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1.2《等腰三角形》-- 等边三角形的性质与判定
一、单选题
1．在 ABC中，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
2．如图，在等边 ABC中，点D，E分别在上，且与相交于点F，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 ABC中，，，分别是边上的两个动点，连接．若当与的和最小时，的长为1，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．如图，在等边 ABC中，为边上的一点，若，为边上的一点，连接交的延长线于点，当时，，则 ABC的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．等边， 点 、分别是 、上的点且，连接、 相交于点 ，以下结论：
①；②；③；④；
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．如图，点D为等腰 ABC底边上一点，且，如果，，则 ．
7．数学活动课上，同学们将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，点E，F表示的刻度分别为2，6，则线段的长为 ．

8．如图，已知等边△中，点D是的中点，点E是延长线上一点，且，作，垂足为M，连接，若，则的长度为 ．
9．在等边 ABC中，是边上的中线，点是边上一点，若 BDE为等腰三角形，则 ．
10．如图， ABC是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点．
（1）若设，则 ；（用含的式子表示）
（2）当时，求 ；
（3）在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由 ．
三、解答题
11．如图， ABC是等边三角形，点D是边上一点，延长至E，使．若点D是的中点．
(1)求证：；
(2)延长交于点F，若，求的长．
12．将两个大小不同的含角的直角三角板和按右图所示的方式摆放，的平分线交于点，交于点．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
13．如图，已知，，．
(1)求证：为等边三角形；
(2)若，求的度数．
14．如图1， ABC是等边三角形，延长至点，过点作，交的延长线于点．
(1)求证： ABC是等边三角形．
(2)如图2，延长至点，使得，连接，．求证：．
15．如图，在 ABC中，，且是边上动点（不与重合），点E在边上，连接平分交于点F，连接．
(1)当为等边三角形时，求的度数；
(2)探究与之间的数量关系，并说明理由．
16．如图，已知在等边三角形中，点D、E分别在直线AB、直线上，且．
(1)当点D、E分别在边、边上时，如图1所示，与相交于点G，求的度数；
(2)当点D、E分别在边CA、边的延长线上时，如图2所示，的度数是否变化？如不变，请说明理由．如变化，请求出的度数．
17．如图，点是 ABC内一点，是 ABC外的一点，，，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．
18．如图，在 ABC中，，点、分别从点、点同时出发，沿 ABC的边运动，已知点的速度是，点的速度是，当点第一次到达点时，、同时停止运动．

(1)点、同时运动几秒后，、两点重合？
(2)点、同时运动几秒后，可得到等边？
(3)点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰，如果能，请求出此时、运动的时间．
19．操作探究：已知 ABC是等边三角形，点是边上一点．
(1)如图1，过点作交于点，图中有 个等边三角形；
(2)如图2，点在上运动(不与重合)，点是延长线上一点，且，过作于E，连接交于，试说明：在点运动的过程中，线段的长是定值(即)；
(3)若将条件中“ ABC是等边三角形”改为“ ABC是等腰三角形，”，如图3所示，（2）中的结论是否还成立？请说明理由．
20．（1）在 ABC中，点D，E，F分别在边上，且满足，．
①如图（1），若 ABC为等边三角形，求证：；
②如图（2），若，，且，求的长；
（2）如图（3），在四边形中，，．过点C分别作的垂线，垂足分别为M，N．若，求的值．
参考答案
一、单选题
1．B
解：∵在 ABC中，，
∴，
故选：B．
2．B
等边 ABC中，，
又，
，
．
．
故选：B．
3．C
解：如图，作点B关于直线的对称点，交于点D，过点作于点Q，交于点P，连接，
此时，，，即与的和最小，
∵在 ABC中，，，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
4．B
解：过作交于．
∵ ABC是等边三角形，
∴
，
∴，
∴是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
∵
，
的周长为6，
故选：B．
5．D
解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，故结论①正确；
∵，
∴，
即，故结论②正确；
∵，，
，，
∴，
∵，，
∴，故结论③正确；
∵，
∴，
∴，故结论④正确；
综上，正确的结论有个，
故选D．
二、填空题
6．
解：∵点D为等腰 ABC底边上一点，且，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
7．4
解：由图可知，
∴，
∵直角三角板中，
∴，
∴是等边三角形，
∵点E，F表示的刻度分别为2，6，
∴，
∴，
故答案为4．
8．9
证明：如图，连接．
∵在等边 ABC中，点是的中点，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ BDE为等腰三角形．
又∵，
∴点是的中点，
∴．
故答案为：．
9．或
解：∵ ABC为等边三角形，是边上的中线，
∴，，，
当时，
则，
∴；
当时，
计算得，
∴；
当时，点不在边上，舍去；
综上，或．
故答案为：或．
10． 不变，
解：（1）根据题意可得，，
∵ ABC是边长为的等边三角形，
∴，，
∴；
故答案为：；
（2）在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
（3）当点、运动时，线段的长度不会改变，，
理由如下：
如图：过点作的平行线交于点，

，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
．
故答案为：不变，．
三、解答题
11．（1）证明： ABC是等边三角形，点D是的中点，
，，，
，，
，
，
，
，
；
（2）解： ABC是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
12．（1）证明：由题意，得，．
平分，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
（2）解：由（1）可知，．
∵∠BCF=90 ，，
．
又，
，
，
．
，
．
13．（1）解：证明：∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
（2）解：由（1）得，
又∵，
∴．
14．（1）证明：是等边三角形，
，
，
，，
，
∴ ADE是等边三角形；
（2）证明和 ADE是等边三角形，
，，
，
即，
∵，
∴，
，
，
在和中，
，
．
15．（1）解：为等边三角形，
，
又平分，
，
，
，
，
又，
；
（2）解：．理由如下：
∵，，
，
设，则，
，
，
，
，
平分，
，
．
16．（1）证明：为等边三角形，
,
在和中
,
,
,
,
,
,
,
（2）证明：为等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
17．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：由题意得：，，
∴；
①若，则，即，
∴；
②若，则，即，
∴；
③若，则，即，
∴；
综上，当等于或或时，是等腰三角形．
18．（1）解：设运动时间为秒，、两点重合，则：，解得，
∴点、同时运动9秒时，、两点重合；
（2）解：设运动时间为秒，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴点、同时运动3秒时，可得到等边三角形；
（3）解：如图，∵，
∴，

∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
此时运动的时间为12秒．
19．（1）解：如图1，是等边三角形
，
，
，
为等边三角形，
、是等边三角形，共2个
故答案为：；
（2）线段的长是定值，即，理由如下：
如图，作交于，
是等边三角形
，
，
，
为等边三角形，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
（3）（2）中的结论还成立．
理由：如图3，过点作于，
在 APE与中，
在 PED与中，
20．证明：（1）①∵ ABC是等边三角形
∴，
∵，，
∴，
在 BDE与中，
∴，
∴
②解：在取点G，使得，连接．
同（1）得，
∴，，
∵，且．
∴，
∵，即，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，，．
∵，，
∴，
∴，
∴，解得，
∴．
（2）延长至点E，连接，使得，延长，与交于点F，连接，如图，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴
∴，，
同理可证∶，，
∴，，
∵，
设，，，
则，，，
∵，，，
∴，
∴，，
即，
解得：，
∴．

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