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第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小学组A）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）10个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于11，不能是13，也不能是5的倍数，且彼此都不相同，至少要　　个乒乓球．
2．（10分）有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒．一个礼品配一个包装盒，共有　　 种不同价格．
3．（10分）汽车从甲站出发开往乙站，同时汽车、从乙站出发与相向而行开往甲站，途中与相遇20分钟后再与相遇．已知、、的速度分别是每小时，，，那么甲乙两站的路程是　　．
4．（10分）将，，，，，和这6个分数的平均值从小到大排列，则这个平均值排在第　 　 位．
5．（10分）将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”，那么不超过2012的“好数”的个数为　 　 ，这些“好数”的最大公约数是　 　 ．
6．（10分）如图所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为　　．
7．（10分）数字卡片“3”，“4”，“5”各10张，任意选出8张使它们的数字和是33，则最多有 　　 张是卡片“3”．
8．（10分）若将算式的值化为小数，则小数点后第1个数字是 　　．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）如图中有5个由4个的小正方格组成的不同形状的硬纸板．问能用这5个硬纸板拼成右图中的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由．
10．（10分）长度为的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？
11．（10分）足球队，，，，进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分．若，，，队总分分别是1，4，7，8，请问：队至多得几分？至少得几分？
12．（10分）华罗庚爷爷出生于1910年11月12日．将这些数字排成一个整数，并且分解成，请问这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由．
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）如图中，六边形的面积是2010平方厘米．已知，，，，，的面积都等于335平方厘米，6个阴影三角形面积之和为670平方厘米．求六边形的面积．
14．（15分）已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数．
第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小学组A）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）10个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于11，不能是13，也不能是5的倍数，且彼此都不相同，至少要　173　个乒乓球．
【解答】解：（个；
答：至少要173个乒乓球；
故答案为：173．
2．（10分）有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒．一个礼品配一个包装盒，共有　19　 种不同价格．
【解答】解：共有（种
包装盒价格
礼品盒价格 1 3 5 7 9
2 3 5 7 9 11
5 6 8 10 12 14
8 9 11 13 15 17
11 12 14 16 18 20
14 15 17 19 21 23
故答案为：19．
3．（10分）汽车从甲站出发开往乙站，同时汽车、从乙站出发与相向而行开往甲站，途中与相遇20分钟后再与相遇．已知、、的速度分别是每小时，，，那么甲乙两站的路程是　425　 ．
【解答】解：20分钟小时，
与分钟相遇，共行（千米），
这50千米即是与相遇过程中，在相同时间内，比多行的路程，
显然与相遇时间等于（小时）．
所以，与相遇甲乙两站的路程为（千米）．
答：甲乙两站的路程是425千米．
故答案为：425．
4．（10分）将，，，，，和这6个分数的平均值从小到大排列，则这个平均值排在第　5　 位．
【解答】解：（+++++）÷6
＝[（++）+（++）]÷6
＝[1+]÷6
≈1.593÷6
＝0.2655；
＜＜＜＜0.2655＜＜．
所以这个平均数从小到大排列在第5位．
故答案为：5
5．（10分）将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”，那么不超过2012的“好数”的个数为　223　 ，这些“好数”的最大公约数是　3　 ．
【解答】解：（2014﹣6）÷9+1
＝1998÷9+1
＝222+1
＝223（个）；
6和15的最大公约数3，所以所有好数的最大公约数为3．
答：不超过2012的“好数”的个数为 223，这些“好数”的最大公约数是 3．
故答案为：223，3．
6．（10分）如图所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为　32　．
【解答】解：从上面和下面看到的面积为，
从正面和后面看面积为，
从两个侧后面看面积为，
故这个几何体的表面积为．
故答案为：32．
7．（10分）数字卡片“3”，“4”，“5”各10张，任意选出8张使它们的数字和是33，则最多有 　3　 张是卡片“3”．
【解答】解：若8张卡片全是3，则，不符合要求，
若有7张卡片是3，则，剩下1张为，不可能，
若有6张卡片是3，则，剩下的2张和为，，不可能，
若有5张卡片是3，则，剩下的3张和为，，不可能，
若有4张卡片是3，则，剩下的4张和为，，不可能，
若有3张卡片是3，则，剩下的5张和为，即取4张5，1张4，
综上，最多有3张卡片是3．
故答案为：3．
8．（10分）若将算式的值化为小数，则小数点后第1个数字是 　4　．
【解答】解：
推理后面每两个分数之差更接近0，而且是有限个求和，所以小数点后第一位为4．
故答案为：4．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）如图中有5个由4个的小正方格组成的不同形状的硬纸板．问能用这5个硬纸板拼成右图中的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由．
【解答】解：将五块纸板编号，如图2，除纸板④之外，其余4张硬纸板每一张都盖住2个黑格，而④盖住了3个或1个黑格，因此，由4个的小正方格组成的不同形状的5个硬纸板，只能盖住9或11个黑格，与10个黑格不符．
所以显然不能用左边5个硬纸板拼成右边的的长方形．
10．（10分）长度为的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？
【解答】解：假设，12，的倍，即．那么：
红线将木棍等分8等份个分点），每份长度；
蓝线将木棍等分12等份个分点），每份长度；
黑线将木棍等分18等份个分点），每份长度；
又知：，，重叠4段；，，重叠6段；，，重叠2段；
，，，重叠2段．
由容斥原理二得：一共分割的段数为：（段；
或总点数为：（分点），所以共有28段．
那么，最短段为红线与黑线的距离：．
11．（10分）足球队，，，，进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分．若，，，队总分分别是1，4，7，8，请问：队至多得几分？至少得几分？
【解答】解：由题意得：
从得分看至少3局平局，全部比赛总分（分，队得分最多为（分．
从得分看最多5场平局，全部比赛总分（分，队得分最少为（分．
答：队至多得7分，至少得5分．
12．（10分）华罗庚爷爷出生于1910年11月12日．将这些数字排成一个整数，并且分解成，请问这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由．
【解答】解：16424是合数，原因是16424的约数不止两个，除了有1和本身外，还有2、等等．
1163是质数，判断方法是：，，最接近1163，所以用小于34的所有质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31去除1163都除不尽，所以可以判断1163是质数．
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）如图中，六边形的面积是2010平方厘米．已知，，，，，的面积都等于335平方厘米，6个阴影三角形面积之和为670平方厘米．求六边形的面积．
【解答】解：根据容斥原理：
两个六边形中间夹圈部分的面积
所以：六边形的面积
答：六边形的面积是670．
14．（15分）已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数．
【解答】解：令虎为、威为，则：题意为：为整数）
①
，
所以虎威；
②
，
所以虎威；
③
无解；
④
，
所以虎威；
⑤
，
所以虎威；
⑥
，
所以虎威
⑦，同上方法讨论无解；
⑧，同上方法讨论无解；
⑨，同上方法讨论无解；
综上所述，有三个满足题目的两位数，即11、12、15、24、36．

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