资源简介

21.1.2多边形及其内角和
一、单选题
1．一个九边形的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
2．一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图，在四边形中，，与的外角平分线交于点，则（ ）
A． B． C． D．
4．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分，部分多边形的三角剖分方法如下图，如：四边形三角剖分得到两个三角形，它的内角和为，用你发现的规律求七边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
5．将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或或
二、填空题
6．如果一个多边形的每个外角都等于，那么这个多边形的边数是 ．
7．如图，直线、分别经过正六边形的顶点、，且，若，则 ．
8．如图，学校里一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其中，则的度数为 ．
9．过a边形的一个顶点有7条对角线，正b边形的内角和与外角和相等，c边形没有对角线，d边形有d条对角线，则代数式 .
10．数学小组就正多边形的拼接与重叠展开研究．
（1）如图-1，用个全等的正六边形进行拼接，使相邻两个正六边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正多边形，则 ．
（2）如图-2，平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边完全重叠在一起，则 ．
三、解答题
11．如下图，已知正五边形，，交的延长线于点．求的度数．
12．（1）一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
（2）一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，这个多边形的边数是多少？
（3）如果一个边形的内角和等于它的外角和，则 ．
13．看下图解答问题．
(1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？
(2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？
14．综合与实践
阅读材料：与三角形类似，多条线段首尾顺次相接就组成多边形．容易发现，三角形是最简单的多边形．小聪同学想，三角形的内角和是，那么四边形、五边形、n边形的内角和会是多少度呢？小聪同学再想一下，能不能把多边形转化为三角形，从而得到多边形的内角和呢？
(1)于是他从四边形开始．如图1，四边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到两个三角形，则四边形的内角和是 ．
(2)如图2，五边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到三个三角形，则五边形的内角和是 ．
(3)如图3，六边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到四个三角形，则六边形的内角和是 ．
(4)如图4，如此类推，n边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到 个三角形，则n边形的内角和是 ．
15．探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
如图甲，、为的两个外角，则与的数量关系 ．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
如图乙，在中，、分别平分和，则与的数量关系 ．
探究三：若将改为任意四边形呢？
已知：如图丙，在四边形中，、分别平分和，则与的数量关系 ．
探究四：若将上题中的四边形改为六边形呢？如图丁则与的数量关系 ．
探究五：如图，四边形中，为四边形的的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，；
（1）如图①，，则 ；（用α，β表示）
（2）如图②，，请在图中画出，且 ；（用α，β表示）
（3）一定存在吗？如有，直接写出的值，如不一定，直接指出α，β满足什么条件时，不存在．
参考答案
一、单选题
1．C
解：多边形内角和公式为，
九边形的边数，
代入公式得：
．
故选：C．
2．A
解：边数．
故选：A
3．A
解：如图，
,，
．
又，
．
与的外角平分线交于点，
，．
．
．
故选：A．
4．B
解：由题意得，七边形三角剖分得到五个三角形，
它的内角和为．
故选：B．
5．D
解：长方形木板锯掉一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形，
则剩下的多边形木板的内角和是或或．
故选：D．
二、填空题
6．6
解：多边形的外角和恒为，每个外角为60°，
因此边数．
故答案为：6．
7．
解：如下图，
正六边形的内角和为： ，
∴正六边形的每个内角，即，
，
，
∵，
，
∴，
故答案为：．
8．
解：五边形内角和为：，
根据图中密铺可得，
，
故答案为：．
9．3
解：∵过边形的一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，边形有条对角线，
，，，
∵，
，
解得，
∵正边形的内角和与外角和相等，
正边形的内角和为，
，
则，
故答案为：3．
10． 6
解：（1）正六边形的每个外角为，每个内角为，
个正六边形围成一圈时，中间正多边形的一个内角为，
中间的正多边形的边数为，
；
故答案为：；
（2）正三角形的内角为，
正方形的内角为，
正五边形的内角为，
正六边形的内角为，
，
．
故答案为：
三、解答题
11．解：五边形是正五边形，
，，
，
，
，
．
．
12．解：（1）设这个多边形的边数为n，
由题意得，，
解得，
故答案为：6．
（2）设这个多边形的边数为n，
根据题意得：
解得．
∴该多边形的边数为9．
（3）这个n边形的内角和为，外角和为，
∴，
解得，
故答案为：4．
13．（1）解：∵边形的内角和是，
∴多边形的内角和一定是的整数倍．
∵，
∴小明说多边形的内角和不可能是．
（2）解：．
，
．
故小华求的是十三边形的内角和，内角和是，多加的那个外角是．
14．（1）解：依题意，四边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到两个三角形，
则四边形的内角和是；
（2）解：∵五边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到三个三角形，
则五边形的内角和是；
（3）解：∵六边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到四个三角形，
则六边形的内角和是；
（4）解：如此类推，n边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到个三角形，则n边形的内角和是
15．探究一：解：为的两个外角，
，，
，
，
故答案为：；
探究二：解：分别平分和，
，，
，
，
，
故答案为：；
探究三：解：如图，延长与交于E点，
根据探究二的结论可得，
，
，
，
故答案为：；
探究四：解：六边形的内角和为：，
分别平分和，
，，
，
即，
故答案为：；
探究五：解：（1）由四边形内角和定理得，
，
由三角形外角的性质得，
分别平分和，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图所示，
同①可得
，
由三角形外角的性质得，
分别平分和，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）由①②结论可得，当时，，即不存在．

展开更多......

收起↑