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第二章《不等式与不等式组》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列判断不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知点位于第一象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．某超市花费2500元购进草莓100kg，销售中有10%的正常损耗．为避免亏本（其他费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克x元，根据题意所列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．定义一种法则“”如下：，例如：．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．关于的方程的解是自然数，且关于的不等式无解，则不符合条件的整数的值（　　）
A． B．1 C．3 D．
9．如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（ ）
A．方程的解是
B．方程的解是
C．关于x的不等式的解集是
D．的解集为
10．已知关于x、y的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，x、y的值互为相反数；③若，则；④的最大值为11；其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．若不等式的解集为，则的取值范围是 ．
13．已知三根小棒的长分别是，，，若这三根小棒首尾相连能构成三角形，则正整数的值可以为 ．（写出一个即可）
14．某班道法课上进行了普法知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得5分，不答一题得0分，答错一题扣2分，在本次竞赛中小明有1道题没答，最终成绩获得优秀（不低于90分），那么小明至少答对了 题．
15．已知关于x的不等式组有解、则a的取值范围是 ．
16．若关于的一元次不等式组的解集为，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的积为 ；
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．（1）解不等式，并把它的解集表示在如图所示的数轴上．
（2）解一元一次不等式组：，并求该不等式组的整数解．
18．如图，在数轴上，点A，B分别表示数，，且点A在点B的左侧．
(1)求m的取值范围．
(2)数轴上表示数的点C应落在__________________（填“点A的左侧”“线段AB上”或“点B的右侧”）．
19．如图①，一个容量为的杯子中装有的水，将5颗大小相同的玻璃球放入这个杯子中，结果水没有满，如图②所示．
(1)设每颗玻璃球的体积为，列出x满足的不等式．
(2)已知每放1颗玻璃球水面上升，若使水不溢出杯子，求玻璃球颗数的取值范围．
20．已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D．
(1)求A，C两点的坐标；
(2)若，则x的取值范围是 _______；
(3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集．
21．已知关于x，y的方程组．
(1)若方程组中x为非正数，y为负数，求a的取值范围，并写出a的最小整数解；
(2)若，求y的取值范围．
22．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 220
3 2 310
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
(1)求A，B两种型号智能机器人的单价．
(2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过620万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？
23．对，定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
已知，：
(1)求的值；
(2)若关于的不等式组恰好有4个整数解，求实数的取值范围．
24．随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车，新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车2辆，型公交车3辆，共需360万元；若购买型公交车3辆，型公交车1辆，共需260万元．
(1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？
(2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次．公司准备购买10辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过650万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
25．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
(1)请判断是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由；
(2)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．A
解：A. ，是一元一次不等式；
B. ，有两个未知量，不是一元一次不等式；
C. ，有两个未知量，不是一元一次不等式；
D. ，未知量的次数为，不是一元一次不等式；
故选：A．
2．C
解：A、若，则（不等式两边乘以同一个负数，不等号的方向改变），则此项正确，不符合题意；
B、若，则（不等式两边减去同一个数（或式子），不等号的方向不变），即，则，则此项正确，不符合题意；
C、当时，，则，
当时，，则（不等式两边乘以同一个正数，不等号的方向不变），
综上，此项不正确，符合题意；
D、∵，，
∴，
∴（不等式两边除以同一个正数，不等号的方向不变），则此项正确，不符合题意；
故选：C．
3．D
解：，
解①得：，
解②得：，
不等式组的解集为：，
不等式组的解集在数轴上表示为：
故选：D．
4．A
解：∵点P在第一象限，
∴，，
由，
得；
由，
得，
即；
∴m的取值范围为
故选：A．
5．D
解：，
一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，
，，
，，
故选：D．
6．A
解：根据题意得：．
故选：A．
7．D
解：，
，
，
.
故的取值范围是.
