资源简介

云南昆明市富民县2025-2026学年上学期高二期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知实数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.在中，为的中点，则( )
A. B. C. D.
6.设等差数列的前项和为，若，，则的公差为( )
A. B. C. D.
7.已知定义在区间上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在平行六面体中，所有棱长都为，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数列的前项和，则( )
A. B.
C. 数列有最小项 D. 是等差数列
10.下列说法中正确的是( )
A. 函数是偶函数
B. 存在实数，使
C. 若都是第一象限角，且，则
D.
11.过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，再过两点分别作抛物线的切线，两切线相交于点，其中两点最短距离为，则下列选项正确的是( )
A. B. 若，则直线的倾斜角为
C. 点一定在抛物线的准线上 D. 的面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是等比数列，若、分别是函数的两个零点，则 ．
13.已知圆，过作圆的切线，则直线的倾斜角为__________．
14.在三棱锥中，，，，当三棱锥的体积最大时，则该三棱锥的外接球表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，，求的面积．
16.本小题分
某校对高一上学期期中数学考试成绩单位：分进行分析，随机抽取名学生，将分数按照分成组，制成了如图所示的频率分布直方图：
计算频率分布直方图中的值，并且估计该校高一期中数学考试成绩的中位数；
为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至多有人成绩在内的概率．
17.本小题分
已知数列是首项为，各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项．
求的通项公式；
若数列满足，求的前项和．
18.本小题分
如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，是的中点．
求证：；
求二面角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率为，上有一动点，当面积最大时面积为．
求椭圆的方程；
设不过原点且斜率存在的直线与椭圆交于、两点，面积为，为线段的中点，射线交椭圆于点，，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：在中，，
由正弦定理得，
由余弦定理得，而，
所以．
由Ⅰ知，而，，
即有，而，解得，
所以的面积为．

16.解：因为频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为，
所以，解得．
这一小组的频率为，
这一小组的频率为，
这一小组的频率为，
这一小组的频率为，
显然，，
所以中位数落到这一小组，
则估计中位数为．
随机抽取名学生中，
来自这一小组的人数为，
这两人记为
来自这一小组的人数为，
这三人记为，
从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，样本空间为
，共个样本点
设“抽取的这名学生至多有人成绩在内”，
则，共个样本点，
所以抽取的这名学生至多有人成绩在内的概率．

17.解：设数列的公比为，则，
因为是和的等差中项，所以，
即，
解得或舍去或舍去，
所以
由知，
，
，
，
故的前项和．

18.解：由，是的中点，得，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以．
在菱形中，由，得是正三角形，则，
由知平面，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，设平面的法向量，
则，令，得，而平面的法向量，
，显然二面角的大小为锐角，
所以二面角的余弦值为．
假设在线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，
，设，
则，而，
设平面的法向量，则，
令，得，
因此，解得或，
所以在线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，且或．

19.解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，即，
又因为，，
联立可得，，故椭圆的方程为．
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
，
可得且，
由韦达定理可得，，
设点，则，，
所以点，
，
点到直线的距离为，
所以，
由题意可知，其中，即点，
将点的坐标代入椭圆的方程得，
即，则，所以，
代入可得，整理可得，
即，可得或，
因为，解得或．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