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1.2《等腰三角形》
一、单选题
1．在等腰 ABC中，若，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．
2．若等腰三角形的顶角为，腰长为，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 ABC中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.25
4．约公元前五世纪由古希腊人提出来的“三等分角”，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 ABC中，，，于点D，于点E，与相交于点F．给出下面三个结论：①；②；③．所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
6．在 ABC中，，则 ．
7．如图，等腰三角形 ABC中，，在上取一点，使，过点作交于点，过点作交于点E，交于点．若，则 °．
8．如图，在 ABC中，，，点为的中点，点为延长线上一点，连接交于点，过点作，与的延长线相交于点，若，，的面积是36，则的长为 ．
9．如图，在 ABC中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接．当是以为腰的等腰三角形时，的度数为 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ．
三、解答题
11．如图， ABC中，，的平分线交于，交的延长线于点，交于点．
(1)若．求的度数；
(2)若，，求的长．
12．如图，已知：在中，，平分（为外一点），．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)如果，求证：．
13．如图，在 ABC中，的平分线交于点D，过点D作交于点E．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的度数．
14．在 ABC中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，∠EAC=90 ，连接，交于点，交于点．
(1)若，则__________°；
(2)判断 BCF的形状，并说明理由：
(3)求证：
15．如图，在 ABC中，是边上的高线，平分，、相交于，连接．
(1)如图若，求的度数．
(2)如图若，判断 APE的形状，并说明理由．
(3)在的条件下，若，．求的长度．
16．已知， ABC中，，点D，E分别在，边上(不与、重合)，且．
(1)如图1，若，则___________；若平分，则的度数为___________．
(2)如图2，若，且点是边上的任意一点．
①当时，求证：；
②求证：的度数为定值．（定值是指在某个变化过程中，始终保持不变的量或数值）
(3)如图3，若，当等于多少度时，是等腰三角形？
参考答案
一、单选题
1.A
解：∵ ABC是等腰三角形，且为钝角，
∴ 是顶角，，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
2．B
解：∵ 等腰三角形顶角为，腰长，
∴ 底角．
作高，则；
在中，，
∴（角邻边为斜边的），
∴.
故选：B．
3．A
解：在 ABC中，，
，
，
，，
，
又，
，
，
∵，
，
．
故选：A．
4．A
解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
故选：A．
5．D
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∵，
∴，
∴，故③正确，
∴所有正确结论的序号是①②③，
故选：D．
二、填空题
6．4
解：∵
∴，
故答案为：4．
7．62
解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴．
故答案为：62．
8．8
连接，
在 ABC中，，，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
在 BDF和 ADE中，
，
，
，
，
，
，
∵
,
∴，即，
解得．
故答案为：8．
9．或
解：，，
．
∵和关于直线对称，
∴，，
∴
∵的平分线交于点，
∴
又∵
∴
∴
∴，
当时，，
当时，，
故答案为：或．
10．或或
解：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时，如图，
在中，，，
∴，
∴P的坐标是；
②以D为圆心，以5为半径画弧交于和点，此时，如图，过作于N，过作于M，
由作图可知四边形和四边形为长方形，
∴，，，，
在中，设，则，，，
∴，
解得，
则的坐标是；
设，则，，，
在中，，
解得，
，，
即的坐标是；
③假设，则由点向OD边作垂线，交点为，如图，
则有，
，
此时的为等边三角形，
∴，，，
代入，
得，
∴排除此种可能．
综上所述，点P的坐标为或或．
故答案为：或或．
三、解答题
11．（1）解：，，
，
∵BD平分，
，
，
，
．
答：的度数为．
（2），，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
答：的长为4．
12．（1）证明：∵，平分，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，
即是等腰三角形．
（2）证明：过点作，垂足为点．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
在 ADE和中，
∵
∴．
∴．
∴．
13．（1）证明：∵是的平分线，
，
，
，
，
，
∴是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
，
．
14．（1）解：在 ABC中，，，
在等腰直角中，∠EAC=90 ，，
，
∵∠BAE=∠BAC+∠CAE=50 +90 =140 ,∠ABE=∠AEB，
∴∠AEB=∠ABE=（180 -140 ）÷2=20 ；
（2）解： BCF是等腰直角三角形，理由如下：
在 ABC中，，是的中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
∴∠ABF=∠ACF=∠AEB，
∴∠BFC=∠FCE+∠FEC=∠ACE+∠ACF+∠FEC=∠ACE+∠AEB+∠FEC=180 -90 =90 ，
是等腰直角三角形；
（3）证明：由（2）知，
，
∴∠CFG=180 -90 =90 ，
在中，，
，
∵CE2=AC2+AE2=2AC2，
．
15．（1）解：，
，
，
，
平分，
，
在中，，
又，
，
；
（2）解：是等腰三角形，
理由如下，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
是的外角，
，
是的外角，
，
，
，
是等腰三角形；
（3）解：，
，
由可知是等腰三角形，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
平分，
，
又，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，，
如下图所示，过点作，
，
，
在中，，
，
在中，．
16．（1）解：若，则，
∵，
∴；
∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：60；60．
（2）证明：①∵，
∴，
在和中，
，
∴．
②∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为定值．
（3）解：∵，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
则分以下两种情况：
①当时， ADE是等腰三角形，
∴，即，
解得，
∴此时；
②当时， ADE是等腰三角形，
∴，即，
解得，
∴此时；
综上，当等于或时， ADE是等腰三角形．

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