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第1章 《三角形的证明》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在 ABC中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．下列条件中，不能判断 ABC是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在 ABC中，，点在边上，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，，点是的中点，，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 ABC中，，是高，，，则的长为（ ）
A．8 B．10 C．6 D．16
6．如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（ ）
A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处
C．三条高线的交点处 D．三条垂直平分线的交点处
7．如图，已知 ABC是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，，交于点F，，若，且，则BE的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．如图，在中，，．分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若的周长为12，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
9．如图，在四边形中，，，与相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．平分 B．是线段的垂直平分线
C．是线段的垂直平分线 D．
10．如图，在 ABC中，，，是的中点，点、分别在边、上，且，以下结论：①；②；③；④；其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．①③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，在 ABC中，，外角，则 °．
12．如图，在 ABC中，，沿直线翻折，使得点与点重合，若，则的度数是 ．
13．如图，在 ABC中，，，，，垂足为，那么 ．
14．如图，在 ABC中，，是边上的中线，且，若，则的度数为 ．
15．如图，已知为 ABC内一点，平分，，．若，，则的长为 ．
16．如图，在 ABC中，，动点从点出发，沿以每秒一个单位长度的速度向终点运动，连接．当点的运动时间为 秒时，与 ABC的一边垂直．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．如图，是 ABC的外角的平分线，且交的延长线于点．
(1)若，，则的度数为__________．
(2)求证：．
18．请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图．
(1)在图1中找一个格点，以为腰，使 ABC为等腰三角形．
(2)在图2中画一个格点，以为底，使 ABC为等腰直角三角形．
19．如图，在 ABC中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接．
(1)求证：；
(2)延长交于点，若．求证：是的中点．
20．我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2．
(1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？
(2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？
(3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想．
21．如图， ABC中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且．
(1)求证：平分；
(2)若，且，则的面积．
22．如图,在中,,点D是上的一点,过点D作,交于点E,延长交的延长线于点F.
(1)写出图中一对相等的角： ；写出图中一对互余的角： ；
(2)求证：；
(3)若,,求的值.
23．（1）如图1，在 ABC中，点在线段上，是的中点，连接与相交于点，若．求证：；
（2）如图2，在中，，，平分，点在线段的延长线上运动，过点作，交于点，交于点，且，请直接写出线段和之间的数量关系．
24．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
(1)若 ABC是“准互余三角形”，，，则_____°；
(2)若 ABC是直角三角形，．
①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由．
②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数．
25．如图， ABC是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D．
(1)若设，则 ；（用含x的式子表示）
(2)当时，求 ；
(3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由 ．
参考答案
一、选择题
1．A
解：∵在 ABC中，，
∴
∵
∴．
故选A．
2．B
解：A、设，则，，
，
是直角三角形，不符合题意；
B、设，则，，
，
解得，
，，，
不是直角三角形，符合题意；
C、，，
，
解得，
是直角三角形，不符合题意；
D、设，则，，
，
是直角三角形，不符合题意；
故选B．
3．C
解：∵与是邻补角，
∴
∵，
∴
在中，，根据两锐角互余：．
故选：C．
4．D
解：∵，点是的中点，
∴是 ABC边上的中线，是边上的高线，是顶角的平分线，
∴，
∴选项B正确，故不符合题意；
∵，
∴，
∴选项C正确，故不符合题意；
又∵，
∴，
∴选项A正确，故不符合题意；
由题干条件无法说明，
∴选项D不正确，故符合题意；
故选：D．
5．D
解：∵是高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：D．
6．D
解：A．三角形中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离是到对边中点的2倍，不符合题意；
B．三角形角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，不符合题意；
C．三角形高的交点为垂心，不符合题意；
D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形的各顶点距离相等，符合题意．
故选D．
7．A
解：如图，过点D作交于点Ｈ．
∵ ABC是等边三角形，
∴
∵
∴，
∴是等边三角形
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴
∵是等边三角形，
∴
∴
∴
设
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴．
故选：A．
8．B
解：根据作图得到，是线段的垂直平分线，
∴，
∵以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵的周长为12，即，
∴，
∴，
故选：B ．
9．C
解：∵，，，
∴，
∴平分和，
∴，，
∵，，
∴，
同理，
∴，
∴O是的中点，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
故选C．
10．B
解：，，
为等腰直角三角形，
．
是的中点，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
故①符合题意；
∵
，
，
故②符合题意；
，
，
∵
∴是等腰直角三角形，
，
∵
∴只有时， BDE是等腰直角三角形，
∴
∴，
此时，
但不一定互相垂直，故③不符合题意；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故④符合题意；
故选：B．
二、填空题
11．
解：，
，
，
．
故答案为：．
12．
解：∵在 ABC中，，，
∴，
∵沿直线翻折，使得点A与点B重合，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13．4
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4
14．
解：∵，是边上的中线，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴
故答案为：．
15．
解：延长交于点，
∵平分，，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．或4或
解：设点的运动时间为秒，则，
过点作，
∵在 ABC中，，
∴，
∴，
当时，点与点重合，
此时，，
∴秒；
当时，如图，
则，
即，
解得：秒；
当时，如图，
则，
即，
解得：秒；
综上，当点的运动时间为或4或秒时，与的一边垂直．
故答案为：或4或．
三、解答题
17．（1）解：∵，
∴
∵CE平分
∴
∴．
（2）解：证明：平分，
．
，
．
，
．
18．（1）解：找一个格点，以为腰，使，则 ABC为等腰三角形．
（2）在图2中画一个格点，以为底，使， ABC为等腰直角三角形．
理由：∵，
∴，
∴ ABC是等腰直角三角形．
19．（1）证明：是的垂直平分线，
，
∵DB=DC，
，
；
（2）证明：如图所示，
，，
∴点A和点D都在线段的垂直平分线上，即垂直平分，
∴是的中点．
20．（1）解：通过、、的拼接，发现；
（2）猜想：三角形内角和为；
（3）延长，过点C作，如图所示：

∴，
∵，
∴．
21．（1）证明：作于点L，交的延长线于点M，
∵点D在边延长线上，的平分线交于点E，于点H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
（2）解：∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为15．
22．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
故写出图中一对相等的角可以写（答案不唯一），写出图中一对互余的角可以写与互余（答案不唯一）．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
设，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
23．解：（1）延长，取，连接，如图所示：
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）延长，使，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
24．（1）解：∵，，且 ABC是“准互余三角形”，
∴，
即
∴，
故答案为：22；
（2）①是“准互余三角形；
理由：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴是“准互余三角形”；
②∵点E是边上一点，是“准互余三角形”，
∴或，
∵，
∴或，
∴或，
当，时，，
当，时，，
∴的度数为：或．
25．（1）解：∵ ABC是边长为6的等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：依题意得：，
当时，设，
∴，，
在中，，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：8；
（3）解：线段的长不发生变化，始终等于3，理由如下：
过点P作，交于点H，如图所示：
∴，，，
∴，
∴ APH是等边三角形，
∴，
∵于点E，
∴，
∴，
又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：线段的长不发生变化，始终等于3．

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