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第3章 《图形的平移与旋转》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图， ABC与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
3．如图，在 ABC中，，将 ABC绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ）
A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针，
4．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．如图，在正方形网格中，点，和 ABC，的顶点均在格点上，将 ABC绕旋转中心旋转得到，则旋转中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
6．把点先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，所得的点在直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．“俄罗斯方块”是一种早期的电子游戏，核心玩法是在方格场地中，操控7种积木（每个占四个格子）通过平移、旋转并堆叠（积木与积木之间不能重合，没有缝隙），填满整行即可消除该行从而得分，积木堆到顶端则游戏结束．例如：下图①中，将上方“长方形”积木，向下平移4个格子，就可以消除“第1行”从而得分．那么当如图②中最上方积木通过怎样的运动可以同时消除“第1行和第2行”（ ）
A．向下平移3格
B．以格子为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，再向下平移2格
C．以格子为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，再向下平移3格
D．以格子为旋转中心，按顺时针方向旋转90°，再向下平移2格
9．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到 A1B1C2的位置，点在轴上，将 A1B1C2绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去．若点，则点的坐标是( )
A． B． C． D．
10．如图1，长方形各顶点坐标分别为，，，．点，，以为一边作长方形．现将长方形沿方向平移，至与重合时运动停止．在平移过程中，设平移的距离为d，长方形与长方形重叠的面积为S，S关于d的函数图象如图2．当与重合时，点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知点与点关于原点对称，则 ．
12．已知点关于原点对称的点为，将点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点，点在第四象限，那么的取值范围是 ．
13．围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图，这是棋盘上由1个白子和3个黑子组成的图形，且点的坐标分别为，若再放入一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，则放入白子的坐标为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将 AOB绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转后，点的坐标为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴、轴的正半轴上．将沿直线向上平移得到，点的纵坐标为4．若，则点的坐标为 ．
16．在平面直角坐标系中，我们规定一种变换：将平面内任意一点，绕原点顺时针旋转得到对应点，点在射线上，且，得到最终的对应点，称点为点经过变换后的对应点．例如，点经过变换后的对应点为，那么点经过变换后的对应点坐标为 ．
解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．如图，在中，，于点，于点，．
(1)请简述图①变换为图②的过程．
(2)若，，求图②中的面积．
18．如图， ABC是等边三角形，，垂足为C，E是的中点，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G．
(1)求的大小；
(2)求证：是等边三角形．
19．如图， ABC中，，，将 ABC绕着顶点A顺时针旋转，得到．点F，G分别在上，且，连接并延长交线段于点H．
(1)求证：；
(2)求的大小．
20．如图，在的正方形网格中， ABC的三个顶点均在格点上．请你画出符合条件图形，并标明字母．
(1)在图①中，画出一个格点三角形与 ABC成中心对称；
(2)在图②中，画出一个格点三角形与 ABC成轴对称图形；
(3)在图③中，画出 ABC绕着点按顺时针方向旋转后的格点三角形．
21．如图，中，，将绕点逆时针旋转到，的延长线与相交于点，连接、．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
22．如图所示的正方形网格中， ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
(1)请画出 ABC关于坐标原点成中心对称的；
(2)若 ABC绕点顺时针旋转后得到，写出点的坐标_____；
(3)若将 ABC绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为_____．
23．在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）．
(1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形．
(2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________．
(3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由．
24．如图，在直角坐标系中，边长为4的等边三角形的顶点都在轴上，顶点在第二象限内，经过平移或轴对称都可以得到．
(1)沿轴向右平移得到，则平移的距离是_____个长度单位；与关于直线对称，则对称轴是_____；
(2)已知点的纵坐标为，则点的坐标为____；
(3)连接，交于点，求的度数．
25．已知中，，，点D为直线上一点．
(1)如图1，若点D与点C重合，点E为上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，直接写出与的关系：_________；
(2)如图2，点D在的延长线上，E为的角平分线上一点，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接，若，求证：；
(3)如图3，点D在边上，点E在直线左侧，连接，，将线段绕点D顺时针旋转90°后得到线段，连接若，，则线段的长为_________（直接写出结果）．
参考答案
一、选择题
1．C
