资源简介

（人教版）七年级
下
8.3.1实数的概念及分类
实数
第8章
“八”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
内容总览
CONTENTS
目录
教学目标
1. 了解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类.
2. 熟练掌握实数大小的比较方法.
3. 了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数.
新知导入
　　毕达哥拉斯有一句名言，叫做“万物皆数”，他把数的概念神秘化了，错误地认为：宇宙间的一切现象，都可以归结为整数或者整数的比；除此之外，就不再有别的什么东西了．
　　有一天，毕达哥拉斯的一个学生找到了一种既不是整数，又不是整数之比的怪东西．这个学生叫希伯斯，他研究了一个边长为1的正方形，发现这个正方形对角线的长度是 ．
1
1
新知导入
　　　既不是整数，也不是整数的比．他很惶惑：根据老师的看法，这应该是世界上根本不存在的东西呀！希伯斯把这件事告诉了老师．
　　毕达哥拉斯无法解释这种怪现象，又不敢承认它是一种新的数，因为他的全部“宇宙”理论，都奠基在整数的基础上．他下令封锁消息，不准希伯斯再谈论，并且警告说，不要忘记了入学时立下的誓言．
新知导入
　　希伯斯很不服气．他想，不承
认这是数，岂不等于是说正方形的对
角线没有长度吗？为了坚持真理，
捍卫真理，希伯斯将自己的发现传扬
了开去．直到最近几百年，数学家们
才弄清楚，它确实不是整数，也不是
分数，而是一种新的数，那是什么呢？
新知讲解
请把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么？
4，52，-35，274，119，911
?
4=4.0，52 = 2.5，-35 = -0.6，274 = 6.75，119 = ????.????，911 =0.????????.
?
它们都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式.
整数可以写成小数
点后为０的小数。
探究
新知讲解
4=4.0，52 = 2.5，-35 = -0.6，274 = 6.75，119 = ????.????，911 =0.????????.
?
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
有理数
整数
分数
有限小数或无限循环小数
新知讲解
所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？
π=3.141 592 653 589 793 238 462 6…
1.010 010 001 000 01…(两个1之间依次多一个0)
不是, 如：
2=1.414 213 56…
?
????5=1.709 975 94…
?
很多数的平方根、立方根都是无限不循环小数.
思考
新知讲解
它们都是无限不循环小数
无理数
无理数
正无理数
负无理数
无限不循环小数
无理数是不能写成两个整数之比(分数)的数，它和有理数一样。都是现实世界中客观存在的量的反映
新知讲解
注意：
（1）无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数,只有无限不循环小数才是无理数.
（2）某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数.
新知讲解
常见的无理数的形式：
(1)开方开不尽的n次方根，如：3，????5等；
(2) π 及化简后含 π 的数，如：π2，π+1等；
(3)具有特殊结构的数，如：0.303 003 000 3…(相邻的两个 3之间依次多一个 0 ).
?
新知讲解
有理数与无理数的区别：
{7DF18680-E054-41AD-8BC1-D1AEF772440D}有理数
无理数
是有限小数或无限循环小数
是无限不循环小数
都能写成分数的形式（正数可以看成分母是1的分数）
不能写成分数的形式
新知讲解
溯源
我国古人对无理数已经有了很多认识。《九章算术》中用“面”来表示开平方开不尽的数。
刘徽在其著作《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运算的问题，而且给了用有限小数无线逼近无理数的算法“求微数法”。
新知讲解
有理数和无理数统称为实数.
无理数
有理数
实 数
（1）按定义分：
0
正有理数
负有理数
负无理数
正无理数
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
【思考】仿照有理数的分类，据此你能给实数进行分类吗？
新知讲解
负实数
正实数
数实
正有理数
负有理数
（2）按性质符号分：
0
正无理数
负无理数
由于非０有理数和无理数都有正负之分，所以非０实数也有正负之分。
思考
新知讲解
与有理数可以用数轴上的点表示类似，无理数也可以用数轴上的点表示。
你能在数轴上画出 吗？
0
2
1
3
-1
-2
正无理数a
a个单位长度
负无理数
- b(b>0)
b个单位长度
新知讲解
下面，我们以π，2，-2为例，看一看如何在数轴上表示无理数.
