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福建省漳州市2025-2026学年高一上学期期末数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
2.若全集，，则的元素个数为( )
A. B. C. D.
3.设，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
5.函数且的图象恒过定点，则为( )
A. B. C. D.
6.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
7.函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且满足，都有，则( )
A. B. C. D.
8.漳州水仙花被誉为“凌波仙子”，是中国传统十大名花之一，栽培历史逾千年宋代大儒朱熹在赋水仙花中以“徒知慕佳冶，讵识怀贞刚”赞咏其外美内刚、坚贞高洁的品质其花瓣舒展如扇形，素雅清丽，暗藏数学之美已知单瓣型的金盏银台水仙花的花瓣边缘弧线可近似为函数，在区间上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，下列等式一定成立的有( )
A. B.
C. D.
10.在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点，则( )
A. B. C. D.
11.定义域为的函数满足，则( )
A. B. 为增函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 ．
13.设，且，则的最小值为 ．
14.若函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合．
若，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知幂函数的图象关于轴对称．
求实数的值；
若函数在区间上的最小值为，求实数的值．
17.本小题分
近年来，漳州文旅直播平台以“闽南文化推广”为主题，聚焦漳州土楼，闽南古厝，漳州小吃等内容从年初上线后会员人数逐月增加，下表是平台上线第个月的会员人数统计：
平台上线第个月
会员人数万
为了描述从第个月开始会员人数随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，．
选出最符合实际的函数模型，并说明理由；
请恰当选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，若平台会员人数至少达到万才能开启“漳州非遗专场直播”，请问至少第几个月才能开启该专场直播．
18.本小题分
已知函数．
若，解决以下问题：
求出的最小正周期及单调递减区间；
当时，求的值．
设在区间上单调，且在区间上的所有零点之和为，求的值．
19.本小题分
若函数在区间上连续，，都有，则称函数是区间上的上凸函数，当且仅当时等号成立若函数在区间上是上凸函数，则对，都有，当且仅当时等号成立．
判断函数在区间上是否为上凸函数若是，请给出证明；若不是，请举出反例；
不等式在中恒成立，求实数的取值范围；
已知函数，若对任意的，均存在，使得成立，求的最大值．
参考答案
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13.
14.
15.解：当时，，所以，
，
所以或．
由知，．
因为恒成立，所以，
所以或，所以或．
综上可得，实数的取值范围为或．

16.解：因为函数是幂函数，
所以，解得或．
当时，；当时，，
因为函数关于轴对称，所以函数是偶函数，即，
故．
由知，
因为在区间上的最小值为，所以
当，即时，在区间上单调递增，
所以，解得，符合；
当，即时，，解得，
又因为，所以；
当，即时，在区间上单调递减，
所以，解得，不符合，舍去．
综上可得，的值为或．

17.解：由给定数表知，函数定义域为，会员人数增长速度随增大而减缓，
对于模型，当时无意义，不符合题意；
对于模型，会员人数的增长速度随增大而变快，不符合题意；
对于模型，当时，会员人数的增长速度随增大而减缓，符合题意．
所以最符合实际的函数模型是模型．
由知，选择模型，
将数据组代入，得，解得．
因此．
函数在定义域上单调递增．
令，则，所以．
因为，且，所以．
所以所求函数模型的解析式为，预测至少第个月会员人数达到万．

18.解：易知
当时，，周期，
由，解得．
所以单调递减区间为．
即，
所以，
所以
当时，
，
同理，当时，，
综上，的值是．
由(ⅰ)知，，
因为在区间上单调，且，所以仅能单调递增，所以，
解得，
所以，因此在区间至多一个周期，
由于，所以在区间至多个零点．
令，即，解得或，
当恰有个零点时，，解得；
当恰有个零点时，，解得．
综上可得，的值为．

19.解：是区间上的上凸函数．
，
不妨设，当时，有，所以，
所以，
所以是区间上的上凸函数．
解法一：
在中，，因为是区间上的上凸函数，
所以有，当且仅当时等号成立，
所以；
当时，，且显然，
所以的取值范围为
当时，不成立，舍去；
当时，可化为，
所以有，解得舍去或；
当时，可化为，
所以有，解得或舍去．
综上所述，或．
解法二：
在中，，因为是区间上的上凸函数，
所以有，当且仅当时等号成立，
所以：
当时，，且显然，
所以的取值范围为
设，则．
设在上的图象为一条线段，
要使得原不等式成立，即满足
解得，综上所述，或．
设，且值域为，
，且值域为，依题意，有．
，
当时，；当时，，
所以在上递增，在上递减，，所以，
所以有在恒成立，所以有，即
当时，则，当且仅当时等号成立；
当时，则，当且仅当时等号成立．
所以的最大值为．

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