解：A选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意；
B选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不满足题意；
C选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，满足题意；
D选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意．
故选：C ．
2．C
解：∵ ABC与关于点成中心对称，
∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等）
又 ∵，
∴ D在的垂直平分线上，
，
故选：C．
3．A
解：将 ABC绕点旋转，得到，
，
当旋转方向为顺时针时，旋转角度为；
当旋转方向为逆时针时，旋转角度为．
故选：A．
4．D
解：∵点 与点 关于原点对称，
∴将，
解得，
故选：D
5．D
解：如图，、的垂直平分线相交于点Q，
则旋转中心点Q．
故选：D．
6．A
解：∵点向左平移5个单位时横坐标减5，向上平移4个单位时纵坐标加4
∴平移后点的坐标为，即
∵点在直线上
∴点的横、纵坐标满足，即
去括号得：
移项合并同类项得：
解得：
故选：A．
7．C
解：，即，，
，
由平移可得，
．
故选：C．
8．C
解：根据题意需以格子为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，再向下平移3格，可以同时消除“第1行和第2行”，
故选C．
9．C
解：点
∴
的横坐标为6，且，
的横坐标为，
……
∴的横坐标为，纵坐标为
点的横坐标为，点的纵坐标为2，即的坐标是，
故选：C．
10．A
解：由图1可知，，，
由函数图象和平移性质，当与重合时，平移距离，此时重叠面积，
∴，
如图1，过F作x轴的垂线，交过D平行于x轴的直线于P，则∠FPG=90 ，
由图知，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，即，
当与重合时，平移距离，此时等价于将长方形先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度，
∴平移后的点F的坐标为，即．
故选：A．
二、填空题
11．1
解：点与点关于原点对称，
，，
则．
故答案为：．
12．
解：点关于原点对称的点的坐标为
将点向右平移个单位，向下平移2个单位，得到点的坐标为，即，
由于点在第四象限，故有
解不等式
得；
解不等式
得
所以的取值范围是
故答案为：．
13．
解：根据点的坐标分别为，建立平面直角坐标系，如图所示：
∴当放入白子的位置在点处时，是中心对称图形．
故答案为：
14．
解：如图，过点B作轴于点C，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
由每次旋转，旋转4次是，点B恰好旋转1圈，
，
，
∴第2026次旋转后，点B从初始位置旋转了，
由坐标系中的点绕原点旋转的坐标规律可知，此时，
故答案为： ．
15．
解：点在直线上，且纵坐标为，
，解得，
，
即从点至点，横坐标增加了，纵坐标增加了．
，
，
．
故答案为：．
一题多解
点在直线上，且纵坐标为，
，解得，
．
，
由平移的性质，知，，
．
故答案为：．
16．
解：设点经过变换后的对应点为，
∵，
∴，
∴，且，
如图所示，过点作轴于点B，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：把 ADE绕点逆时针旋转得到．
（2）解：由（1）可知，由 ADE通过旋转得到的，
，．
，，
，
．
，
，
．
，
．
18．（1）解：∵ ABC是等边三角形，
∴，
∵E是的中点，
∴平分，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
由平移性质可得：，
∴，，
∴，，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
19．（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵ ABC绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，即．
（2）解：∵ ABC绕点A顺时针旋转得到，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．（1）解：如图，三角形即为所求作，
（2）解：如图，三角形即为所求作，
（3）解：如图，三角形即为所求作．
21．（1）解：∵绕点逆时针旋转到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质得，
∵，
∴，
在中，，，
∴．
22．（1）解：画出 ABC关于坐标原点成中心对称的如图所示：
（2）解：画出 ABC绕点顺时针旋转后得到的如图所示：
得到的坐标为；
故答案为：；
（3）解：根据旋转的性质，旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，作图如图所示：
旋转中心的坐标为．
故答案为：
23．（1）解：（答案不唯一）如图所示．
（2）解：大长方形面积：都是；
阴影面积：不管形状怎么变，水平宽度始终是，长是，所以阴影面积都是；
剩余面积：大长方形面积 阴影面积；
∴．
故答案为：； ； ．
（3）解：草地的面积为．
理由：把“小路”沿着左右两条边线“剪去”，将左侧的草地向右平移个单位长度，
得到一个新长方形，它的长为，宽为，故其面积是．
24．（1）解：∵是等边三角形，边长为4，
∴点的坐标为，
∴沿轴向右平移4个单位得到；
∴与关于轴对称，
故答案为：4；轴；
（2）解：∵点的坐标为，是等边三角形，点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
∵与关于轴对称，
∴点D的坐标为，
故答案为：．
（3）解：如图，∵与是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
25．（1）解：由旋转的性质，得，，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）证明：如图，过点D作，过点E作，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
由旋转的性质，得，，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，，
如图，延长，与交于点H，过点E作于点G，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵是的角平分线，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点D作于点M，过点M作于点N，连接，过点A作于点G，
同（2）理可知，和是等腰直角三角形，四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由旋转的性质，可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．

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