4×ab + (b－a)2 = a2 + b2.
这样就证明了前面的猜想. 它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理.
03
新知讲解
勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2.
几何语言：
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴a2+b2=c2.
03
新知讲解
赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲.
2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的.
03
新知讲解
例1
如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理
= 100，
所以AB = 10.
解： (2)在Rt△DEF中，根据勾股定理，，
从而，
所以DE = 8.
04
课堂练习
基础题
1.下列说法中，正确的是（ ）
A. 已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2 + b2 = c2
B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，所以 a2 + b2 = c2
D. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，所以 a2 + b2 = c2
C
2. 若一个直角三角形的两边长分别为3，4，则该直角三角形的第三边的长为（　D　）
A. 5
C. 25
D
04
课堂练习
基础题
3. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个直角三角形的三边长为边长作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.如果S2＋S1－S3＝16，那么涂色部分的面积为（　B　）
A. 6 B. 4 C. 5 D. 8
B
04
课堂练习
基础题
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，则AC的长为 　3 　.
3 　
5.在平面直角坐标系中，点M在第二象限内，OM＝2.5，且点M到y轴的距离为1.5，则点M的坐标为 　（－1.5，2）　.
（－1.5，2）　
04
课堂练习
基础题
解：由题意，得BC＝DC＝CE＝DE＝2，∠DCE＝∠E＝∠CDE＝60°.
∴ 易得BE＝4，∠DBC＝∠BDC＝30°.
∴ ∠BDE＝30°＋60°＝90°.
在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD＝ ＝2 　
6. 如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，求BD的长.
04
课堂练习
提升题
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（　D　）
A. 1.2 B. 1.6 C. 2.4 D. 4.8
D
04
课堂练习
提升题
2. 如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A，B，C的边长分别为6cm，5cm，
5cm，则正方形D的边长为 　 　cm.
　
04
课堂练习
拓展题
我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一.勾股定理其实有很多种证明方法.如图所示为证明勾股定理所用的图形：以a，b为直角边，c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形按如图所示的方式摆放，使C，B，D三点在同一条直线上，连接AE.
04
课堂练习
拓展题
（1） 求证：∠ABE＝90°；
解：（1） 由题意，易知Rt△ABC≌Rt△BED，∠C＝∠D＝90°.∴ ∠ABC＝∠BED.
∴ ∠ABC＋∠EBD＝∠BED＋∠EBD＝180°－∠D＝90°.
∴ ∠ABE＝180°－（∠ABC＋∠EBD）＝90°
（2） 请你利用这个图形证明勾股定理（即求证：a2＋b2＝c2）.
（2） 由题意，得S梯形ACDE＝ （a＋b）（a＋b）＝ c2＋2× ab.
∴ a2＋b2＝c2
05
课堂小结
勾股定理
内容
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b 为直角边，c 为斜边，则有a2 + b2 = c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
06
板书设计
20.1勾股定理及其应用（第1课时）
2. 勾股定理的证明：
1. 勾股定理的发现：
Thanks!
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