故选：D．
8．D
解：∵方程得，
且为自然数，
，且为偶数，
，且为奇数，
解不等式组
解不等式①得，
解不等式②得，
∵不等式组无解，
，
，且为奇数，
，
验证：时；时；时，均为自然数，
∴符合条件的整数的值为，
故不符合条件的整数的值为，
故选：D．
9．C
解：A、直线与轴的交点坐标为，
当时，，
方程的解是，原说法错误，不符合题意；
B、一次函数与的图象交于点，
方程组的解是，原说法错误，不符合题意；
C、观察图象得：当时，一次函数的图象在的图象的上方，
关于的不等式的解集是，正确，符合题意；
D、观察图象得：当时，函数的图象在轴的上方，
的解集为，原说法错误，不符合题意．
故选：C．
10．D
解：∵ 方程组为 ，
用得：，
∴ ，
代入⑥得：，
∴ ，
∴ 方程组的解为 ．
对于结论①：给定解为 ，与上述解不符，∴ ①错误；
对于结论②：当 时，，，
∴ ，，互为相反数，∴ ②正确；
对于结论③：∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，
则 ，当 时 ，当 时 ，∴ ，∴ ③正确；
对于结论④：，
∵ ，∴ 当 时 ，最大值为11，∴ ④正确；
综上，②③④正确，
故选：D．
二、填空题
11．
解：由题意，得，
解得．
故答案为：．
12．
解：
不等号右侧整理可得
已知不等式的解集为
观察解集与原不等式可得：
解得
故答案为：．
13.2（答案不唯一，如3、4等均可）
解：三根小棒的长分别为 、、，为正整数，故 为最长边，
根据三角形三边关系（两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度），需满足 ，即 ，
解得 ，
由于 为正整数，因此 ，可取 ．
故答案为： 2（答案不唯一，如3、4等均可）．
14．22
解：设小明答对了题，则答错了题（因为有1题没答，共答了29题）．
根据得分规则，得分为，且不低于90分，
即：，
化简得：，
解得：，
由于为整数，因此．
故小明至少答对了22题．
15．
解：解不等式，得；
解不等式，得；
由于不等式组有解，
则．
故答案为：．
16．10
解：解第二个不等式 ，得 ，
解第一个不等式 ，得 ，
由于不等式组的解集为 ，故 ，解得 ，
解方程 ，得，
由y为非负整数，得
且为整数，
故 且 是3的倍数，
即 且 是3的倍数，
结合 且m为整数，得 ，
设 （k为非负整数），则 ，即 ，
要求m为整数，故 为偶数，即k为奇数，
代入 ，得 ，即 ，解得 ，
k为非负奇数，故或3，
当时，；
当时，，
验证y值：当时，；当时，，均为非负整数，
故符合条件的整数m为2和5，积为 ，
故答案为：10
三、解答题
17．（1）解：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为1得：，
在数轴上表示如下：
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴整数解有：．
18．（1）解：由题意，得，
∴．
（2）解：点的右侧
∵由（1）可知，
∴，
∴，
∴点在点的右侧．
∵，
∴，
∴点在点的右侧．
19．（1）解：由题意，得．
（2）解：设可以放颗玻璃球．
由题意，得，
解得．
∵玻璃球颗数不能为负数，
∴．
故玻璃球颗数的取值范围为．
20．（1）解：∵直线：与直线：相交于点，
∴把代入，
得，
解得：，
把代入，
得，
解得：，
∴直线：，
当时，则 ，
解出，
∴；
（2）∵直线：，，
∴当时，x的取值范围是；
（3），
即，
根据图象，此时的不等式的解集为．
21．（1）解：解方程组得：，
∵x为非正数，y为负数，
∴，解得：，
∴a的最小整数解为；
（2）解：由（1）可得：，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
即．
22．（1）解：设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元，
由题意得：，
解方程组得：，
答：A型智能机器人的单价为70万元，B型智能机器人的单价为50万元．
（2）解：设购进A型台，则B型为台，
由题意得：，
解不等式组：，
∴，又为整数，
∴或6，
当时，，即A型5台，B型5台；
当时，，即A型6台，B型4台．
答：共有两种购买方案：方案一：A型5台，B型5台；方案二：A型6台，B型4台．
23．（1）解：，，
由新定义运算可得，
，，
联立得，
由得：，
解得：；
将代入②得，
解得；
；
（2）解：由（1）知，
，
根据新定义运算可得，
①，
②，
解①得；
解②得；
关于的不等式组有解，
，
关于的不等式组恰好有4个整数解，
，
解得．
24．（1）解：设购买A型新能源公交车每辆需x万元，B型新能源公交车每辆需y万元，
由题意得，，
解得，
答：购买A型新能源公交车每辆需60万元，B型新能源公交车每辆需80万元；
（2）解：设购买A型新能源公交车m辆，年均载客总量为W万人次，
由题意得，，
∵总费用不超过650万元，
∴，
解得，
∴，且m为整数，
∵，
∴W随m增大而减小，
∴当时，W有最大值，最大值为，
此时，
答：购买A型新能源公交车8辆，B型新能源公交车2辆，年均载客总量最大，最大为760万人次．
25．（1）解：不是不等式组的“相依方程”，理由如下：
，
，
解得，
，
由①得：，
解得，，
由②得：，
，
，
，
，
∴，
∵不在的范围内，
∴不是不等式组的“相依方程”；
（2）解：，
，
，
，
，
解不等式组：，
由①得，
由②得，
∴不等式组的解集是，
∵不等式组有两个整数解，
∴，
解得，
∵方程是不等式组的“相依方程”，
∴，
解得，
∴；
（3）解：，
解得，
，
由①得，
由②得，
①当时，，
∴，
∵方程是关于x的不等式组的“相依方程”，
∴，
解得或；
∴此情况下k的取值为，
②当时，，
此时，即或，
不等式组的解集为，
∴，
解得或，
∴此情况下k的取值为，
③当时，无解，不合题意，
综上所述：或．

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