资源简介

云南省大理市2025-2026学年高二上学期教学质量监测考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知复数其中为虚数单位，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.下列函数是偶函数，且在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.已知角的终边过点，且，则( )
A. B. C. 或 D.
5.设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的点，轴，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D. ．
6.设数列的前项和为，且对任意的正整数，，都有，若，则( )
A. B. C. D.
7.在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，且，则直线倾斜角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，为两个随机事件，且，，下列说法正确的有( )
A. 若，互斥，则 B. 若，则
C. 若，则，独立 D. 若，则，独立
10.如图，四面体的所有棱长都是，，分别是边，的中点，连接，设，，，则( )
A.
B.
C. 直线与直线所成角的大小为
D. 直线与平面所成角的余弦值为
11.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过个步骤变成简称为步“雹程”现给出冰雹猜想的递推关系如下：，且为正整数，设数列的前项和为，则下列说法正确的有( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，使得需要步雹程
D. 若，则所有可能的取值集合为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，，若，则 ．
13.过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为，，当最大时，四边形的面积为 ．
14.在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，线段的中点为，设，，当点在圆上运动时，的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出人，并将这人按年龄分为第组，第组，第组，第组，如图所示．
求的值，并估计这组数据的第百分位数；
现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取人，再从中选人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自不同组的概率．
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，且满足，．
求数列的通项公式；
设，数列的前项和为，求证：．
17.本小题分
已知函数．
求的最大值以及取得最大值时自变量构成的集合；
已知的内角，，的对边分别为，，，若，点在线段上，且平分，若，且，求的面积．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上，且，．
求证：；
是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知双曲线的离心率为，且过点．
求双曲线的标准方程；
过点的直线与双曲线的右支交于另一点，当为坐标原点的面积为时，求直线的方程；
若对，点都在双曲线上，且，设证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可得，解得
因为前三组频率之和为，第四组频率为，
所以第百分位数在区间内，
所以第百分位数为；
设从年龄在内抽取了人，从年龄在内抽取了人
因为年龄在的人数为，
年龄在的人数为，
所以由分层抽样的定义可知，解得．
所以从年龄在内抽取了人，记这人为，，
从年龄在内抽取了人，记这人为，，，，
从这人中选人的所有可能结果有，，，，，
，，，，，，，，，，
共种选法，
其中这人来自不同组的选法有，，，，，，
，，共种取法，
所以这两人来自不同组的概率为．

16.解：因为等差数列中，，，
所以，解得：
所以．
由知，
所以，
化简得：，由于，所以．
故可得．

17.解：因为，
所以当时，取到最大值，
此时，解得．
所以取得最大值时，自变量构成的集合．
因为，可得．
因为，，可得，解得
由题可知．
设，则，
由正弦定理得，，
即，，解得
又，即，
化简得 由解得，．
所以的面积为．

18.解：证明：如图，取的中点，连接，，在菱形中，由，可得为等边三角形，所以．
因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面．
又因为为的中点，可得，且，
所以四边形是平行四边形，所以，所以平面．
因为平面，所以．
因为，可得．
又因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，，，
可得，，，．
因为，
所以，所以．
设平面的一个法向量为，则
令，则，，所以．
设平面的一个法向量为，则
令，则，，所以平面的一个法向量为，
所以，，解得，
所以当是的三等分点靠近点时，使得平面与平面所成角的余弦值为．

19.解：由题意知：，且，求解可得：
所以双曲线的标准方程为：．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，
此时，点的坐标分别为，，
则的面积为，满足题意，
故此时直线的方程为：；
当直线的斜率存在时，设其为，则直线的方程为：，
由可知双曲线的渐近线方程为，而直线与双曲线交右支于点，，
则直线的斜率应满足：或，联立直线与双曲线的方程：
消去得：．
设点，，则有：
而点到直线的距离为：
，
因此：，化简得：，
即：，其中：或，且
当时，解得不满足题意，舍去；
当时，解得舍去或，
此时直线的方程为：，
综上可得直线的方程为：或．
证明：由题意有，作差得：，
即有：
又，所以，
所以，解得
由，
且，所以数列是首项，的等比数列，
故．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