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第十九章 二次根式 单元测试B卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．（本题3分）（25-26八年级上·上海普陀·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
3．（本题3分）（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）设，，则可以表示为()
A． B． C． D．
4．（本题3分）（24-25九年级上·重庆丰都·期末）估计的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间
C．2和3之间 D．3和4之间
5．（本题3分）（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个长方形的面积为18，其中一条边长为，则相邻边长为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）（19-20八年级上·陕西宝鸡·月考）将二次根式化为最简二次根式为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）（25-26八年级上·河北邢台·期末）在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（ ）
甲：原式；
乙：原式
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误
C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误
8．（本题3分）（13-14九年级上·重庆江津·月考）计算：等于（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则的值是（ ）
A．5 B． C．4 D．
10．（本题3分）（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（本题3分）（2025·山西长治·模拟预测）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周期公式为，其中l（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为（ ）（结果保留整数；参考数据：）
A． B． C． D．
12．（本题3分）（25-26八年级上·山东济南·月考）设 ，则 的值为（ ）
A． B． C．10 D．11
评卷人得分
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13．（本题3分）（25-26八年级上·上海·月考）如果最简根式与是同类二次根式，那么 ．
14．（本题3分）（25-26八年级下·全国·周测）若对实数，，，规定，则 ．
15．（本题3分）（21-22八年级上·上海普陀·月考）已知，，则的值为 ．
16．（本题3分）（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ．
评卷人得分
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题6分）（25-26八年级上·山东枣庄·期中）计算：
(1)．
(2)．
18．（本题6分）（22-23八年级上·上海·期中）先化简，再求值，如果，，求的值．
19．（本题6分）（22-23九年级下·山东淄博·月考）若最简二次根式和是同类二次根式．
(1)求x，y的值．
(2)求的平方根．
20．（本题6分）（24-25七年级下·四川凉山·月考）（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”“<”或“=”，并完成后面的问题．
， ， ……；
（2）用，，表示上述规律为： ；
（3）利用（2）中的结论，求的值；
（4）设，，试用含，的式子表示；
21．（本题8分）（24-25八年级下·江西赣州·期中）对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定，
如．
(1)___________，___________；
(2)若，求x的值．
22．（本题8分）（23-24九年级上·福建泉州·开学考试）【阅读理解】
在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件为，解得，∴，
∴原式．
【启发应用】
(1)按照上面的解法，试化简：；
(2)已知a、b、c为的三边长，化简：．
23．（本题10分）（24-25八年级上·福建福州·期末）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C．
(1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________；
(2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；
(3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
24．（本题10分）（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式．
（1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）；
[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
（2）利用分母有理化化简：．
[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，
这种变形叫做分子有理化．
比如：
（3）试利用分子有理化比较和的大小．
25．（本题12分）（22-23八年级上·福建漳州·月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______；
(2)若，且、、均为正整数，求的值；
(3)化简下列各式：
①
②
③．
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第十九章 二次根式 单元测试B卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如且的式子为二次根式．
根据二次根式的定义，逐一判断每个式子是否满足根指数为2且被开方数非负的条件，统计符合的个数即可．
【详解】解：①：被开方数，是二次根式；
②：被开方数，式子无意义，不是二次根式；
③：∵，∴，被开方数恒为非负数，是二次根式；
④：当时，，式子无意义，不一定是二次根式；
⑤：∵，，∴，被开方数为非负数，是二次根式；
⑥：当时，，式子无意义，不一定是二次根式；
⑦：当时，，式子无意义，不一定是二次根式；
⑧：根指数为3，是三次根式，不是二次根式；
∴一定是二次根式的有①③⑤，共3个．
故选：A．
2．（本题3分）（25-26八年级上·上海普陀·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
【答案】C
【分析】本题主要考查同类二次根式的定义，根据同类二次根式需化简后根号内的被开方数相同，将各选项化为最简二次根式后比较被开方数即可．
【详解】解：A、，被开方数为 ，与的被开方数不同，不符合题意；
B、，被开方数为，与不同，不符合题意；
C、，被开方数为，相同，符合题意；
D、，被开方数为，与不同，不符合题意；
故选： C．
3．（本题3分）（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）设，，则可以表示为()
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，化简二次根式．根据二次根式的乘法运算法则求解即可．
【详解】解：
，
又，
．
故选：C．
4．（本题3分）（24-25九年级上·重庆丰都·期末）估计的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间
C．2和3之间 D．3和4之间
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算以及无理数的估算．熟练掌握二次根式乘法法则，“夹逼法”估算是解题的关键．
先计算二次根式的乘法，再找到所求的无理数在哪两个和它接近的数之间，然后判断出所求的无理数的范围，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的值在0和1之间．
