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第2章《不等式与不等式组》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．要使得代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
3．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．下列解不等式的过程：去分母，得；去括号，得；移项，得；合并同类项，得；系数化为，得．其中，开始出现错误的一步是（ ）
A． B． C． D．
5．若关于，的方程组的解满足不等式，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于的不等式组的最小整数解是3，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．对于实数，定义一种运算“”：，则不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知一次函数与的图象如下图所示，其交点的坐标为，直线与轴的交点坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．方程的解是
B．方程组的解是
C．关于x的不等式的解集是
D．的解集为
10．已知关于x、y的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，x、y的值互为相反数；③若，则；④的最大值为11；其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．点不可能在第 象限．
12．如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为 ．

13．若是关于的一元一次不等式，则的值为 ．
14．如图，某书架长，在该书架上按图示方式摆放语文书和数学书，已知每本语文书厚，每本数学书厚．若书架上已摆放20本语文书，则最多还可以摆放 本数学书．
15．若关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集为，则所有满足条件的整数的积为 ．
16．在平面直角坐标系中，对于点定义变换P，满足，例如：．
（1） ．
（2）若在第二象限，则所有整数m的和为 ．
解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．解不等式与不等式组，并把它们的解集表示在数轴上：
(1)； (2)
18．（1）当取什么值时，代数式的值是负数？
（2）当取什么值时，代数式的值小于的值？
（3）当取什么值时，代数式的值不大于的值？
19．按照如下程序，输入的值并计算．规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．
(1)如果程序操作恰好执行一次就停止了，你可以列出怎样的不等式？求输入的的取值范围．
(2)如果程序操作执行了两次才停止，那么输入的的取值范围是多少？
20．已知关于x的方程．
(1)若该方程的解满足，求a的取值范围；
(2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值．
21．镇安某特产店计划购进镇安核桃和木耳，以满足顾客多样化的需求．
(1)若购进8盒镇安核桃，3袋木耳，需要94元，购进5盒镇安核桃，6袋木耳，需要100元．求购进镇安核桃、木耳每盒（袋）各需多少元？
(2)若该特产店本次购进木耳的袋数比购进镇安核桃的盒数的2倍还少5袋，购进两种特产的总金额不超过510 元，则该特产店本次最多购进镇安核桃多少盒？
22．已知关于、的方程满足方程组
(1)用含的代数式表示；
(2)若、均为非负数，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值．
23．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克14元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克16元．
(1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要360元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要176元，求的值．
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1020元又不多于1028元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案？哪种方案可让超市获得最大利润，最大利润是多少？
24．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题：
(1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是________；（只填序号）
(2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？
25．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量x的取值范围是全体实数：如裘是y与x的几组对应值：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 …
其中 ；
(2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
(3)观察函数图象发现：
该函数图象的最低点坐标是 ，当时，y随x的增大而 ；
(4)进一步探究：
①不等式的解集是 ；
②若关于x的方程只有一个解，则k的取值范围是 ．
参考答案
一、选择题
1．B
解：∵不等式需含有不等号，
∴①；②；④；⑥，是用不等号连接的式子，故是不等式．
而③是等式；⑤；⑦，是代数式，这三个都不是不等式．
∴共有个不等式.
故选：B．
2．D
解：∵代数式有意义，
∴，
解得且．
故选：D．
3．D
解：A．由得，即或，不一定，故A错误；
B．当时，分式无意义，必须才成立，故B错误；
C．若，乘以负数，不等号方向改变，，故C错误；
D．若，且，即两边除以得，故D正确．
故选：D．
4．D
