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第一章 《三角形的证明》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在 ABC中，，若，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7.5 D．10
2．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．如果，，那么
C．全等三角形的对应角相等 D．等腰三角形的两个底角相等
3．如图，直线，等边 ABC的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 ABC中，是边的垂直平分线．若，，则的周长为（ ）
A．18 B．20 C．26 D．21
5．如图， ABC中，，D为延长线上的一点，于点E，，则为（ ）
A． B． C． D．
6．如图， ABC是等边三角形，是的平分线，延长到，使，则的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
7．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，平分交于点，过点作交于点，且平分，若，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
9．已知等腰三角形的周长为30，则下列结论中错误的是（ ）
A．当时， ABC的形状、大小唯一确定
B．当时， ABC的形状、大小唯一确定
C．当时， ABC的形状、大小唯一确定
D．当边上的高为12时， ABC的形状、大小唯一确定
10．如图，在 ABC中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．则下列结论错误的是（ ）
A．是的角平分线 B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在 ABC中，如果，那么 度
12．如果一个多边形的每个外角都等于，那么这个多边形的边数是 ．
13． ABC中，是两内角平分线的交点，；到的距离是 ．
14．如图，为 ABC内一点，平分，，，若，，则 ．
15．如图，在 ABC中，，点P、A分别位于直线异侧，连接，，，当，时，则的长为 ．
16．我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”．如图，，点G在射线上，若存在“等腰线段”，则的度数为 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．已知是 ABC的三边长，．
(1)求的取值范围．
(2)若 ABC是等腰三角形， ABC的周长是多少．
18．如图，在中，，平分交于D 点，且D 点在线段的垂直平分线上．
(1)求的度数；
(2)当时，求的值．
19．如图，在 ABC中，，，是边上的两点，并且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
20．如图，在 ABC中，的垂直平分线分别交于点，且，作交于点．
(1)若，求的度数．
(2)若，，求的长．
21．如图， ABC是等边三角形，是 ABC的高，延长至，使，连接，过点作于点．
(1)求证：；
(2)若 ABC的周长为12，求的长．
22．如图，平分，于C，于D，连接，交于点F．
(1)求证：；
(2)求证：垂直平分线段；
(3)若，，之间有何数量关系？证明你的结论．
23．如图①，是 ABC的一个外角，为的角平分线，为的角平分线，且、相交于点D．

(1)猜想与的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，若的角平分线交于点O，，求的度数．
24．综合与实践
【建立模型】
（1）如图（1）， ABC为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接交于点求证：
【应用模型】
（2）①如图（2），在 ABC中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，求证：
②如图（3）， ABC和 ADE都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接若，，求的面积．
25．定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．
【定义理解】
（1）由定义可知，“类直角三角形”一定是______三角形．（从“钝角”或者“锐角”中选填一个）
（2）如图1，在 ABC中，，是边上的中线，平分，与交于点，求证：是“类直角三角形”；
【定义运用】
（3）如图2，已知 ABC是直角三角形，，
①若是边上一点，是“类直角三角形”，则的度数为______．
②若是边上一点，是“类直角三角形”，则的度数为______．
【问题拓展】
（4）如图3，在中，，，．边上有一点，使得是“类直角三角形”，直接写出的长度．
参考答案
一、选择题
1．D
解：在 ABC中，，
则．
故选：D．
2．D
解：选项，逆命题为“如果两个角相等，那么它们是同位角”，该命题假，因为相等的角不一定是同位角，不符合题意，选项错误；
选项，逆命题为“如果，那么且”，该命题假，因为时和可能同负，不符合题意，选项错误；
选项，逆命题为“如果两个三角形的对应角相等，那么它们全等”，该命题假，因为对应角相等的三角形不一定全等，不符合题意，选项错误；
选项，命题“如果一个三角形有两个角相等，那么它是等腰三角形”，该命题真，因为等角对等边，符合题意，选项正确．
故选：．
3．B
解：∵ ABC是等边三角形，
∴，
∵，
，
故选：B．
4．D
解：∵是边的垂直平分线，
∴，
∴的周长为．
故选D．
5．A
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
故选：A．
6．C
解：是等边三角形，，
，
∵BD是的平分线，
，
，
，
，
故选：C．
7．D
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选： D．
8．C
