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安徽省天长中学等校2025-2026学年高二上学期期末质量检测
数学试题（B）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则等于( )
A. B. C. D.
2.若圆锥的母线长为，高为，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
3.已知直线，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为( )
A. B. C. D.
5.在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆，圆，若与有且仅有条公切线，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知的三个内角所对的边分别为的面积为，角的平分线交边于点，且，则为( )
A. B. C. D.
8.已知圆的直径，动点与的距离是它与的距离的倍，当面积最大时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列命题正确的有( )
A. ，，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，则
10.已知直线，点为圆上一点，则( )
A. 直线与圆相离
B. 点到直线距离的最小值为
C. 与圆关于直线对称的圆的方程为
D. 平行于且与圆相切的两条直线方程为和
11.如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的有( )
A. 直线与平面所成角的正弦值为
B. 点到直线的距离为
C. 直线与直线是异面直线
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知三棱锥中，平面的一个法向量为，若，则向量在法向量上的投影向量为 ．
13.已知直线与圆相交于，两点，则线段中点的坐标为 ．
14.已知所对的三边为，，，且满足，则的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：，过原点引圆的两条切线，，切点分别为，，其中直线的倾斜角大于直线的倾斜角．
求，的方程；
求四边形的面积．
16.本小题分
已知中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，求的值．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，．
求证：为直角三角形；
若，求平面与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知圆过两点，且圆心在直线上
求圆的标准方程；
求过圆心且在轴，轴上截距相等的直线的方程；
若直线的横截距为，纵截距为，且直线被圆截得的弦长为，求的最小值．
19.本小题分
在三棱锥中，．
若平面平面．
求证：；
三棱锥的各个顶点都在球的表面上，求球的半径；
若二面角的余弦值为，求的长．
参考答案
1.
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9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，
得，圆心，半径，
设过原点的切线方程为，即，
圆心到直线的距离为，
解得或，
因此，两条切线方程为，；
易得，，且，，
，
四边形可分为两个全等的直角三角形和，
因此面积为
．
16.解：由题意令，，，其中，
联立，解得，其中，
由余弦定理得．
由知，，其中，
由余弦定理得，
因为，所以，
因为，
由正弦定理得，
则，
因为，所以
所以，
又因为，所以，
所以，即．

17.解：由题意得，，
由正弦定理知，，故，
所以，则，
而平面平面，故，
又，平面，
故平面；
因为平面，故，所以为直角三角形．
由题意可知两两垂直，
所以以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
故，
故．
设平面和平面的法向量分别为，
则，令，则，
而，令，则，
记平面与平面所成角为，
则，
所以．

18.解：由题意知，圆心在直线上，故设圆心为，
因为点在圆上，所以，
即，解得，
所以圆心，半径，即圆的标准方程为．
由题意知，直线斜率存在且圆心，设直线的方程为，令，解得，令，解得，
因为直线过圆心且在轴，轴上截距相等，所以，解得
当时，直线，此时轴，轴上截距为，符合题意；
当时，直线，此时轴，轴上截距为，符合题意．
综上，直线的方程为或．
因为直线被圆截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离为．
又直线的横截距为，纵截距为，
则直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，整理可得，
由，得，即，
解得或，
因为，所以，则，故，
当且仅当时，即时，等号成立，
故的最小值为．

19.解：由题意得，，平面平面，
因为平面平面平面，所以平面，
又平面，所以．
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，
设三棱锥外接球球心，则球心到的距离相等，
所以
即
解方程得，所以，
故．
过点作棱交的延长线于点，
因为，所以，
所以点是在以为圆心，为半径的圆上一点，
故以点为坐标原点，为轴，过点且平行于的直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则，所以
设平面的法向量为，
则
令，则，所以平面的一个法向量为；
设平面的法向量为，
则
令，则，
所以平面的一个法向量为，
因为二面角的余弦值为，
所以，
又因为，将其代入整理得，解得，
所以，此时，
故二面角的余弦值为时，．

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