解：∵原不等式：，
去分母（两边乘）：，
∴（步骤正确），
去括号：（步骤正确），
移项：（步骤正确），
合并同类项：（步骤正确），
系数化为（两边乘，不等号方向改变）：，
但步骤得，错误，故开始出现错误的一步是，
故选：．
5．A
解：方程组
，得：，
，
，
解得，
故选：A．
6．D
解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∵关于的不等式组有解，
∴，
故选：D．
7．B
解：解不等式组：
解第一个不等式：
∵
∴ ．
解第二个不等式：
∵
两边乘：
展开：
移项：
∴ ．
即 ．
∴ 不等式组的解集为 ．
∵ 最小整数解是
∴ 不是解，故 ．
又 ∵ 是解，故
∵
∴ ．
即 ．
∵ 且
∴ ．
即 ．
∴ ．
故选：B．
8．D
解：∵对于实数，定义一种运算“”：，
∴不等式组为，
解可得：，
解可得：，
将解集表示在数轴上如图所示：
故选：D．
9．C
解：∵直线与x轴交于点，
∴方程的解是，，
解得，即，
则A不正确，不符合题意；
∵一次函数与交点为，
∴，
即，
∴方程组的解是，
则B不正确，不符合题意；
关于x的不等式的解集是，
则C正确，符合题意；
∵直线与x轴交于点，
∴的解集是，
则D不正确，不符合题意．
故选：C．
10．D
解：∵ 方程组为 ，
用得：，
∴ ，
代入⑥得：，
∴ ，
∴ 方程组的解为 ．
对于结论①：给定解为 ，与上述解不符，∴ ①错误；
对于结论②：当 时，，，
∴ ，，互为相反数，∴ ②正确；
对于结论③：∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，
则 ，当 时 ，当 时 ，∴ ，∴ ③正确；
对于结论④：，
∵ ，∴ 当 时 ，最大值为11，∴ ④正确；
综上，②③④正确，
故选：D．
二、填空题
11．二
解：假设点在第一象限，则，解得，
故点可能在第一象限；
假设点在第二象限，则，不等式组无解，
故点不可能在第二象限；
假设点在第三象限，则，解得，
故点可能在第三象限；
假设点在第四象限，则，解得，
故点可能在第四象限．
故答案为：二．
12．
解：∵直线经过和两点，
∴当时，，
∴关于x的不等式的解集是，
故答案为：．
13．5
解：由题意，不等式是关于的一元一次不等式，因此的指数，且系数．
解，得或，即或．
当时，系数，不符合条件；
当时，系数，符合条件．
故答案为：．
14．16
解：设数学书还可以摆x本，
由题意得，
解得，
∵x为整数，
∴x的最大值为16，
∴数学书最多还可以摆16本，
故答案为：16．
15．20
解：∵ 不等式的解集为，
∴，
解得，
解方程组，得，，
∵ 方程组的解为整数，
∴ 是整数，且是整数，故是4的倍数
∵ ，
∴ ，即是负整数，
又∵ 是整数且为4的倍数，
∴ 是8的负约数，且是4的倍数，
当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件，
当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件，
当时，，（不是4的倍数），舍去，
当时，，（不是4的倍数），舍去，
∴符合条件的整数为、，
∴ 它们的积为，
故答案为：．
16．
解：根据题意可得；
故答案为：；
，
，
其在第二象限，
，解得，
m的整数解为：、、、、、，
它们的和为：；
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
∴不等式的解集为，
将表示在数轴上为：
（2）解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为，
将表示在数轴上为：
18．解：（）根据题意得，，
，
∴；
（）根据题意得，
，
∴；
（）根据题意得，，
，
，
，
，
∴．
19．（1）解：输入，由操作流程可得，
如果程序操作恰好执行一次就停止了，则，
解得：；
（2）解：输入，
则第一次程序操作可得，解得，
进而第二次程序操作可得，解得：，
输入的的取值范围是．
20．（1）解：，
解得，，
∵，
∴，
解得，；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项并合并同类项，得，
解得，，范围内的最小整数解为，
将，代入方程，得：
，
解得，．
21．（1）解：设购进镇安核桃每盒需x元，木耳每袋需y元，
根据题意得：，
解得：，
答：镇安核桃每盒8元，木耳每袋10元．
（2）解：设该特产店本次购进镇安核桃a盒，则购进木耳袋，且为正整数，且
∴，
根据题意得，
解得：，
∴的最大值为，
答：该特产店本次最多购进镇安核桃20盒．
22．（1）解：，
，得，
解得，
，得，
解得，
综上所述：，；
（2）解：由（1）得，
∵均为非负数，
∴，
即，
解得；
（3）解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
即，
∴的最大值为9，最小值为．
23．（1）解：根据题意，得方程组：
，
化简①：除以5，得，
化简②：除以2，得，
两式相减，，
化简可得，，解得；
代入，解得；
∴．
（2）解：设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜千克，
投入资金为：，
∵投入资金不少于1020元又不多于1028元，
∴，即，
解得，
x为正整数，即，
购买方案：
方案1：甲43千克，乙57千克；
方案2：甲44千克，乙56千克；
方案3：甲45千克，乙55千克；
设利润y元，
则利润，
∵，即y随x增大而增大，
当时，利润y最大为．
答：方案3可让超市获得最大利润，最大利润是490元．
24．（1）解：①，解得；
②，解得；
③，解得；
，
解不等式①得；
解不等式②得；
原不等式组的解集为；
、在范围内；不在范围内，
不等式组的“关联方程”是①②，
故答案为：①②；
（2）解：，解得；
解不等式①得；
解不等式②得；
不等式组的解集为；
关于x的方程是不等式组的“关联方程”，
，解得．
25．（1）解：当时，﹒
故答案为：3
（2）解：该函数图象的另一部分如图所示：
；
（3）解：由图所得该函数图象的最低点坐标是，当时，y随x的增大而减小﹒
故答案为：，减小；
（4）解：①由图象得的解集是或﹒
故答案为：或；
②∵当直线经过点时，，当直线经过点时，，
∴若关于x的方程只有一个解，结合图象得k的取值范围是或﹒
故答案为：或．

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