解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵平分，，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴．
故选：C．
9．A
解：∵ 是等腰三角形，周长为30，
A：当时：
若是顶角，则底角为，三角形唯一；
若是底角，则另一底角为，顶角为，三角形也满足周长30，
∴ 有两种可能三角形，形状大小不唯一确定，选项A错误；
B： 必为顶角，唯一确定，选项B正确；
C： 时，则为底边，腰为13，唯一确定，选项C正确；
D： 边上的高为12时，得图：
①∴，和为等腰三角形的腰，
设，则，
根据勾股定理：，
解得，
则等腰三角形中，，
②∴，和为等腰三角形的腰，
则，，，
因为三角形周长为30，这种情况三角形不存在，唯一确定，选项D正确；
故选：A．
10．D
解：由作法得是的平分线，故A选项的结论正确，不符合题意；
，，
，
，
，
，故B选项的结论正确，不符合题意；
，
，
，
，故C选项的结论正确，不符合题意；
设，则，
，，
，
解得（负值已舍去），
，
即，故D选项的结论错误，符合题意．
故选：D．
二、填空题
11．
解：，
可以假设：，，
，
，
，
，
故答案为：20．
12．6
解：多边形的外角和恒为，每个外角为60°，
因此边数．
故答案为：6．
13．
解：如图，过点作于，于，于，连接，
∵是两内角平分线的交点，
∴平分，
∴，
∵，，
∴ ABC是直角三角形，且，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴到的距离是．
故答案为：
14．11
解：延长交于点，如图，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：11．
15．
解：过点作，交的延长线于点，如图，
则，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，，
，，
，
在中，
由勾股定理，得，，
设，则，
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得，
在中，
由勾股定理，得．
故答案为：．
16．或或
解：①如图，当时，
此时，
是的“等腰线段”，
，
；
②如图，当时，
是的“等腰线段”，
，
；
③如图，当时，
此时，
是的“等腰线段”，
，
；
综上所述：若存在“等腰线段”，则的度数为或或，
故答案为：或或．
三、解答题
17．（1）解：∵是 ABC的三边长，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴c必须与a或b相等，
当时，满足，即此时能构成三角形，
∴此时的周长；
当时，满足，即此时能构成三角形，
∴此时 ABC的周长；
综上所述， ABC的周长是15或18．
18．（1）解：∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．（1）证明：，，，
，，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
由（1）得，
，
，
∴ ADE是等边三角形，
，
，
，
，
同理可得：，
．
20．（1）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
由（）知，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴．
21．（1）证明：∵ ABC是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
22．（1）证明：∵平分，于C，于D，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，平分，
∴，，
∴垂直平分线段；
（3）解：，
证明：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23．（1）解：，理由如下：
∵为的角平分线，为的角平分线
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵为的一个外角，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
在中，，
由（1）得，
∴．
24．（1）证明：如图1，和是等边三角形，
，，，
，
≌，
；
（2）①证明：平分，
，
，，
≌，
，
，，，
，
，
，
，
；
②解：如图3，设，
是等腰三角形，，，
，
由①同理得：≌，
，，
，
，
，
，
，
25．解：（1）设三角形的第三个内角为，由三角形内角和可知：，
∵该三角形是“类直角三角形”，
∴，
∴，
∴，即，
∴该三角形一定是钝角三角形，
故答案为钝角；
（2）证明：∵，是边上的中线，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴是“类直角三角形”．
（3）解：①如图，
∵，，
∴，
∵是“类直角三角形”，
∴，由于，所以不成立，
∴，
∴；
故答案为．
②如图，
∵，，
∴，
∵是“类直角三角形”，
∴或，
∴或，
∴或；
故答案为或．
（4）解：如图，
∵，，，
∴，
∵是“类直角三角形”，
∴或，
情形一：当时，过点E作于点F，如图所示：
∵，
∴，
∴点在的角平分线上，
∵，，
∴，
方法一：，
∴，
∴，
∴．
方法二：设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，解得：，
∴；
情形二：当时，
方法一：在上面找一点，连接，使得，延长至，使得，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴；
方法二：作点关于的对称点，连接、，并延长交于点．
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵点、点关于对称，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
利用等积法可得：，
∴，
在中，，
设，在中，，
∴，
在中，．

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