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第一章《三角形的证明》单元复习题
一、单选题
1．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．如图，在中，，交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 ABC中，，点D是边上的点，若，的角平分线交于点E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图， ABC中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点．下列结论不一定成立的是（ ）
A．
B．点在的平分线上
C．
D．若，点到的距离为，则
5．如图，在中，，，，点是的中点，，交直线于点，于点，于点．则下列结论：①△CBD≌△MFD；②；③；④若，则．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．在 ABC中，若，则的度数为 ．
7．已知 ABC为等腰三角形，，，若，则 ．
8．一个零件的形状如图，按规定，，判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件 （填“合格”或“不合格”）．
9．如图，在 ABC中，，，上有一点，且．过点作的垂线交的延长线于点，则的值为 ．
10．如图，一次函数的图象分别交轴正半轴于点，交轴正半轴于点．作的平分线交轴于点，点在轴上，点在射线上，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为 ．
三、解答题
11．如图所示，在 ABC中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，点G是上一点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
12.如图，，和的平分线交于点，连接．
(1)求证：平分．
(2)若，求点到的距离．
13.如图，在 ABC中，垂直平分于点，是边的垂直平分线交，，于点，，，连接、．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，求的度数．
14.如图，在 ABC中，，是边的中点，交于点，交于点，的平分线在 ABC内交于点，交于点，连接．
(1)若∠ACP=24 ，求的度数．
(2)若，，求，满足的关系式．
15.已知 ABC为等边三角形，E为延长线上一点，D为边上一点，连，，．
(1)如图，若为中点，直接写出，，间的数量关系，不需要说明理由；
(2)如图，不是线段中点，先写出线段，，间的数量关系，再说明理由；
(3)如图，为中点，连接，求证：．
16.如图，在 ABC中，，且，是边上动点（不与，重合），点在边上，连接平分．
(1)当为等边三角形时，求的度数；
(2)探究与之间的数量关系，并说明理由．
17.综合与实践
数学活动课上，老师带领同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系．
【实践探究】
（1）如图1，和均为等腰直角三角形，试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（2）如图2， ABC和中，，，D为上的一点，连结并延长交的延长线于M，若，．
①求证：
②试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
18.【问题情境】如图，在 ABC中，，是的中点，点，分别在边，上，连接．
【特例解答】
（1）若，求的度数；
（2）在；是 ABC的高线；既是 ABC的角平分线又是 ABC的高线，能使 ABC为等边三角形的条件是___________；
（3）已知 ABC的周长为，，若与全等，求出的长（用含，的式子表示）；
【拓展探究】
（4）当点，分别在射线，射线上（不与点，重合），且满足时，若，，直接写出的度数．
19.我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”．
【概念理解】
如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合）
（1）的度数为　　， AOB　　“和谐三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）若，试说明：是“和谐三角形”；
【应用拓展】
（3）如图2，点在 ABC的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数．
参考答案
一、单选题
1．D
解：∵等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为，
①当的角为等腰三角形的顶角时，
∴该等腰三角形的顶角为，
②当的角为等腰三角形的底角时，
∴顶角 ，
综上，这个等腰三角形的顶角为或，
故选：D．
2．C
解：在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的长为．
故选：C．
3．C
解：如图，在上取点F，使得，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
4．C
解：∵和的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故A是正确的，不符合题意；
连接，过点分别作，如图所示：
∵ ABC中，和的平分线交于点D，
，
，
又，
，
，
∴平分，
故B是正确的，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
故C是错误的，符合题意；
∵点D到的距离为n，
∴，
则
故D是正确的，不符合题意；
故选：C ．
5．C
解：∵点D是的中点，
∴
∵，，
∴，
在和中，
，
∴ CBD≌ MFD（AAS），
∴①的结论正确；
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由①知： CBD≌ MFD，
∴，
∴．
∴②的结论错误；
过点B作于点H，连接，，如图，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D是的中点，H为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴ NAM≌ FAM（），
∴，
由①知：，
∴，
∴．
∴③的结论正确；
由①知： CBD≌ MFD，
∴，，
∵ NAM≌ FAM，
∴，，
∵，
∴设，则，，
∵，
∴，
∵D为中点，
∴，
∴．
∴④的结论正确；
正确结论有：①③④．
故选：C．
二、填空题
6．
解：∵在 ABC中，，，
∴，
化简得，即．
故答案为．
7．
如图，过点A作于点D，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
故答案为：．
8．不合格
解：连接并延长，如图：
由三角形的外角性质可得，，，
∴
，
∵这个零件，
∴这个零件不合格．
故答案为：不合格．
9．
解：如图，过点作于点，
∵在 ABC中，，，
∴，，
∵．
∴，
∴
∵，
∴
又∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
10．或或
解：把代入一次函数，得，
∴，
∴，
∴，
把代入一次函数，得，
∴，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，，
当且点在轴的正半轴上时，如图，过点作轴于，则，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
把代入一次函数，得，
解得，
∴；
当且点在轴的负半轴上时，如图，过点作轴于，则，
同理可证，
∴，
把代入一次函数，得，
解得，
∴；
当时，如图，过点作轴于，轴于，则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，把代入一次函数，得，
解得，
∴；
综上，点的坐标为或或，
故答案为：或或．
三、解答题
11．（1）证明：由题意知，，
∵是边上的中线，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
12.（1）解：证明：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，．
∵BD平分，，，
，
平分，，，
，
，
又，，
平分．
（2）解：由（1）可知，平分，
，
为等腰直角三角形，
．
由勾股定理，得，
，
，
∴点到的距离为．
13.（1）证明：为线段的垂直平分线，
∴，
∵为线段的垂直平分线，
，
∴为等腰三角形．
（2）解：∵垂直平分于点F，
∴点F是的中点，
∵，
为的平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
14.（1）解：是边的中点，，
，
．
平分，
，
．
，∠ACP=24 ，
，
即，
．
（2）解：由（1）知．
，，
，
即，
．
15.（1）解：，理由如下，
如图，在上截取，过点作于点，
∵ ABC是等边三角形，
∴，，
∴ CDM是等边三角形，，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
如图，在上截取，过点作于点，
∵ ABC是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（3）证明：如图，延长至，使得，连接，
∵ ABC是等边三角形，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同（）可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
16.（1）解：为等边三角形，
，
又平分，
，
，
，
又
；
（2）解：．理由如下：
设，则，
，
，
，
平分，
，
．
17.解：（1），
理由：和均为等腰直角三角形，
，，
，
，
在 BDE和中，
，
，
．
（2）①证明：，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
②，
理由：过点作于点，交于点，
∴，
，
，
，
，
，
∴∠CDE=90 ，
即，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
．
18.解：（）∵，
∴，
∵，
∴；
（）∵，，
∴ ABC是等边三角形，符合题意；
如图，
∵是的中点，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴ ABC是等边三角形，符合题意；
如图，
由既是 ABC的角平分线又是 ABC的高线，不能证明 ABC为等边三角形，不符合题意；
故答案为：；
（）∵ ABC的周长为，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
如图，当时，
∴；
如图，当时，
∴，，
∴，
∴，
综上可得：的长为 或；
（）∵，，
∴，
如图，当在线段上时，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当在线段延长线上时，
∵，
∴
∵，
∴，
∴；
综上可得：的度数为或．
19.解：（1），
，
，
，
AOB不是“和谐三角形”；
故答案为：，不是；
（2）是的一个外角，
，
又，
，
，
，
是“和谐三角形”；
（3），，
，
，
，
而，
，
，
，
平分，
，
，
是“和谐三角形”，
或，
或．

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