资源简介

INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF"
1．已知直线l⊥平面α，则“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.①当l∥β时，又因为l⊥α，则α⊥β，所以充分性成立；②当α⊥β时，又因为l⊥α，则l∥β或l β，所以必要性不成立．所以“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分不必要条件．故选A.
2．已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是(　　)
A．异面 B．相交但不垂直
C．平行 D．相交且垂直
解析：选C.因为α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，
所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.故选C.
3.如图所示，三棱锥P ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(　　)
INCLUDEPICTURE "25sx-97.TIF"
A．PD 平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
解析：选B.因为PA＝PB，AD＝DB，所以PD⊥AB.又因为平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，PD 平面PAB，所以PD⊥平面ABC.
4.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′＝(　　)
INCLUDEPICTURE "25sx-98.TIF"
A．2∶1 B．3∶1
C．3∶2 D．4∶3
解析：选A.连接AB′，A′B(图略)，由已知条件可知∠BAB′＝，∠ABA′＝，设AB＝2a，则BB′＝2a sin ＝a，A′B＝2a cos ＝a，所以在Rt△BB′A′中，由勾股定理得A′B′＝a，所以AB∶A′B′＝2∶1.
5.(2024·阜新月考)在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是(　　)
INCLUDEPICTURE "23bA89.TIF"
A．锐角(非等边)三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
INCLUDEPICTURE "23bA90.TIF"
解析：选B.作AE⊥BD于点E，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE 平面ABD，所以AE⊥平面BCD.又因为BC 平面BCD，所以AE⊥BC.因为DA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以DA⊥BC.
又因为AE∩DA＝A，AE，DA 平面ABD，
所以BC⊥平面ABD.
因为AB 平面ABD，
所以BC⊥AB，
即△ABC为直角三角形．故选B.
6.(多选)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "25sx-99.TIF"
A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PBM
B．异面直线AD与PB所成的角为90°
C．二面角P BC A的大小为45°
D．BD⊥平面PAC
解析：选ABC.如图，取AD的中点M，连接PM，BM，因为侧面PAD为正三角形，所以PM⊥AD.又底面ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
所以△ABD是等边三角形，
INCLUDEPICTURE "25sx-100.TIF"
所以AD⊥BM，
又因为PM∩BM＝M，PM，BM 平面PBM，所以AD⊥平面PBM，故A正确；
因为AD⊥平面PBM，PB 平面PBM，所以AD⊥PB，
即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确；因为平面PAD⊥平面ABCD，PM⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM 平面PAD，所以PM⊥平面ABCD，
因为BC 平面ABCD，所以PM⊥BC，又BC⊥BM，PM∩BM＝M，PM，BM 平面PBM，所以BC⊥平面PBM，又PB 平面PBM，所以BC⊥PB，则∠PBM是二面角P BC A的平面角．
设AB＝1，则BM＝，PM＝，
在Rt△PBM中，tan ∠PBM＝＝1，
即∠PBM＝45°，
故二面角P BC A的大小为45°，故C正确；
假设BD⊥平面PAC，因为PA 平面PAC，所以BD⊥PA，因为PM⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PM⊥BD.
又因为PA∩PM＝P，PA，PM 平面PAD，所以BD⊥平面PAD，因为AD 平面PAD，所以BD⊥AD，与△ABD为等边三角形矛盾．所以BD与平面PAC不垂直，故D错误．
7．已知平面α⊥平面β，a α，b β，且b∥α，a⊥b，则a和β的位置关系是____________．
解析：设α∩β＝m，因为b∥α，b β，所以b∥m.又因为a⊥b，所以a⊥m.因为α⊥β，α∩β＝m，a α，所以a⊥β.
答案：垂直
8．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长为____________．
INCLUDEPICTURE "25sx-101.TIF"
解析：取CD的中点G，连接MG，NG.因为四边形ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
INCLUDEPICTURE "25sx-102.TIF"
所以MG⊥CD，MG＝2，
NG＝.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，MG 平面ABCD，
所以MG⊥平面DCEF，
又NG 平面DCEF，可得MG⊥NG，
所以MN＝＝.
