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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.4.1因式分解第四章因式分解
学习目标
1.了解多项式的因式分解的定义,知道因式分解与整式乘法之间的联系与区别.
2.能判断因式分解的正误，了解因式分解的过程，会进行简单的因式分解.
1. 630可以被哪些整数整除？
导入新知
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？
解决这个问题，需要对630进行分解质因数
（1）单项式×单项式: .
（2）单项式×多项式: .
（3）多项式×多项式: .
2.整式乘法类型
导入新知
（1）平方差公式: (() = .
（2）完全平方公式: (a±b)2= .
3.特殊的整式乘法公式
a2±2ab+b2
a2－b2
1. 教材P112随堂练习 下列各式从左到右的变形中，
属于因式分解的是( )
A
A.
B.
C.
D.
2.若多项式因式分解后有一个因式是 ，则
____.
3. 根据如图所示的拼图过程，写出一个多项
式的因式分解：___________________________.
知识点1 因式分解
思考
你能把a3-a化成几个整式乘积的形式吗？
a3 - a =a(a2-1)
=a(a+1)(a-1).
观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
知识点1 因式分解
= .
ma+mb+mc
m(a+b+c)
知识点1 因式分解
x2+2x+1
(x+1)2
= .
观察下列拼图过程，写出相应的关系式.
观察以下等式，它们有什么共同特点？
知识点1 因式分解
a3 - a = a(a+1)(a-1)
ma+mb+mc = m(a+b+c)
x2+2x+1 = (x+1)2
多项式
整式乘积
像这样的变形叫作因式分解.
4.如果，求 的值.
【解】 ，则
， .
.
5. 已知多项式 能分解为两个整系数的一次式的
乘积，则 的值有( )
A
A. 10个 B. 8个 C. 5个 D. 4个
6. [2025保定一模] 若能被 整除，则整
数 的值不可能是( )
D
A. 100 B. 50 C. 17 D. 3
知识点1 因式分解
把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫作这个多项式的因式.
注意 (1) 因式分解的对象是多项式，结果是几个整式乘积的形式；
(2) 本章仅限于在有理数范围内因式分解；
(3) 因式分解是恒等变形.
知识点1 因式分解
例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)
① x2-y2-1＝(x+y)(x-y)-1； ② x3+x＝x(x2+1)；
③ (x-y)2＝x2-2xy+y2； ④ x2-9y2＝(x+3y)(x-3y).
A. 1个 　　　　 B. 2个 　　　　C. 3个 　　　　　 D. 4个
B
7. 两名同学将一个二次三项式分解因式，一
名同学因看错了一次项系数而分解成 ，另一名
同学因看错了常数项而分解成 ，求出原多项式.
【解】设原多项式为（其中,, 均为常数，且
）.
,
由题意得, .
又 ,
由题意得 .
原多项式为 .
知识点2 因式分解与整式乘法的关系
根据左面的算式填空：
(1) 3x2-3x=_________；
(2) ma+mb+mc=_________；
(3) m2-16=__________；
(4) y2-6y+9=________.
计算下列各式：
(1) 3x(x-1)= ；
(2) m(a+b+c)= ；
(3) (m+4)(m-4)= ；
(4) (y-3)2= .
3x2 - 3x
ma+mb+mc
m2 -16
y2-6y+9
3x(x-1)
m(a+b+c)
(m+4)(m-4)
(y-3)2
因式分解与整式乘法的关系：
联系：多项式的因式分解与整式乘法互为逆变形.
区别：
因式分解：(1) 把一个多项式化成几个整式乘积的形式； (2) 是多项式的恒等变形.
整式乘法：(1) 把几个整式相乘的形式转化为一个整式的形式；(2) 是一种乘法运算.
知识点2 因式分解与整式乘法的关系
8. 对于多项式，如果我们把
代入 ，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项
式中有因式 ，可设
（ 为常数），通过展开多项式或
代入合适的的值即可求出 的值.我们把这种因式分解的方法
叫“试根法”.
根据以上阅读材料，完成下列问题：
（1）请完成下列因式分解： ________________
_________；
【解】
（2）若多项式（， 为常数）因式分解后，有
一个因式是，求 的值；
设 ，其中
为常数，则， ，
.
（3）多项式 用“试根法”因式分解得
（，，为常数），请直接写出， ，
的值.
,, .

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