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安徽省合肥市第六中学等校2025-2026学年高二上学期期末数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.在等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
5.若函数，满足，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
7.设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为 ( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，，设，对，，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B. 直线的倾斜角的取值范围是
C. 过，两点的所有直线的方程为
D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
10.如图，抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，过，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的有( )
A. 若轴，则
B. 若，，则为定值
C.
D. 以线段为直径的圆与轴相切
11.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 在上单调递增，在上单调递减
B. 若方程有个不等的实根，则
C. 当时，
D. 设，若对，，使得成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.经过点和的直线的方程为 ．
13.函数的定义域是，其导函数是，若，则关于的不等式的解集为 ．
14.已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一点，直线与圆切于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知正项数列满足且，
求数列的通项公式；
设，数列的前项和为．
16.本小题分
已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切，直线．
求圆的方程
求直线被圆截得的最短弦长及此时的值．
17.本小题分
在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记
求的长，并求当为何值时，长度取得最小值；
当的长取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为．
求椭圆的标准方程
过点作直线交椭圆于，两点，且点位于轴上方，设点关于轴的对称点为，求面积的最大值．
19.本小题分
已知函数．
求函数的最小值；
证明：对任意，恒成立；
对于函数图象上的不同两点，，如果在函数图象上存在点其中使得点处的切线，则称直线存在“伴侣切线”特别地，当时，又称直线存在“中值伴侣切线”试问：当时，对于函数图象上不同两点、，直线是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．
参考答案
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15.解：由，得，可知数列是常数列，
所以，所以，所以；
由可得，
则

16.解：由题意可设圆的圆心为，
圆与直线相切，且过点，
，整理得，解得，
圆心，半径，
圆的方程为：；
由，知．
由，得．
所以当，时，无论取何值，方程都成立．
所以直线恒过定点．
如图，当圆心到直线的距离最长，即时，直线被圆截得的弦长最短．
因为，所以当直线被圆截得的弦长最短时，直线的斜率为，
由直线，得，解得：．
此时，，
所以弦长为：．
故当时，直线被圆截得的弦长最短，最短弦长为，此时．
17.解：法一：如图，过点作于点，连接，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为正方形边长为，，
所以，，，
得到．
当时，长度取得最小值．
法二：因为四边形为正方形，所以，由题意知，，
如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为正方形，的边长都是，所以
又，得到，，
所以
，
由二次函数性质得当时，长度取得最小值．
法一：由已知得，当点，为，中点时的长最小，
取中点，连接，，，，
因为，为正方形，点，为，中点，
所以，
因为为中点，所以，，
因为平面平面，
所以为平面与平面的夹角或其补角，
而，，，，
在三角形中，根据余弦定理得，则面面夹角取的补角，
故平面与平面夹角的余弦值为．
法二：因为取最小值时，所以，，
当、分别为、为中点时，最短，
此时、，，
设平面的法向量为，，，
则，取，解得，，可得，
设平面的法向量为
所以，即，取，所以，，
所以平面的法向量为，
设平面与平面夹角为，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为．

18.解：由题意得，且知椭圆过点，
把点代入椭圆标准方程得，解得或舍，
所以，，
则椭圆的方程为；
依题意，直线不垂直于坐标轴，设直线方程为，，
设点，，，则，，
由，消去得，
，，，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为．

19.解：，
令得；得．
在上单减，在上单增；
．
在单调递增．
故．
令，
，
因为，显然，所以在上递增，
显然有恒成立．当且仅当时等号成立，即证．
当时，，，假设函数存在“中值伴侣切线”．
设，是曲线上的不同两点，且，
则，．
故直线的斜率：．
曲线在点处的切线斜率：
．
依题意得：
化简可得：，即．
设，上式化为，由知时，恒成立．
所以在内不存在，使得成立．
综上所述，假设不成立．所以，函数不存在“中值伴侣切线”．
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