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第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小学组B）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）计算：（105×95+103×97）﹣（107×93+101×99）＝　 　 ．
2．（10分）如图所示，在边长为1的小正方形组成的方格图中，共有25个格点．在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有　　个．
3．（10分）将七位数“2468135”重复写287次组成一个2009位数“”．删去这个数中所有位于奇数位（从左往右数）上的数字后组成一个新数；再删去新数中所有位于奇数位上的数字；按上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是　　 ．
4．（10分）、、、、、六个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：，，，，，．开始时，、、、、、拿着各自的玩具，传递完2002轮时，有　　 个小朋友又拿到了自己的玩具．
5．（10分）某班学生要栽一批树苗．若每个人分配k棵树苗，则剩下20棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵．那么k＝　 　 ．
6．（10分）已知三个合数，，两两互质，且，那么的最小值为　　 ．
7．（10分）方格中的图形符号“◇”，“〇”，“▽”，“☆”代表填入方格中的数，相同的符号表示相同的数，如图所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别为36，50，41，37，则第三行的四个数的和为　　 ．
8．（10分）已知的和的个位数为3，十位数为0，则的最小值是　　．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）六个分数，，，，，的和在哪两个连续自然数之间？
10．（10分）2009年的元旦是星期四，问：在2009年中，哪几个月的第一天也是星期四？哪几个月有5个星期日？
11．（10分）有同样的三个正方体纸盒，每个纸盒的六个面上都写有一个数字，它们的展开图如图1所示．若把这三个纸盒按图2所示摆放在不透明的桌面上，则所有能看到的纸盒面上的数字之和的最大值和最小值分别是多少？
12．（10分）在50个连续的奇数1，3，5，，99中选取个数，使得它们的和为1949，那么的最大值是多少？
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）如图所示，在梯形中，，对角线，相交于点．已知，，梯形的面积为5，求三角形的面积．
14．（15分）在如图所示的乘法算式中，汉字代表1至9这9个数字，不同汉字代表不同的数字．若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛”所代表的整数．
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小学组B）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）计算：（105×95+103×97）﹣（107×93+101×99）＝　16　 ．
【解答】解：（105×95+103×97）﹣（107×93+101×99）
＝105×95+103×97﹣107×93﹣101×99
＝（100+5）×（100﹣5）+（100+3）×（100﹣3）﹣（100+7）×（100﹣7）﹣（100+1）×（100﹣1）
＝100×100﹣5×5+100×100﹣3×3﹣（100×100﹣7×7）﹣（100×100﹣1×1）
＝100×100+100×100﹣100×100﹣100×100﹣25﹣9+49+1
＝49+1﹣25﹣9
＝25﹣9
＝16．
故答案为：16．
2．（10分）如图所示，在边长为1的小正方形组成的方格图中，共有25个格点．在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有　64　个．
【解答】解：由分析可知，直角三角形共有：
（个．
答：两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有64个．
故答案为：64．
3．（10分）将七位数“2468135”重复写287次组成一个2009位数“”．删去这个数中所有位于奇数位（从左往右数）上的数字后组成一个新数；再删去新数中所有位于奇数位上的数字；按上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是　4　 ．
【解答】解：第一次留下的是2的倍数位上的数字；
第二次留下的是4的倍数位上的数字；
第三次留下的是8的倍数位上的数字；
以此类推，最后删去的是位数；
，
所以剩下的是第147组“2468135”中的第2个位置上，即为4；
答：最后剩下的数字是4．
故答案为：4．
4．（10分）、、、、、六个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：，，，，，．开始时，、、、、、拿着各自的玩具，传递完2002轮时，有　2　 个小朋友又拿到了自己的玩具．
【解答】解：、、、位小朋友传递4轮回到自己手中；、两位小朋友只需传递2轮就回到自己手中；
，
，
2002能被2整除，所以传递完2002轮时，只有、两位小朋友又拿到了自己的玩具．
答：传递完2002轮时，有2个小朋友又拿到了自己的玩具．
故答案为：2．
5．（10分）某班学生要栽一批树苗．若每个人分配k棵树苗，则剩下20棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵．那么k＝　8　 ．
