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1．化简：(1－i)2·i＝(　　)
A．2－2i　　　　　　　 B．2＋2i
C．－2 D．2
解析：选D.(1－i)2·i＝－2i2＝2.
2．(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A.因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限．
3．(2023·全国乙卷)设z＝，则＝(　　)
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
解析：选B.z＝＝＝＝1－2i，所以＝1＋2i.
4．已知z是纯虚数，是实数，则z＝(　　)
A．2i B．i
C．－i D．－2i
解析：选D.设z＝bi(b∈R，且b≠0)，则＝＝＝[(2－b)＋(2＋b)i].因为∈R，
所以2＋b＝0，解得b＝－2，所以z＝－2i.
5．在复数范围内，方程x2－4x＋5＝0的根是(　　)
A．2＋i B．2－i
C．2±i D．无解
解析：选C.因为Δ＝16－20＝－4，所以x＝＝2±i.
6．(多选)已知复数z满足·z－3i＝2，则下列说法正确的是(　　)
A．z的实部为3
B．z的虚部为2
C．＝3＋2i
D．z＝－3＋2i
解析：选BD.由于·z－3i＝2，可得z＝＝＝＝i(2＋3i)＝－3＋2i，故D正确；由z＝－3＋2i得z的实部为－3，虚部为2，故A错误，B正确；由共轭复数的定义可知＝－3－2i，故C错误．故选BD.
7．(2024·营口月考)已知z(1＋2i)＝4＋3i，则|z|＝________．
解析：方法一：由题意得z＝＝＝＝2－i，所以|z|＝.
方法二：由z(1＋2i)＝4＋3i，
得|z|·|1＋2i|＝|4＋3i|，
即|z|＝5，所以|z|＝.
答案：
8．若f(z)＝，则f(1－i)＝________________________________________________________________________.
解析：令z＝1－i，则z2＝－2i，
所以f(1－i)＝＝＝＝＝－1－i.
答案：－1－i
9．已知复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是____________．
解析：z＝＝
＝＝＋i，
所以复数z在复平面内对应的点(，)位于第二象限，所以解得a>.
综上所述，实数a的取值范围是(，＋∞).
答案：(，＋∞)
10．(2024·辽阳期中)已知复数z＝.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
解：(1)z＝＝
＝＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，
得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
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11．已知z＝()2 024＋()2 025，则在复平面内，复数所对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A.因为z＝()2 024＋()2 025＝i2 024＋(－i)2 025＝i4－i5＝1－i，
所以＝1＋i，
所以复数对应的点(1，1)在第一象限．故选A.
12．(多选)若复数z在复平面内对应的点位于第一象限，则(　　)
A．z2可能为实数
B．z2在复平面内对应的点可能位于第一象限
C.z2可能为纯虚数
D．z2在复平面内对应的点可能位于第二象限
解析：选BCD.由题设z＝a＋bi(a，b>0)，
所以z2＝(a2－b2)＋2abi，
因为a>0，b>0，所以ab>0，所以A不正确；
当a2>b2时，z2在复平面内对应的点位于第一象限，所以B正确；
当a2＝b2时，z2＝2abi为纯虚数，所以C正确；
当a213．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________．
解析：设m＝bi(b∈R且b≠0)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0，即
解得所以m＝4i.
答案：4i
14．已知复数z＝2＋i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的一个根．
(1)求p＋q的值；
(2)若复数ω满足zω是实数，且|ω|＝2，求复数ω.
解：(1)由题意，可知关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的另一个根是2－i.
由根与系数的关系，可得p＝－4，q＝5.
所以p＋q＝1.
(2)设ω＝a＋bi(a，b∈R).
由zω＝(2＋i)(a＋bi)＝(2a－b)＋(a＋2b)i∈R，
得a＋2b＝0.
又|ω|＝2，所以a2＋b2＝20，
所以或
因此ω＝4－2i或ω＝－4＋2i.
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15．(多选)已知复数z1，z2，则下列命题中正确的是(　　)
A．若|z1|＝|z2|，则z2＝±z1
B．＝1·2
C．若z2＝1，则|z1|＝|z2|
D．若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则z1z2＝0
解析：选BC.对于A，令z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|＝1，但不满足z2＝±z1，A错误；对于B，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，＝(ac－bd)－(ad＋bc)i，1·2＝(a－bi)(c－di)＝(ac－bd)－(ad＋bc)i，所以＝1·2，B正确；
对于C，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a－bi，则|z1|＝|z2|＝，所以|z1|＝|z2|，C正确；
对于D，令z1＝1，z2＝i，则|z1＋z2|＝|z1－z2|＝，但不满足z1z2＝0，D错误．故选BC.
16．在①z22＝10(a＞0)；②复平面上表示的点在一次函数x＋2y＝0的图象上；③z1(a－i)＞0.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
已知复数z1＝1＋i，z2＝a＋3i，i为虚数单位，满足________．
(1)若z＝＋，求复数z以及|z|；
(2)若z2是实系数一元二次方程x2＋mx＋4－3m＝0的根，求实数m的值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解：选条件①，因为z2＝a＋3i，
所以z22＝a2＋9＝10，
解得a2＝1，又a＞0，所以a＝1.
选条件②，因为z1＝1＋i，z2＝a＋3i，
所以＝＝＋i，其在复平面内对应的点的坐标为(，)，
根据题中条件，有＋2×＝0，
解得a＝1.
选条件③，因为z1＝1＋i，
所以z1(a－i)＝(1＋i)(a－i)＝(a＋1)＋(a－1)i＞0，
所以解得a＝1.
(1)z＝＋＝＋＝－i，
|z|＝＝1.
(2)若z2是实系数一元二次方程x2＋mx＋4－3m＝0的根，则2也是该方程的根，所以m＝－(z2＋z2)＝－(1＋3i＋1－3i)＝－2.

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