?
以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O'，点 O'对应的数是多少?
0
-2
-1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
O'
O
OO' 的长是这个圆的周长 π
这样，无理数 π 可以用数轴上的点表示出来.
思考
新知讲解
如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示????，与负半轴的交点就表示-????．
?
-2
-1
0
1
2
2
?
?2
?
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来.
思考
新知讲解
当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
因此，实数与数轴上的点是一一对应的．
“一一对应”有两层含义:
①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
②数轴上的每一个点都表示一个实数.
新知讲解
如图
-2
-3
-1
1
0
2
-4
(1) 在数轴上标出-π， ， 所对应点的大致位置。
(2) 根据数轴比较 -π， ， 的大小。
右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。
新知讲解
与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
(1)正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
(2)两个正数，绝对值大的数较大；
(3)两个负数，绝对值大的数反而小.
课堂练习
基础题
1. 下列实数中，是无理数的是(　C　)
A. 0.2
B. ????????
C. ????
D. －5
A. 0.2
D. －5
C
2. 下列各数：3.14159，π，???????? ，0.131131113…
(相邻的两个3之间依次多一个1)，－???????? ，－???????? ，
其中无理数有(　B　)
?
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
B
课堂练习
3．如图，在数轴上表示???????? 的可能是（　C　）
A.点P B.点Q C.点M D.点N
?
C
基础题
4. 如图，数轴上A，B两点表示的数分别为???? 和4.1，则A，B两点之间表示整数的点共有 个.
?
3　
5.已知下列6个实数：0，π，－???? ，???????? ，???? ，???????? .
（1） 将它们分成有理数和无理数两组；
?
课堂练习
解：（1） 有理数：0，???????? ，???? 　无理数：π，－???? ，????????
?
（2） 将6个实数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接.
解：（2） －???? ＜0＜???????? ＜???? ＜π＜????????
?
基础题
课堂练习
提升题
1. 实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是( )
A. a>b
B. |a|>|b|
C. ab>0
D. a+b>0
B
-3
-2
-1
0
1
5
3
4
2
a
b
a<0，b>0
aa<0，b>0
ab<0
a<0，b>0，|a|>|b|
a+b<0
课堂练习
提升题
2.如图，数轴上点A表示数是－1，点B表示数是1，过点B作BC垂直于数轴．若AC＝????，以点A为圆心，AC长为半径画弧交数轴正半轴于点P，则点P表示的数是 .
?
－1＋????
?
[阅读理解]
∵ ???? ＜???? ＜???? ，即2＜???? ＜3.
∴ ???? 的整数部分为2，小数部分为???? －2.
∴ 1＜???? －1＜2.
∴ ???? －1的整数部分为1.
∴ ???? －1的小数部分为???? －2.
[解决问题]
已知a是???????? －3的整数部分，b是???????? －3的小数部分，求：
?
课堂练习
拓展题
课堂练习
（1） a，b的值；
解：（1） ∵ ???????? ＜???????? ＜???????? ，∴ 4＜???????? ＜5.∴ 1＜???????? －3＜2.
∴ a＝1，b＝???????? －4
?
（2） （－a）3＋（b＋4）2的平方根.
解：（2） （－a）3＋（b＋4）2＝（－1）3＋（???????? －4＋4）2＝－1＋17＝16.∴ （－a）3＋（b＋4）2的平方根是±4
?
拓展题
课堂总结
实数
概念
分类
实数的大小比较
实数与数轴上的点一一对应
无限不循环小数又叫做无理数.有理数和无理数统称实数
有理数
无理数
正有理数
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或无线循环小数
无限不循环小数
0
开方开不尽的数
π
有规律不循环的数
板书设计
1.无理数的概念：
2.实数的概念及分类：
3.实数与数轴上点的关系：
课题：8.3.1实数的概念及分类
Thanks!
2
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