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2.3 一元一次不等式与一次函数
一、单选题
1．一次函数的图象与轴的交点的横坐标为2，与轴的交点的纵坐标为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一次函数的图像经过点和点，正比例函数的图像经过点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是( )
A．关于的方程的解是
B．关于的不等式的解集是
C．当时，函数的值比函数的值大
D．关于，的方程组的解是
5．如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（ ）
A．方程的解是
B．方程的解是
C．关于x的不等式的解集是
D．的解集为
二、填空题
6．已知一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ．
7．如图，函数和的图像交于点，则不等式的解集是 ．
8．一次函数与的图像如图，则关于的不等式的解集为 ．
9．如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论是 ．(填写序号）
10．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：
①；
②；
③不等式的解集是；
④当时，．
其中正确的是 ．

三、解答题
11．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为C．
(1)求一次函数表达式；
(2)点C的坐标为________，不等式的解集为________；
12．如图在平面直角坐标系中，直线与直线交于点P，直线与直线分别与x轴相交于点A、B．
(1)求点P的坐标；
(2)当时，x的取值范围为______；
(3)求的面积．
13．如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点．
(1)分别求出这两个函数的解析式．
(2)求的面积．
(3)根据图象，直接写出不等式组的解集．
14．如图，一次函数和的图象交于点．
(1)求出______；______．
(2)求方程组的解．
(3)请直接写出的解集．
15．在一次函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——绘制函数图象——研究函数性质——运用性质解决问题”的学习过程．类比这种研究函数的一般方法研究函数的性质及应用，请根据下表信息，按要求完成下列各小题．
(1)，___；
(2)请在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)请结合图象判断下列关于该函数的性质说法是否正确(正确的打√，错误的打×)；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴；( )
②当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．( )
(4)在同一平面直角坐标系中再画出函数的图象，结合函数图象，直接写出不等式的解集．
16.阅读、思考与问题解决
下面是小铭在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题：
一次函数与绝对值的奇妙相遇 我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、增减性、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图①所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、三、四象限；③y值随x值的增大而增大；……事实上，一次函数的图象可以看成将直线向下平移2个单位长度得到． 将一次函数的表达式中添加绝对值符号，再向上平移1个单位长度，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． ①列表： x…012345…y…54321234…
③在图②中描点、连线：
(1)请将文中描点、连线的过程补充完整；
(2)请根据图象回答以下问题：
①该函数图象的最低点的坐标是____________；
②当y随x的增大而减小时，x的取值范围是____________；（包括端点）
③关于x的方程的解是____________．
④若的图象与直线只有一个交点，直接写出k的取值范围．
17.小亮根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小亮的探究过程，请补充完成：
(1)当时，；
当时，______；
当时，______；
(2)在平面直角坐标系中画出的图象（无需列表），并根据图像回答：该函数有______（填“最大值或最小值”），这个值为______．
(3)直接写出关于x的方程（k为常数且）的解的个数及对应k的取值范围．
参考答案
一、单选题
1．C
解：∵一次函数的图象与轴的交点横坐标为2，
∴当时，，
又∵由图象可知该一次函数随的增大而增大，
∴当时，，即不等式的解集为；
故选：C．
2．D
解：由图象可得，两直线交点的横坐标为1，
∴当时，的取值范围为，
故选D．
3．B
解：由函数图象可知，不等式的解集为．
故选：B．
4．B
