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浙江绍兴市诸暨市2025-2026学年高二第一学期期末考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.双曲线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
3.记为等差数列的前项和，为公差，则( )
A. B. C. D.
4.若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则( )
A. B. C. D. 以上都有可能
5.记为等比数列的公比，若为，的等差中项，则( )
A. B. C. 或 D. 或
6.方程对应的曲线周长是( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点准线与轴的交点为当时，直线的方程为( )
A. B. C. D.
8.已知圆和直线：，若圆上存在三点到直线的距离成公差为的等差数列，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列：，，，，，前项和为，前项积为则( )
A. 公比 B.
C. 若取到最大值，则 D. 若取到最大值，则
10.设函数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，无极值点
B. 当时，是的极大值点
C. ，图象存在对称轴
D. ，图象对称中心的横坐标不变
11.长方体，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，点是棱的中点，点是与的交点，若，则( )
A. B. C. 平面 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆：，圆心在直线：上，则 ．
13.若曲线在处的切线斜率为，则 ．
14.已知抛物线：，直线：交抛物线于，两点，垂直于的直线与分别交抛物线于，两点当长度最小时， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为．
求双曲线的离心率；
若点在双曲线上，直线与相交于不同的两点，，求弦长的值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，．
求证：平面；
若，求平面与平面所成二面角的正弦值．
17.本小题分
已知数列的前项和为，且，数列满足，且的前项和．
求数列的通项公式；
求数列的通项公式．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的单调区间；
若函数恰有三个极值点，求的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点．
求椭圆的标准方程；
若直线过右焦点，设，，求的值；
若已知，椭圆上下顶点分别为，，直线交直线于点，证明：点在定直线上．
参考答案
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14.
15.解：依题意设双曲线的方程为，
则其渐近线方程为，依题意可得，
所以离心率；
由可得双曲线的方程为，
又点在双曲线上，所以，解得，
所以双曲线的方程为，
设，
由，消去整理得，显然，
所以，，
所以．

16.解：取中点，连接，则，，
四边形是正方形，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，
则，则，
，故，
平面，平面，
，
平面，平面，
平面．
，则，，
在平面中，设平面法向量为，则
，令，则，
，则，
在平面中，设平面法向量为，则
，令，则
设平面与平面所成二面角为，则
，，
故平面与平面所成二面角的正弦值为．
17.解：因为，
当时，
当时，所以，
当时也成立，所以；
因为的前项和，
当时，又，，所以，
当时，，
所以，
所以，
所以，，，又，
所以，
令，则，
所以，
所以，
则，所以，
当时也成立，所以．

18.解：当时，，，
令，得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
定义域为，，
要使函数恰有三个极值点，则有三个不同实数根，
令，得或，
即有两个除的实数根，
所以，
令，则，
令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
当时，，当时，，
因此当时，方程有两个不同的正根，
综上所述：的取值范围为

19.解：依题意可得，解得
所以椭圆的标准方程为．
由可得椭圆的右焦点，
设，，，由题意知直线的斜率存在，
设直线的方程为，代入方程，
并整理得，
，，
又，，，，
而，，
即，，
，，
．
依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，由可得，，
设，，
由，消去并整理得，
，，则，
又直线的方程为，直线的方程为，
所以，即，
即，
所以，所以，即，
所以
，
所以点在定直线上
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