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云南昆明市官渡区2025-2026学年上学期期末学业质量监测
高二数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过点且与直线平行的直线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知数列的首项，且满足，则的值为( )
A. B. C. D.
3.圆与圆的公共点个数为( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的实轴长为，则该双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
5.如图是跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象．根据图象，下列说法中正确的是( )
A. 当时，切线平行于轴，此时运动员的瞬时速度为零
B. 和均小于零，，说明时刻下降更快
C. 连接点和点的割线斜率可表示时刻的瞬时速度
D. 在附近，曲线上升，因此函数在处的导数
6.抛物线光学几何性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．如图，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，两次反射后从点射出，根据光路可逆原理，光线从点到点经过的总路程是( )
A. B. C. D.
7.如图，正三棱柱的所有棱长都相等，则和平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.如图，正方形的边长为，分别取正方形各边的四等分点，作第个正方形，然后分别取正方形各边的四等分点，作第个正方形，依此方法继续下去．设第个正方形的边长为，阴影部分中第个直角三角形的面积为例如：，，，则下列说法错误的是( )
A.
B.
C. 使得成立的正整数的最大值为
D. 如果作图过程可以一直继续下去，那么阴影部分面积之和将趋近
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为等差数列，前项和为，则下列结论正确的有( )
A. B. 当且仅当时，最小
C. 数列为等差数列 D. 满足的最大整数为
10.已知椭圆的左右焦点分别为，是上一点为坐标原点，则以下说法正确的是( )
A. 的周长为
B. 存在点使得
C. 若是直线被所截得线段的中点，则直线的方程为
D. 若，则的内切圆半径为
11.如图，在棱长均为的平行六面体中，底面是正方形，且，设，下列选项正确的是( )
A.
B. 长为
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 在棱上存在一个动点，使得平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，则 ．
13.已知，则 ．
14.已知圆关于直线对称，则圆的面积大小为 ；是圆上的两点，且，为坐标原点，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的图象在点处的切线方程；
求函数的单调区间．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且满足．
求的通项公式；
若数列，求数列的前项和．
17.本小题分
已知两个定点，动点始终满足记动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
已知点，过点的直线与曲线交于两点在之间，若为坐标原点，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点，且．
当为的中点时，求点到平面的距离；
求证：；
当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的正切值．
19.本小题分
已知抛物线的焦点为，为上的任意三点异于坐标原点，且．
求的值；
若直线的斜率分别为，求的值；
已知直线均与圆相切，且，判断直线与圆的位置关系，并说明理由．
参考答案
1.
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4.
5.
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7.
8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可得，此时，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
已知，，函数定义域为，
令，即，得或，
令，即，得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，．

16.解：，
当时，有，即，当时，有，
则，可得，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则；
，
则
．

17.解：设点，
，，
由题可得，
化简得：，
曲线的方程为；
如图，

取中点为点，则，
由，
，即，
为的中点，
设，则，
由勾股定理得：


，得：，
代入式得：，
，
，
，
由对称性得，
，
直线的方程为，
即．
法二：由图形特征，直线斜率为不符合题意，
设直线为：，点，，
由，
为的中点，即，
直线方程与圆方程联立
整理得：，
，
由韦达定理得：，，
，
，，
，化简得：，
，解得：，
，
直线的方程为：，
即直线的方程为：．

18.解：法一：向量法以为坐标原点，，，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
当为的中点时，，，，，
得，，
则平面的一个法向量为，
又，则点到平面的距离为：．
法二：几何法当为的中点时，，，所以，
正方体，所以平面，故，
又，，所以，
设点到平面的距离，则，得；
证明：设，，因为正方体的棱长为，可得
，，，，
得，，
所以，即，
故得证．
，
所以当三棱锥的体积取得最大值时，即取得最大值，
，
所以当时，取得最大值，
因为，，得，，
平面的一个法向量为，
由可知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
故，所以，
故平面与平面的夹角的正切值为．

19.解：由题得，
因为，，为上的任意三点，且，所以，
为的重心，
由定义得
因为，两式相减得，
所以，同理可得，
由，得，
所以；
设，，，，，，
因为，所以直线的方程为，
即，
由直线与圆相切得，化简得，
同理，由直线与圆相切得，
因为方程同时经过点，所以的直线方程为，
点到直线距离为，所以直线与圆相切，
综上所述，若直线，均与圆相切，则直线与圆相切．

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