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21.2《平行四边形》--平行四边形的性质和判定
一、单选题
1．在平行四边形中，若∠A与∠B的度数之比为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平行四边形中，平分交边于点，则线段的长度分别为（　　）
A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4
3．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，点P、Q是平行四边形的边上一点，且，相交于R，连接，且恰好平分，若，则点C到的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
6．如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）．
7．将一张平行四边形纸片折叠成如图所示的图形，为折痕，点的对应点为．若，，则的度数为 ．
8．如图，，，，．若，，则的长为 ．
9．图①是四连杆平开窗铰链，图②是其示意图．已知，，，．当时，窗户为完全开启状态，此时点A到点E的距离为 cm．
10．如图，在中，，将绕点逆时针旋转角得到，连接．当为等腰三角形时，的值为 ．
三、解答题
11．如图，的两条对角线、相交于点，点、分别是、上的中点．连接、．求证：．
12如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，．
(1)求证：；
(2)若，，当时，求的面积．
13．如图，在 ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作交ED的延长线于点F，连接AF．
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．
(2)若， ABC的面积为8，求 CDF的面积．
14．如图，点E在内部，连接AE，BE，CE，DE，分别过点A，D作，．
(1)求证：．
(2)设的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．
15．如图，，，，垂足分别为，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，则____________．
16．如图，的对角线，相交于点，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为．
(1)求的长（用含的代数式表示）．
(2)当四边形是平行四边形时，求的值．
(3)当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值．
17．如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且．
(1)求证：
．
四边形为平行四边形．
(2)过点作，交于点，交于点，连结若，，求的度数．
18．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）．
(1)_________．
(2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值．
(3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
(4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值．
参考答案
一、单选题
1．B
解：四边形是平行四边形，
，，
，
与的度数之比为，
，
，
∴，
，
故选：B．
2．B
解：∵四边形为平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
故选：B．
3．B
解：①∵四边形是平行四边形，
，
又，
∴四边形是平行四边形；
故①能判定四边形是平行四边形，不符合题意；
②时，不能证明，
故②不能判定四边形是平行四边形；
③∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
，
又，
，即，
又，
∴四边形是平行四边形；
故③能判定四边形是平行四边形，不符合题意；
④∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
，
又，
，即，
又，
∴四边形是平行四边形；
故④能判定四边形是平行四边形，不符合题意；
综上所述，只有②不能判定四边形是平行四边形
故选：B．
4．C
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，．
在中：
∴，
∴，．故①②正确．
∵，，
∴，
即，故④正确．
无法确定，故③不正确．
综上所述，正确结论的个数为．
故选：C．
5．D
解：如图所示，过点C作于点E，于点F，
∵平分，，，
∴；
∵四边形是平行四边形，且点P、Q是平行四边形的边上一点，
∴，，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点C到的距离为，
故选：D．
二、填空题
6．（答案不唯一）
解：添加的条件是（答案不唯一）．
理由如下：，，
，即，
又，
∴四边形为平行四边形，符合题意．
故答案为：（答案不唯一）．
7．
解：如图，设与交于点．
由折叠的性质，得，，
．
四边形是平行四边形，
，
．
在中，，
－，
．
故答案为：．
8．130
解：∵且，
∴四边形是平行四边形，
,
过作于，
∵，
∴是等腰直角三角形，则，
，
，
在中，，
故．
故答案为：．
9．28
解：，，
∴四边形为平行四边形，
．
，
．
在中，，，
，
，即点到点的距离为．
故答案为：．
10．1或或
解：①如图 1，当点在上时，
由旋转得，
，
∴是等边三角形，
，，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
∴是等腰三角形，
，
，
∵，
，
；
②如图 2，当点在上时，
，
，
，
∴是等腰三角形，
即当是等腰三角形，时，；
③如图3，是等腰三角形，且，作于点，交于点，
则，
，
，
，
，
，
，
，
由旋转得，
，
，
过点A作，
则，，
，
，
；
综上所述，或或，
故答案为：1或或．
三、解答题
11．证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵点、分别是、上的中点，
∴，，
∴，
∴
即，
在 ADE和 CBF中，
，
∴，
∴．
12．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，
在和 CDF中，
，
∴（AAS）；
（2）解：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴平行四边形的面积．
13．（1）证明：，
．
是的中点，
．
在 CDF和 ADE中，
，
，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
．
，的边上的高与 ABC的边上的高相等，
，
，
．
14．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，同理可得，
在和中：
∴．
（2）解：∵点在内部，
∴，
由（1）知，，
∴．
∵的面积为，四边形的面积为，
∴，
∴．
15．（1）证明：，
，
．
，，
．
在和中：
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：由（1）得四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
，．
，
．
16．（1）解：四边形是平行四边形，
，，
．
在和中：
，
．
由题意得，
．
，
．
（2）解：，
当时，四边形是平行四边形，即，
解得．
故当四边形是平行四边形时，的值为．
（3）解：如图，过点作垂直平分分别交，于点，．
，，
，
．
，
，
易得．
是的垂直平分线，
，．
由勾股定理，得，
即，
（负值已舍去）．
17．（1）证明：，
．
在和中，
同理可证，
．
又，
四边形为平行四边形；
（2）解：，
，
，
，
，
．
，
，
．
18．（1）解：如图，过点作，则，
，，
，，
，
，
．
（2）解：如图，同（1），过点作，则，，
点在的垂直平分线上，
，，
在中，，
则，
化简得，解得．
（3）解：点沿射线运动，
，
四边形是平行四边形，，
，
，
当点未到达点时，即，解得；
当点过点后，即，解得．
故或．
（4）解：如图，当在上时：
根据对称的性质，可知，
，
，
，
，
，
，
解得；
如图，当在延长线上时：
此时，点已过点，延长于点，
根据对称的性质，可知，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得．
故或．

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