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青岛版八年级数学下册
第8章 平行四边形
8.2 平行四边形
第2课时 平行四边形对角线的性质
情 境 导 入
一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动， 到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
老大
老二
老三
老四
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
第2课时 平行四边形对角线的性质
新 课 探 究
D
A
B
C
O
探究1 想一想，平行四边形除了边、角这两个方面的性质外，对角线有什么性质？
　　如图，在　ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O．OA与OC，OB与OD有什么关系？
第2课时 平行四边形对角线的性质
∠1=∠2，
AB=CD，
∠3=∠4，
如图，在　ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O．求证：OA=OC，OB=OD．
新课探究
情境导入
课堂小结
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB∥CD.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
1
D
A
B
C
O
2
3
4
理论验证
∴△COD≌△AOB（ASA).∴OA=OC，OB=OD．
在△COD和△AOB中，
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新课探究
情境导入
课堂小结
几何语言：
定理3：平行四边形的对角线互相平分.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA＝OC，OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）.
AC=2OA=2OC，BD=2OB=2OD.
OA＝OC=AC，OB＝OD=BD.
平行四边形的性质
或
或
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新课探究
情境导入
课堂小结
O
●
老大
老三
老二
A
C
D
B
老四
故四人的土地面积相同，老人分地合理.
老人分地合理吗？
新课探究
情境导入
课堂小结
如图：在 ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14，AOD的周长是多少？为什么？ ABC 与 DBC的周长哪个长？
A
B
C
D
O
练一练
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD＝10，AO＝CO＝
AC＝4，BO＝DO＝BD＝7.
∴△AOD的周长是AD＋AO＋DO＝10＋4＋7＝21,
△DBC周长－△ABC的周长＝BD＋BC＋DC－AB－BC－AC＝BD＝AC＝14－8＝6.
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新课探究
情境导入
课堂小结
探究2 已知:如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O.过点O作直线EF，分别交AB， CD于点E，F.求证：OE=OF
A
B
C
D
F
E
O
∴AB∥CD,
∴∠ODF=∠OBE.
∴△DOF≌△BOE（ASA）.
OD=OB.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
又∵∠DOF=∠BOE,
∴OE=OF.
改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗
新课探究
情境导入
课堂小结
在上例中若将条件“分别交AD,BC于点E,F”改为“分别交BA,DC的延长线于点E,F”，OE和OF还相等吗？
解：成立．理由：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB∥CD.∴∠E=∠F.
在△OAE和△OCF中，
∴△OAE≌△OCF（AAS）.
∴OE=OF.
小结：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.
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新课探究
情境导入
课堂小结
在上述问题中,若将直线EF绕点O旋转到任意位置时,上述结论是否仍然成立？
F
E
F
●
O
D
C
B
A
E
●
O
D
C
B
A
E
F
若此时再与两边延长线相交呢？
●
O
D
C
B
A
E
F
●
●
●
●
新课探究
情境导入
课堂小结
课堂检测
1.在 ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=30cm,BD=24cm,则 AO= , BO= .
若AB=18cm，则△COD的周长为______.
2.在 ABCD中，AC＝10,BD＝8，则AB的取值范围是__ ___.
3.如图， ABCD的对角线AC,BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则 ABO的周长为_ __.
A
C
D
B
O
、、
15cm
12cm
45cm
114
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新课探究
情境导入
课堂小结
4.如图，在直角坐标系中， OBCD的顶点O,B,D的坐标如图所示，则顶点C的坐标为（ ）
x
y
C
O(0,0)
B(5,0)
D(2,3)
A. (3,7) B. (5,3)
C. (7,3) D. (8,2)
C
课堂检测
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新课探究
情境导入
课堂小结
O
D
B
A
C
5.如图,在 ABCD中, 对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=20, △AOB的周长等于15,则CD=______.
5
课堂检测
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新课探究
情境导入
课堂小结
6.如图，E,F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF,求证：BE=DF.
提示：证明△AEB≌△CFD即可.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，∴∠BCA=∠DAC.
∵BE∥DF，∴∠BEF=∠DFE，
又∵EF＝FE，
∴△BCE≌△DAC（ASA），
∴BE=DF．
课堂检测
7．(1)(2024贵州)如图， ABCD的对角线AC与BD交于点O，则下列结论一定正确的是(　　)
A．AB=BC
B．AD=BC
C．OA=OB
D．AC⊥BD
B
(2)(人教8下P44)如图，在 ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14，则△AOD的周长是　　　　．
21
8．(人教8下P44、北师8下P139)如图，在 ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC．求BC，CD，AC，OA的长，以及 ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，CD=AB=10.
∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形.
根据勾股定理，得AC===6.
又OA=OC，
∴OA=AC=3，S ABCD=BC·AC=8×6=48.
9．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．求证：AE=CF．
小结:根据平行四边形对角线平分的性质构造全等.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，
又∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
而∠AOE=∠COF， ∴△AOE≌△COF.∴AE=CF.
10．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N在对角线AC上，AM=CN．求证：BM∥DN．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD.
∴∠BAM=∠DCN.
又∵AM=CN，∴△ABM≌△CDN，
∴∠AMB=∠CND，
∴∠BMO=∠DNO，∴BM∥DN.
11．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，求 ABCD的面积．
小结:经过中心的直线可将平行四边形分成完全重合的2个图形.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，∴∠CAD=∠ACB，
而∠AOM=∠CON，∴△CON≌△AOM，
∴S△AOD=S△DOM+S△AOM=S△DOM+S△CON=4+2=6，
∴S ABCD=4S△AOD=4×6=24.
12．(人教8下P51改编)如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F．直线EF两旁的梯形的面积相等吗 为什么
解：直线EF两旁的梯形的面积相等.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，且AD=BC，AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO，
∴△DEO≌△BFO，∴DE=BF.
∵AD=BC，∴AE=CF，
∵两个梯形的高都是平行四边形的高，即它们的高相等，
∴两个梯形的面积相等.
★13． 写出以A(-2，2)，B(1，-2)，C(5，1)为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
0.50
解：AB为对角线时，顶点D的坐标是(-6，-1);
AC为对角线时，顶点D的坐标是(2，5);
BC为对角线时，顶点D的坐标是(8，-3).
课 堂 小 结
图形 名称 文字语言 图形语言 　　符号语言
平行四边形 定义 两组对边分别平行的四边形 ∵AB∥CD,AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形
性质 平行四边形的对边平行且相等; 对角相等; 对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD,AD∥BC AB=CD,
AD=BC，∠DAB=∠BCD,∠ABC=
∠ADC，OA=OC,OB=OD
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
O
第2课时 平行四边形对角线的性质
THANK YOU

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