故选：A．
5．（本题3分）（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个长方形的面积为18，其中一条边长为，则相邻边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了长方形面积公式和二次根式的乘法运算，解题关键是利用长方形面积公式建立等式，通过二次根式运算验证选项．
根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，已知面积和一条边长，可求相邻边长．
【详解】解：长方形面积长宽，已知面积为，一条边长为，则相邻边长面积已知边长，即计算：
．
故选：C．
6．（本题3分）（19-20八年级上·陕西宝鸡·月考）将二次根式化为最简二次根式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式，先根据有意义得到，再根据二次根式的性质化成最简二次根式即可解答．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴且，
解得，
∴，
故选：B．
7．（本题3分）（25-26八年级上·河北邢台·期末）在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（ ）
甲：原式；
乙：原式
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误
C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误
【答案】A
【分析】本题考查了分母有理化，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的性质．
利用分母有理化的方法以及二次根式的性质判断即可．
【详解】解：∵ 甲的方法：原式，使用了分母有理化，正确；
∵ 乙的方法：原式，通过分子分母同乘使分母化为完全平方数，再开方，正确；
∴ 甲、乙两种方法均正确，
故选：A．
8．（本题3分）（13-14九年级上·重庆江津·月考）计算：等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：
，
故选：A．
9．（本题3分）（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则的值是（ ）
A．5 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】此题考查了二次根式的混合运算．先把原式变形为，再整体代入已知条件计算即可．
【详解】解：．
当时，
原式．
故选：D．
10．（本题3分）（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，关键在于审清题意，看懂图形，找到各部分面积的关系．先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论．
【详解】因为重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长的和减去大正方形的边长，所以重叠部分也是正方形．
因为三个小正方形的面积分别为，
所以三个小正方形的边长分别为：，，．
由图知大正方形的边长为：，
所以．
故选：A．
11．（本题3分）（2025·山西长治·模拟预测）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周期公式为，其中l（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为（ ）（结果保留整数；参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的应用．根据公式求出一个周期，即可求出在内该摆钟发出滴答声的次数．
【详解】解：一个周期，
∵，
∴在内该摆钟发出滴答声的次数约为；
故选：C．
12．（本题3分）（25-26八年级上·山东济南·月考）设 ，则 的值为（ ）
A． B． C．10 D．11
【答案】C
【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的性质，总结归纳出规律是解题的关键．通过计算总结归纳出规律，再根据规律计算求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
评卷人得分
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13．（本题3分）（25-26八年级上·上海·月考）如果最简根式与是同类二次根式，那么 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式．
根据给出的两个根式既是最简根式又是同类二次根式，由此可得出关于a、b的方程，进而可求出a、b的值．
【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式，
∴，，
解得：，
∴，
故答案为：10．
14．（本题3分）（25-26八年级下·全国·周测）若对实数，，，规定，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键；
根据题干给出的运算规则，先算乘法再进行减法计算．
【详解】解：由题可知：
∴
故答案为： ．
15．（本题3分）（21-22八年级上·上海普陀·月考）已知，，则的值为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算以及求值，根据，判断出，将化简再进行加减运算，最后将，代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
，
当，，原式，
故答案为：8．
16．（本题3分）（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ．
【答案】2
【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案．
【详解】解：由数轴可得：，
则
∴
=
=
=
=2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．
评卷人得分
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题6分）（25-26八年级上·山东枣庄·期中）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)21
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先把各二次根式化简，然后计算即可；
（2）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，再把各二次根式化简，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．（本题6分）（22-23八年级上·上海·期中）先化简，再求值，如果，，求的值．
【答案】，
【分析】先对b分母有理化，计算出的值，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，二次根式的性质，注意：．
19．（本题6分）（22-23九年级下·山东淄博·月考）若最简二次根式和是同类二次根式．
(1)求x，y的值．
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是同类二次根式的题目，求一个的平方根，算术平方根，解题的关键是掌握同类二次根式的定义．
（1）首先由二次根式被开方数为2，可知，据此求出的值；再根据同类二次根式的定义可得，将的值代入计算即可解答；
（2）先求出，则，故可求5的平方根．
【详解】（1）解：根据同类二次根式的定义，得，解得．
又，
把代入解得．
（2）解：，
∴，
∴5的平方根为：．
∴的平方根为．
20．（本题6分）（24-25七年级下·四川凉山·月考）（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”“<”或“=”，并完成后面的问题．
， ， ……；
（2）用，，表示上述规律为： ；
（3）利用（2）中的结论，求的值；
（4）设，，试用含，的式子表示；
【答案】（1）=，=，=；（2）（，）；（3）2；（4）
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，
对于（1），根据二次根式乘法得出结果判断即可；
对于（2），根据（1）中计算的结果得出结论；
对于（3），根据二次根式的乘法计算；
对于（4），根据规律得，即可得出答案.