【解答】解：（20+3）÷（9﹣k）
＝23÷（9﹣k）；
因23是质数，要使分的组数是整数，9﹣k应是1，
9﹣k＝1
k＝8，
答：k是8．
故答案为：8．
6．（10分）已知三个合数，，两两互质，且，那么的最小值为　222　 ．
【解答】解：因为
所以的值最小是：．
答：最小是222．
故答案为：222．
7．（10分）方格中的图形符号“◇”，“〇”，“▽”，“☆”代表填入方格中的数，相同的符号表示相同的数，如图所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别为36，50，41，37，则第三行的四个数的和为　33　 ．
【解答】解：因为3◇〇，
3◇▽，
所以▽〇，
因为2▽〇，
所以▽，〇，
所以◇，
因为3〇☆，
所以☆，
所以第三行的四个数的和：
．
故答案为：33．
8．（10分）已知的和的个位数为3，十位数为0，则的最小值是　37　．
【解答】解：的和的个位数是3，十位数是0
则是100的倍数，即是200的倍数，
因，根据奇偶性的知识知：，一个奇数，一个偶数，偶数为8的倍数，奇数是5的倍数．
且根据得到，
又个位为3，十位上是0，则的末两位是06，易知末位是6的连续的两个自然数的乘积的末位只能为或者7或者8，
经过计算可知最小是37．
答：最小值是37．
故答案为：37．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）六个分数，，，，，的和在哪两个连续自然数之间？
【解答】解：
根据题意分析，
；
；
因此的和在自然数1和2之间；
故答案为的和在自然数1和2之间．
10．（10分）2009年的元旦是星期四，问：在2009年中，哪几个月的第一天也是星期四？哪几个月有5个星期日？
【解答】解：如下表所示：
月份 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1号距1月1号的天数 31 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334
除以7的余数 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5
1号的星期数 日 日 三 五 一 三 六 二 四 日 二
10月1号与1月1号相距273天，273是7的倍数，所以，10月份的第一天也是星期四．
3月1号是星期日，3月份有31天，所以3月有5个星期日；
5月3号是星期日，5月份有31天，所以5月有5个星期日；
8月3号是星期日，8月份有31天，所以8月有5个星期日；
11月1号是星期日，11月份有30天，所以11月有5个星期日．
11．（10分）有同样的三个正方体纸盒，每个纸盒的六个面上都写有一个数字，它们的展开图如图1所示．若把这三个纸盒按图2所示摆放在不透明的桌面上，则所有能看到的纸盒面上的数字之和的最大值和最小值分别是多少？
【解答】解：根据题干分析可得，露在外面的数字之和最大是：3+4+5+6+4+5+6+3+4+5+6＝51，
最小值是：1+2+3+4+1+2+3+1+2+3+4＝26，
答：最大值是51，最小值是26．
12．（10分）在50个连续的奇数1，3，5，，99中选取个数，使得它们的和为1949，那么的最大值是多少？
【解答】解：首先1，3，是首项为1，公差为2的等差数例，
所以前项和为，且，，
为了让最大，我们不能取大于第45项的数89，
所以我们取，而，
则我们要在前45项里面减去几个数 让这几个数的值为76，且我们要减去最少的数，
因为前面的等差数的第项为，当时，第38项等于75，我们只要在减去第一项就可以满足题意思，则我们在45项的基础上只要减去第38项和第一项，则．
答：最大值为43．
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）如图所示，在梯形中，，对角线，相交于点．已知，，梯形的面积为5，求三角形的面积．
【解答】解：梯形的高是：，
又因为，
所以三角形相似与三角形，
所以对应高的比等于对应的底的比，
三角形的高是，
三角形的面积是
；
答：三角形的面积是．
14．（15分）在如图所示的乘法算式中，汉字代表1至9这9个数字，不同汉字代表不同的数字．若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛”所代表的整数．
【解答】解：（1）因为48能被3整除，所以“第十四届”所表示的数能被3整除，即“第14届”的四个数字之和能被3整除．
又因为1+3+5+…+9＝45能被3整除，所以“华杯赛”表示的数的数字之和也能被3整除，即“华杯赛”所表示的数能被3整除．
（2）因为48能被4整除，而且“祝”字是4，“贺”字是8，所以“届”为偶数，只能取2或6．
又“祝贺”与“华杯赛”的成绩为四位数，所以“华”字代表的数字只能是1，否则，即使“华杯赛”取最小的三位数是213，48×213＝10224是五位数，所以取其他的三位数将更不符合要求．
（3）当“届”取数字“2”时，则“赛”字只能是9，此时，算式是48×＝．
因为余下的4个数字3，5，6，7中，只有5与10的和能被3整除，所以“杯”字只能取5．
此时，48×159＝7632，符合要求．故“华杯赛”所代表的整数是159．
（4）当“届”取数字“6”时，则“赛”取数字“2”或“7”．
③若“赛”取数字“2”时，此时算式是48×＝．
因为3与3，5，7，9的和分别为6，8，10，12，所以“杯”可以取数字“3”或“9”．
但是48×132＝6336，48×192＝9216，显然不符合要求．
④若“赛”取数字“7”时，此时算式是＝．
因为8与2，3，5，9的和分别为10，11，13，17均不能被3整除，所以不存在“”使得等式48×＝成立．
所以“华杯赛”所代表的整数为159．

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