答案：
9．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示)
解析：由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，
所以l′⊥α，
因为l′ β，所以α⊥β，故①② ③.
答案：①② ③
10.如图，在三棱台ABC DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.
INCLUDEPICTURE "25sx-103.TIF"
求证：BF⊥平面ACFD.
证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．
因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，AC 平面ABC，
INCLUDEPICTURE "25sx-104.TIF"
所以AC⊥平面BCK，
又BF 平面BCK，
因此BF⊥AC.
又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，
所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.
又CK∩AC＝C，CK，
AC 平面ACFD，
所以BF⊥平面ACFD.
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF"
11.如图所示，在斜三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H在(　　)
INCLUDEPICTURE "23k394.TIF"
A．直线AC上 B．直线AB上
C．直线BC上 D．△ABC内部
INCLUDEPICTURE "23K395.TIF"
解析：选B.连接AC1，因为BC1⊥AC，BA⊥AC，且BC1∩BA＝B，BC1，BA 平面ABC1，所以AC⊥平面ABC1，又AC 平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABC1，
因为平面ABC∩平面ABC1＝AB，要过C1作C1H⊥平面ABC，
则只需过C1作C1H⊥AB即可，故点H在直线AB上．故选B.
12．(多选)在三棱锥D ABC中，已知AB＝BC＝2，AC＝2，DB＝4，平面BCD⊥平面ABC，且DB⊥AB，则(　　)
A．DB⊥AC
B．平面DAB⊥平面ABC
C．三棱锥D ABC的体积为
D．三棱锥D ABC的外接球的表面积为16π
解析：选ABC.因为AB＝BC＝2，AC＝2，
所以cos ∠ABC＝＝－，
所以∠ABC＝，
INCLUDEPICTURE "25ZZ2.TIF"
如图，过D作DE⊥BC于E.
因为平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，
所以DE⊥平面ABC，
因为AB 平面ABC，
所以DE⊥AB，
假设DB，DE不重合，
因为DB⊥AB，DE∩DB＝D，
DE，DB 平面BCD，
所以AB⊥平面BCD，
因为BC 平面BCD，
所以AB⊥BC，与∠ABC＝矛盾，
所以假设不成立，
所以DB，DE重合，即DB⊥平面ABC.
因为AC 平面ABC，所以DB⊥AC.
因为DB 平面DAB，所以平面DAB⊥平面ABC，故A，B正确；
三棱锥D ABC的体积为××2×2×sin ×4＝，故C正确；
如图，设△ABC的外心为F，其外接圆半径为×＝2，
连接AF，CF，BF，过F作FO⊥平面ABC，
设O为外接球的球心，连接OA，OD，
则FA＝FB＝2，OA＝OD，
所以＝，
所以＝，
解得OF＝2，
所以外接球的半径为OA＝＝2，
所以三棱锥D ABC的外接球的表面积为S＝4π·OA2＝32π，故D错误．
13．如图，棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1，M是四边形D1DCC1内异于C，D的动点，平面AMD⊥平面BMC.则M点的轨迹的长度为________．
INCLUDEPICTURE "25sx-106.TIF"
解析：因为DM 平面D1DCC1，BC⊥平面D1DCC1，故DM⊥BC，又因为平面AMD⊥平面BMC，故要满足题意，只需DM⊥MC即可．又点M在平面D1DCC1内，故点M的轨迹是平面D1DCC1内，以DC为直径的半圆(不包含点D，C).又正方体棱长为2，故该半圆的半径为1，故其轨迹长度为＝π.
答案：π
14．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角，得到如图所示的三棱锥．求证：
INCLUDEPICTURE "25sx-107.TIF"
(1)AB⊥平面BCD；
(2)平面ACD⊥平面ABD.