解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，
∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意；
关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意；
当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意；
关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意；
故选：B．
5．C
解：A、直线与轴的交点坐标为，
当时，，
方程的解是，原说法错误，不符合题意；
B、一次函数与的图象交于点，
方程组的解是，原说法错误，不符合题意；
C、观察图象得：当时，一次函数的图象在的图象的上方，
关于的不等式的解集是，正确，符合题意；
D、观察图象得：当时，函数的图象在轴的上方，
的解集为，原说法错误，不符合题意．
故选：C．
二、填空题
6．
解：不等式可以看成一次函数中函数值小于0的部分，
从图中可以看出的范围是．
故答案为：．
7．
解：函数和的图像交于点，
在直线右侧，直线在直线的上方，即，
不等式的解集为．
故答案为：．
8．
解：由图像可得，当时，的图像在的图像的下方，
关于的不等式的解集为．
故答案为：．
9．①③④
解：∵一次函数的图象经过第一、三象限，
∴，所以①正确；
∵一次函数的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交，
∴，
∴，所以②错误；
∵一次函数与的图象的交点坐标为，
∴时，，所以③正确；
把代入得，
解得，
∴一次函数的解析式为，
当时，，
解得：，
∴一次函数与x轴的交点坐标为，
∴当时，，
∴当时，，所以④正确．
故答案为：①③④．
10．②③④
①由图象可知正比例函数的图象从左到右下降，根据正比例函数的性质，当时，图象从左到右下降，所以，故①错误；
②一次函数的图象与轴的交点在轴正半轴，根据一次函数的性质，当时，图象与轴交于正半轴，所以，故②正确；
③不等式的解集是就是正比例函数的图象在一次函数图象上方部分对应的的取值范围，由图象可知，此时，故③正确；
④当时，，，根据有理数乘法法则，异号得负，所以，故④正确；
故答案为：②③④．
三、解答题
11．（1）解：过点，
，
∴，
，
一次函数过点，，
，
解得，
一次函数表达式；
（2）解：把代入一次函数得：，
解得：，
∴一次函数与轴的交点为，
，
根据函数图象可知：不等式的解集为．
故答案为：；．
12．（1）解：∵，
解得，
∴；
（2）解：∵当时，的函数图象在上方，
又∵，
∴；
（3）解：∵，
∴令，则，
∴，
又对于，令，则，
∴，
∴，
∵，
∴．
13．（1）解：由题意，直线和直线相交于点，
，．
，．
直线为，直线．
（2）如图，连接．
直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点，
对于，当时，，当时，，
对于，当时，
，，．
，．
又，
．
（3）由题意得，不等式组的解集是一次函数在下方，且在轴下方部分对应的自变量的取值范围，
结合函数图象可得，．
14．（1）解：由图象可知，两直线的交点为，
把代入，得：，解得；
把代入，得：，解得；
（2）∵两直线的交点为，
∴方程组的解为；
（3）由图象可知：的解集为．
15．（1）∵函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴这个函数的表达式是；
∴当时，，
∴，，
故答案为：，．
（2）函数的图象如图所示：
（3）①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．正确；
②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，正确；
故答案为：√；√；
（4）在同一平面直角坐标系中画出直线与函数的图象，如图
把代入，得，
解得，
把代入，得，
解得，
根据图象可知，不等式的解集是．
故答案为：．
16.（1）解：根据表格，描点，依次连线，如下图，
（2）解：①由函数图象可得，该函数图象的最低点的坐标是，
故答案为：；
②由函数图象可得，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是，
故答案为：；
③
或
解得或，
故答案为：或；
④当时，，将与联立，
得
，
若，
解得，
∵，
∴当时，，则
解得，则其取值范围为；
当时，，则（不满足），无解．
当时，，将与联立，
得
，
若，解得，即恒有一个交点．
若，方程变为，左支与直线重合，有无数交点（不符合题意）；
∴当时，的图象与直线有两个交点，
∴当或时，的图象与直线只有1个交点．
17.（1）解：当时，；
当时，，
当时，.
（2）解：的图象如图所示：
该函数有最大值，这个值为；
（3）解：∵（为常数且）过定点，
当直线与直线平行时，如图，
此时，关于的方程（为常数且）有1个解，
如图，当时，
此时关于的方程（为常数且）有1个解，
如图，当直线过时，
∴，
解得：，
此时关于的方程（为常数且）有1个解，
当时，如图，
此时关于的方程（为常数且）有2个解，
当时，如图，
此时关于的方程（为常数且）无解，
综上：当或时，关于的方程（为常数且）有1个解;
当时，关于的方程（为常数且）有2个解;
当时，关于的方程（为常数且）无解.

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