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第1章《三角形的证明》--线段的垂直平分线与角平分线
一、单选题
1．如图，在 ABC中，∠B=90 ，的平分线交于D．若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．20
2．如图，四边形中，平分，过点作于点，若，则的值为（ ）
A．7 B． C． D．9
3．在锐角内一点P，且点P到 ABC三边的距离相等，则点P是 ABC的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．重心
C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点
4．如图，在 ABC中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，的平分线交于点F．若，则的长与的度数分别是（ ）
A．4， B．3， C．4， D．3，
5．如图，在 ABC中，，D为的中点，，交于E，F为上一点，且．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④，其中正确的结论个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6． ABC中，是两内角平分线的交点，；到的距离是 ．
7．如图，在中，，，垂直平分交于点，，则 ．
8．如图，在中，，点D在的外部，连接，过点D作，交的延长线于点E，于点F，若．则的度数为 ．
9．如图，在 ABC中，，的平分线交于点，点是上一点，过点分别作，的垂线，垂足为，，若，，则 ABC的周长为 ．
10．等腰 ABC中，，边的垂直平分线交边于点D，连接，若为等腰三角形，则的度数为 ．
三、解答题
11．如图，在 ABC中，为线段的中点，，的垂直平分线交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
12.已知：如图， ABC中，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
13.已知：如图 ABC中，O是的中点，D是的角平分线上一点，且，过D作于E点，于F点．
(1)连接，求证：所在直线是的垂直平分线；
(2)求证：；
(3)判断之间的数量关系，并说明理由．
14.如图，在四边形中，，点为的中点，且平分．
(1)求证：是的平分线．
(2)若，求 ADE的面积．
15.如图，在 ABC中，直线，分别是边，的垂直平分线，交于点，，且直线，交于点，连接，，，．
(1)求证：点在的垂直平分线上；
(2)若，求的度数．
16.已知 ABC，是 ABC的外角的平分线，是 ABC的外角的平分线，，相交于点．
(1)如图，求证：点到三边，，所在直线的距离相等；
(2)如图，连接，若，求的度数．
17.【问题提出】
（1）如图1，在 ABC中，，点D是边上一点，连接．
①若，则的度数为_______°；
②若平分，，求证：点B在线段的垂直平分线上．
【问题解决】
（2）如图2，四边形是某公园中的一片花海，在B处有一座观景台，在C处有一座凉亭，是两条小路，现要对这片花海进行扩建，将分别延长交于点E，得到扩建后的花海为 ADE，并在E处设立游客服务中心．已知平分，，，，求凉亭到游客服务中心的距离．（观景台、凉亭和游客服务中心的大小及小路的宽度均忽略不计）
18.【活动初探】
在学习数学活动时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系
（1）如图1，在 ABC中，，点为中点，于点，于点F，请直接写出与的数量关系： ．
【变式再探】
（2）如图2，在 ABC中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为中点．
【类比深探】
（3）在 ABC中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），，连接．如图3，当点F在点A上方时，猜想并证明的数量关系．
参考答案
一、单选题
1．C
解：过点D作于H，如图：
∵，平分，
∴．
由勾股定理得．
∴，
∴，
∴，
，
∴，
故选：C．
2．D
解：过点D作交延长线于E，
∵平分，过点作于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
3．A
解：∵点P到 ABC三边的距离相等，
∴点P是 ABC三条角平分线的交点，
故选A．
4．C
解：∵，，
∴，
∵是的中垂线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵平分，
∴，且，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴．
故选C．
5．D
解：如图，连接，作点F关于的对称点，设，
对于①：∵D为的中点，，
∴是的垂直平分线，
由垂直平分线的性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
对于②：∵，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，故②正确；
对于③：由轴对称的性质可知，，，，
∵，
∴，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，故③正确；
对于④：由轴对称的性质可知，，
∵，
∴，
∴
∵D为的中点，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，①②③④均正确．
故选：D．
二、填空题
6．
解：如图，过点作于，于，于，连接，
∵是两内角平分线的交点，
∴平分，
∴，
∵，，
∴ ABC是直角三角形，且，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴到的距离是．
故答案为：
7．
解：∵垂直平分交于点，，，
∴，．
∵是的外角，
∴．
∵在中，，，
∴．
故答案为：．
8．52
解：，，，
平分，
∵，
∴，
，
故答案为：52．
9．16
解：如图所示，过点P作于点H，连接，
∵的平分线交于点，点是上一点，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴ ABC的周长
，
故答案为：．
10．或
解：∵点D在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
若，则，
∵，，
∴，矛盾，故不可能；
若，则，
在中，
，即，
∴，
又，，
∴，
解得；
若，则，
又，
∴，，
解得，
综上，为或，
故答案为：或．
三、解答题
11．（1）证明：连接，如图所示：
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵D为的中点，
∴为等腰三角形底边上的中线，
∴，
即；
（2）解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
12.（1）证明：连接，如图所示：
平分，，，
，
垂直平分，
，
，
；
（2）解：由（1）可知 ，
，
平分，
，
，，
，
又，
，
，
．
13.（1）证明：O是的中点，
，
，
，
，
，
，
所在直线是的垂直平分线；
（2）证明：D是的角平分线上一点，，，
，
∵DB=DC，
，
，
，
；
（3）证明：，理由如下：
，
，
，
，
，
．
14.（1）证明：过点E作于点F，如图所示：
∵平分，∠B=90 ，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴点E在的角平分线上，即是的平分线．
（2）解：由（1）可知：，
又∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
15.（1）证明：连接．
∵直线，分别是边，的垂直平分线，
∴，，
∴．
∴点在的垂直平分线上．
（2）解：∵，
∴．
∵直线，分别是边，的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴．
∴．
16.（1）证明：过点分别作，，，垂足分别为，，．
∵是 ABC的外角的平分线，是 ABC的外角的平分线，
∴，，
∴，
∴点到三边，，所在直线的距离相等．
（2）解：由得，
∴．
∵是 ABC的外角的平分线，是 ABC的外角的平分线，
∴，．
在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
17.解：（1）①∵，，
∴，
故答案为：70；
②证明：，，
平分，
，
，
点B在线段的垂直平分线上
（2）在上取，连接，设．
，
．
在和中，，，，
．
，，
，
．
，
，
．
，
，即，
解得，
，，
，
，
∴，
，即凉亭到游客服务中心的距离为．
18.解：（1）∵，点为中点，
∴平分，
∵于点，于点，
∴；
（2）∵，
∴．
∵和分别为等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴点G在的垂直平分线上，
∵，
∴点A在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴点为中点．
（3），证明如下：
如图所示，在上截取，连接，
∵ ，
∴，
∴；
∵点为中点，
∴，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

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