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安徽皖江名校联盟2025-2026学年高一上学期期末考试
数学试卷B
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，在其定义域上是增函数的是( )
A. B. C. D.
4.已知为实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为，乙能破译密码的概率为，则这份密码被成功破译的概率为( )
A. B. C. D.
6.连续抛掷一枚硬币次，观察正面出现的情况，事件“至少次出现正面”的对立事件是( )
A. 有次或次出现反面 B. 只有次出现反面
C. 有次或次出现正面 D. 只有次出现正面
7.设，，，则( )
A. B. C. D.
8.放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称作半衰期，记为单位：天现有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为、，开始记录时，这两种物质的质量相等，天后测量发现甲的质量是乙的质量的倍，则、应满足( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试满分分，其中男生人，女生人现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本样本中有位女生的测试成绩，分别是，，，，，，，，样本中男生测试成绩的平均数为，则( )
A. 样本中有位男生的测试成绩 B. 样本中女生测试成绩的分位数是
C. 样本中女生测试成绩的方差为 D. 样本中所有学生测试成绩的平均数为
10.已知，，且，则( )
A. B.
C. 的最小值为 D. 的最大值为
11.设函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，当时，若，则( )
A. 直线是函数图象的对称轴 B. 点是函数图象的对称中心
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算 ．
13.若函数是偶函数，则实数 ．
14.如图，用三个不同的元件连接成一个系统当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知正常工作的概率依次为，则系统正常工作的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：
；
．
16.本小题分
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准吨、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量单位：吨，将数据按照分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
求直方图中的值；
设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由；
若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准吨，估计的值，并说明理由．
17.本小题分
已知函数，．
判断函数的奇偶性并证明；
若实数，满足，求的取值范围．
18.本小题分
甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有道题目，答对道题则通过面试前道题都答对或都答错，第道题均不需要回答已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第道和第道题目的概率都是，答对第道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立记“甲只回答道题就结束面试”为事件，记“乙道题都回答且通过面试”为事件．
求事件“甲只回答道题且通过”的概率；
求事件和事件同时发生的概率；
求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率．
19.本小题分
我们把满足“对任意，总存在唯一的，使得成立”的函数，称为函数在区间上的“阶搭配函数”；当时，称为区间上的“阶自搭配函数”．
判断函数是否为区间上的“阶自搭配函数”，并说明理由；
若函数是函数在区间上的“阶搭配函数”，求的最大值；
若函数是函数在区间上的“阶搭配函数”，求实数的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：
．

16.解：由频率分布直方图知，月均用水量在中的频率为，
同理，在，，，，，中的频率分别为，，，，，．
由，
解得．
由，位居民每人月均用水量不低于吨的频率为．
由以上样本的频率分布，可以估计全市万居民中月均用水量不低于吨的人数为
．
因为前组的频率之和为，
而前组的频率之和为，
所以．
由，
解得．
所以，估计月用水量标准为吨时，的居民每月的用水量不超过标准．

17.解：函数为奇函数；
证明如下：由，解得，
所以函数的定义域为，
任取，，
所以函数是奇函数．
由题意，
由于在区间上是减函数，由于在区间上是增函数，
所以在区间上是减函数，所以，
于是
令，由，得
因此
所以的取值范围是．

18.解：由题可得甲只回答道题且通过；
由题可得，
若事件发生，则乙前两题对一题，错一题，第三题答对，
，
由题意可知事件相互独立，
所以；
记甲没有通过面试为事件，
包括前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况，
则甲没有通过面试的概率为
则甲通过面试的概率为，
乙通过面试的事件记为，则概率为，
乙没有通过面试概率为，
由题意可知事件相互独立，甲、乙两人恰有一人通过面试的事件记为，
则概率为．

19.解：令，则，
化简得，此方程无解，
故不是区间上的“阶自搭配函数”；
成立，即，
当单调递减，值域为，
单调递减，值域为，
由已知，则
由于，则，
解得，或，
又，所以，所以，当且仅当时等号成立，
即的最大值为．
成立，即，
对任意单调递增，值域为．
在区间单调递减，在区间单调递增，
且在区间上的图象关于直线对称如下图：
由图可知若存在唯一的使，可得
此时的值域为
所以，即，解得，
所以的取值范围是．

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