【详解】解：（1） ，，
；
；
；
故答案为：；
（2）（，），
故答案为：（，）；
（3）；
（4） ，，
21．（本题8分）（24-25八年级下·江西赣州·期中）对于实数a，b定义一种新运算“○”，规定，
如．
(1)___________，___________；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)，4
(2)
【分析】本题以新定义运算为载体，主要考查了实数的运算和二次根式的运算，弄清新定义运算的法则是解题的关键；
（1）根据新定义运算法则计算即可；
（2）根据可得：，再解方程即可．
【详解】（1）解：；
；
故答案为：，4；
（2）解：由可得：，
解得：．
22．（本题8分）（23-24九年级上·福建泉州·开学考试）【阅读理解】
在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件为，解得，∴，
∴原式．
【启发应用】
(1)按照上面的解法，试化简：；
(2)已知a、b、c为的三边长，化简：．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，解得，再化简二次根式，再合并即可；
（2）根据三角形三边关系得出，，，然后化简绝对值即可．
【详解】（1）解：∵，
解得：，
∴，
∴
；
（2）解：∵a、b、c为的三边长，
∴，，，
∴
．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，三角形三边关系，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
23．（本题10分）（24-25八年级上·福建福州·期末）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C．
(1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________；
(2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；
(3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能截出
【分析】本题考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根的运算是解题的关键，
（1）根据正方形的面积，即可求出边长；
（2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解；
（3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板和宽进行比较，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵木板C为正方形，且面积为，
∴木板C的边长为：，
故答案为：．
（2）解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和，
∴正方形木板A，B，C的边长分别为：，
∴长方形木板的长为，宽为
由图可得：
∴
．
（3）解：不能截出；
理由：∵，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为，
由（2）得长方形的边长分别为：、，
，但
不能截出．
24．（本题10分）（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式．
（1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）；
[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
（2）利用分母有理化化简：．
[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，
这种变形叫做分子有理化．
比如：
（3）试利用分子有理化比较和的大小．
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键．
（1）根据有理化因式的定义即可求得答案；
（2）根据所得规律计算即可；
（3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可．
【详解】（1）解：∵，
∴的有理化因式是；
∵，
∴的有理化因式是；
故答案为：，；
（2）解：
；
（3）．
理由如下：
∵，，
∵，
∴，
∴．
25．（本题12分）（22-23八年级上·福建漳州·月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______；
(2)若，且、、均为正整数，求的值；
(3)化简下列各式：
①
②
③．
【答案】(1)，
(2)12或28
(3)①，②，③
【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b；
（2）利用（1）中结论得到，利用a、m、n均为正整数得到，或，，然后利用计算对应a的值；
（3）设，两边平方得到 ，然后利用（1）中的结论化简得到，最后把写成完全平方形式可得到t的值．
【详解】（1）设（其中a、b、m、n均为整数），
则有，；
故答案为：，；
（2）∵，
∴，
∵a、m、n均为正整数，
∴，或，，
当，时，；
当，时，；
即a的值为12或28；
（3）①
②
③设，
则
，
∴．
【点睛】本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
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