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北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.4.3　公式法（第1课时）运用平方差公式因式分解第四章因式分解
学习目标
探索并运用平方差公式进行因式分解，体会逆向思维在数学中的作用.
2. 能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.
导入新知
a米
b米
b米
a米
(a-b)
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
a2- b2=(a+b)(a-b)
平方差公式：
知识点 用平方差公式因式分解
事实上，把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来，就得到
a2-b2=(a+b)(a-b).
注意：能用平方差公式分解因式的多项式的特点：a2-b2，
即多项式是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.
1. 课堂上老师在黑板上布置了以下的题目：
用平方差公式因式分解：
（1）； （2） ；
（3）； （4） .
涛涛发现有一道题目错了，错误的题目是( )
B
A. （1） B. （2） C. （3） D. （4）
2. 因式分解“ ？”得
，则“？”是( )
B
A. B. C. D.
用平方差公式因式分解的几何解释：
知识点 用平方差公式因式分解
(a+b)(a-b)
a2-b2
a2-b2=(a+b)(a-b)
知识点 用平方差公式因式分解
例1 把下列各式因式分解：
(1) 25-16x2； (2) 9a2-b2.
解：(1)25-16x2
=52-(4x)2
=(5+4x)(5-4x)；
(2) 9a2-b2
= (3a)2-(b)2
= (3a+b)(3a-b).
归纳：第一步，将两项写成平方的形式，找出a、b；
第二步，利用a2-b2=(a+b)(a-b)分解因式.
3. 小南是一位密码编译爱好者，在他
的密码手册中有这样一条信息：，，2， ，
， 分别对应下列六个字：数，爱，我，化，物，学.现
将 因式分解，结果呈现的密码信息
可能是( )
C
A. 我爱化 B. 爱物化 C. 我爱数学 D. 物化数学
【点拨】，，， 分别对应我，
爱，数，学， 结果呈现的密码信息可能是我爱数学.
观察各式的特点，运用平方差公式进行因式分解:
(1) a4-b4；　 (2) x3y2-xy4.
知识点 用平方差公式因式分解
还能继续分解吗？
解：(1) a4-b4
= (a2+b2)(a2-b2)
= (a2+b2)(a+b)(a-b);
有公因式的要先提公因式，再进一步分解.
(2) x3y2-xy4
= xy2(x2-y2)
= xy2(x+y)(x-y).
4.[2025内江] 已知实数，满足 ，则
___.
5.一个长方形的面积为，宽为 ，则该长方形
的长为_______.
6.若，，则 的值为___.
4
4
知识点 用平方差公式因式分解
例2 把下列各式因式分解：
(1) 2x3-8x； (2) 9(m+n)2-(m-n)2.
解：(1) 2x3-8x
= 2x(x2-4)
= 2x(x2-22)
= 2x(x+2)(x-2);
(2) 9(m+n)2-(m-n)2
= [3(m+n)]2-(m-n)2
= [3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
= (3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
= (4m+2n)(2m+4n)
= 4(2m+n)(m+2n).
运用平方差公式因式分解的注意事项：
1. 具有平方差形式的多项式才可运用平方差公式分解因式.
2. 公式a b =(a+b)(a b)中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式，应视具体情形灵活运用.
3. 若多项式中有公因式，应先提取公因式，再进一步分解因式.
4. 分解因式要彻底.要注意每一个因式的形式要最简，直到不能再分解为止.
知识点 用平方差公式因式分解
7.因式分解：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） ；
原式 .
（4） .
原式 .
知识点 用平方差公式因式分解
跟踪训练 若a+b=4，a-b=1，则(a+1)2-(b-1)2的值为　　　　.
12
如图，在一张边长为a cm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b cm的正方形，求剩余部分的面积.当a=3.6，b=0.8时，剩余部分的面积是多少
解：剩余部分的面积为(a2-4b2) cm2.
当a=3.6，b=0.8时，
a2-4b2=(a+2b)(a-2b)=(3.6+2×0.8)×(3.6-2×0.8)=10.4，
即剩余部分的面积为10.4 cm2.
知识点 用平方差公式因式分解
8. 有四个式子：，，， ，
请你从中选出两个，使两者之差能按照以下要求进行因式分
解，并写出因式分解的结果.
（1）利用提公因式法；
【解】选取与 ，
.
（2）利用平方差公式法.
（答案不唯一）选取与 ，
.
9. 若，，是三角形的三边长，则式子 的值
( )
B
A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 不能确定
10. 小明在抄因式分解的题目时，不小心漏
抄了 的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能
利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是
（“ ”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果
共有( )
C
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
11. 若，则 的值为( )
C
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【点拨】 ，
.
12. [2025威海期中] 对于任意整数， 都( )
C
A. 能被2整除，不能被4整除
B. 能被4整除，不能被8整除
C. 能被8整除
D. 能被5整除
【点拨】为任意整数， ,
是连续整数，, 必有一个是偶数，
能被8整除，即 能被8整除.
13. 已知实数，满足 ,
，且，则 ____.
13
【点拨】由得.由 得
, .
.
, .
14.若多项式（其中是小于10的自然数， ）
可以分解因式，则 能取的值共有___个.
15.计算： …
_____.
5
公 式 法
分 解 因 式
（平方差公式）
公 式
课堂小结
一找 二套 三彻底
平方差公式因式分解的步骤

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