证明：(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝a，所以AB2＋BD2＝AD2，
所以∠ABD＝90°，AB⊥BD.
又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB 平面ABD，
所以AB⊥平面BCD.
(2)因为折叠前四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BD，所以CD⊥BD.
因为AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，
所以AB⊥CD，
因为AB∩BD＝B，AB，BD 平面ABD，
所以CD⊥平面ABD.
又因为CD 平面ACD，
所以平面ACD⊥平面ABD.
INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF"
15．(多选)(2024·张家口期末)如图，在三棱锥P ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AC⊥CB，AC＝CB，PA＝PB＝AB，E，M是棱PB上的点，M为EB的中点，F是棱PC上的点，若PB⊥平面AEF，则下列选项正确的有(　　)
INCLUDEPICTURE "25SR64.TIF"
A．平面AEF⊥平面PAB
B．E为PB的中点
C．PF＝3FC
D．CM∥平面AEF
解析：选ABD.对于A选项，由PB⊥平面AEF，PB 平面PAB，所以平面AEF⊥平面PAB，故A正确；
对于B选项，因为PB⊥平面AEF，AE 平面AEF，所以PB⊥AE，又△PAB为等边三角形，所以E为PB的中点，故B正确；
对于C选项，因为PB⊥平面AEF，EF 平面AEF，所以PB⊥EF.设△PAB的边长为2，则BC＝，PB＝2.
INCLUDEPICTURE "25SR69.TIF"
如图，取AB的中点O，连接CO，PO，则PO＝，CO＝1，因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PO⊥AB，PO 平面PAB，所以PO⊥平面ABC，因为CO 平面ABC，所以PO⊥CO，所以PC＝＝2.在△BPC中，由余弦定理，得cos ∠BPC＝＝＝.在Rt△PEF中，cos ∠BPC＝＝＝，所以PF＝，FC＝PC－PF＝2－＝，所以PF＝2FC，故C错误；
对于D选项，由上知，PF＝2FC，又M为EB的中点，所以PE＝2EM，所以CM∥EF.又EF 平面AEF，CM 平面AEF，所以CM∥平面AEF，故D正确．
16．(2024·抚顺期末)在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，△PAB和△PBC都是正三角形，且平面PBC⊥平面PAB.
INCLUDEPICTURE "RSXA82.TIF"
(1)求证：AC⊥PD；
(2)求三棱锥P ABD的体积．
解：(1)证明：如图所示，取PB的中点O，连接OA，OC.
INCLUDEPICTURE "RSXA83.TIF"
因为△PBC是正三角形，
所以CO⊥PB，同理OA⊥PB，
又CO∩OA＝O，CO，OA 平面AOC，
所以PB⊥平面AOC，又AC 平面AOC，所以AC⊥PB.
因为四边形ABCD是边长为2的菱形，
所以AC⊥BD，又PB∩BD＝B，PB，BD 平面PBD，所以AC⊥平面PBD，因为PD 平面PBD，所以AC⊥PD.
(2)方法一：因为平面PBC⊥平面PAB，且平面PBC∩平面PAB＝PB，CO 平面PBC，CO⊥PB，所以CO⊥平面PAB，
因为CD∥AB，AB 平面PAB，CD 平面PAB，所以CD∥平面PAB，
所以点D到平面PAB的距离就是点C到平面PAB的距离，即CO＝.
所以三棱锥P ABD的体积V三棱锥P ABD＝V三棱锥D PAB＝S△PAB×CO＝××22×＝1.
方法二：因为平面PBC⊥平面PAB，且平面PBC∩平面PAB＝PB，CO 平面PBC，CO⊥PB，所以CO⊥平面PAB，
易知CO＝，且四边形ABCD是菱形，
所以 V三棱锥P ABD＝V三棱锥P ABC＝V三棱锥C PAB＝S△PAB×CO＝××22×＝1.

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