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直角三角形的边角关系 基础知识达标卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为（　　）
A． B． C． D．
2．计算：cos245°+sin245°=（　　）
A． B．1 C． D．
3．已知sinα=，若α是锐角，则α的度数为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如图，在四边形ABCD中，，，O为对角线BD的中点，，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．在三角形ABC中，∠C为直角，sinA=，则tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，从点 看一山坡上的电线杆 ，观测点 的仰角是 ，向前走 到达 点，测得顶端点 和杆底端点 的仰角分别是 和 ，则该电线杆 的高度为（　　）m．
A． B． C． D．
8．如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，，箱高米，当米时，点A离地面CE的距离是（　　）米.
A． B．
C． D．
9．如图，点E在正方形ABCD的边AD上（包括点A和点D）的一个动点，连结BE和CE设y=tan∠BEC，则（　　）
A．y=1 B．y≥1 C．1≤y≤ D．1≤y≤
10．如图，在平面直角坐标系 中， ， ， ， 是正方形 边上的线段，点 在其中某条线段上，若射线 与 轴正半轴的夹角为 ，且 ，则点 所在的线段可以是 　　
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．矩形ABCD中，CE平分∠BCD，交直线AD于点E，若CD=6，AE=2，则tan∠ACE=　 　．
12．如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为　 　m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
13．如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形.若腰的坡比为2：1，上底宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是　 　米.
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，M是AB边上一动点，N是AC边上的一动点，则MN+MC的最小值为　 　．
15．如图，在正方形中，为对角线上一点，，过点作，交于点，的延长线交于点，则　 　；若，则的长等于　 　．
16．已知，如图所示， 中， ， ，且 ， ， ，则线段 的长为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
18．先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x=2sin30°+ tan30°．
19．小明家的脚踏式垃圾桶如图，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角∠ABC =45°，为节省家里空间小明 想把垃圾桶放到桌下，经测量桌子下沿离地面高 55cm，垃圾桶高 BD=33.1cm，桶盖直径 BC=28.2cm，问垃圾桶放到桌下踩踏板时，桶盖完全打开有没有碰到桌子下沿？( 1.41 )
20．为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）．
21．小雁塔位于西安市南门外的荐福寺内，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志.小莹在数学综合实践活动中，欲利用所学的数学知识对小雁塔的高度进行测量，如图，CD是临时搭建的一个钢架，小莹先测得小雁塔与钢架CD之间的距离AC为43m，然后她站在E点处测得钢架CD的顶端D的仰角为26.7°，转身测得小雁塔AB的顶端B的仰角为47.8°，已知钢架CD的高度为4m，小莹的观测点E距地面的距离EF＝1.5m，且AB⊥AC，EF⊥AC，CD⊥AC，求小雁塔AB的高度.（参考数据：sin47.8°≈0.74，cos47.8°≈0.67，tan47.8°≈1.10，sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）
22．如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为 ， ，其中点O，A，B在同一条直线上 求A，B两点间的距离 结果精确到 ．
参考数据： ， ，
23．如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛 位于其西北方向（北偏西 方向），2小时后轮船到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东 方向.求此时船与小岛P的距离（结果保留整数，参考数据： ， ）.
24．如图，铜亭广场装有智能路灯，路灯设备由灯柱AC与支架BD共同组成（点C处装有安全监控，点D处装有照明灯），灯柱AC为6米，支架BD为2米，支点B到A的距离为4米，AC与地面垂直，∠CBD=60°．某一时刻，太阳光与地面的夹角为45°，求此刻路灯设备在地面上的影长为多少？
25．如图，已知在中，点D是边上一点，且，点E是边上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的值．
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直角三角形的边角关系 基础知识达标卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：过点B作AC的垂线，垂足为C，
∵BC//a，
∴∠B=∠α
∵BC⊥AC，BC=5米，∠CBA=∠α．
∴AB=．
故答案为：B.
【分析】过点B作AC的垂线，垂足为C，利用三角函数列出AB、BC的关系后求解.
2．计算：cos245°+sin245°=（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵cos45°=sin45°= ，
∴cos245°+sin245°
=
=
=1．
故选：B．
【分析】首先根据cos45°=sin45°= ，分别求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．
3．已知sinα=，若α是锐角，则α的度数为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ sinα=，若α是锐角 ，
∴α=45°，
故答案为：B.
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案.
4．如图，在四边形ABCD中，，，O为对角线BD的中点，，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∵O为对角线BD的中点，OA=2，
∴BD=2OA=4，
∵BC=5，CD=3，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴tan∠DCB= =，
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义即可得出的值。
5．在三角形ABC中，∠C为直角，sinA=，则tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，
cosB=sinA=．
sinB=
tanB=，
故选：A．
【分析】△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，根据互余两角的三角函数的关系，可得cosB，根据同角三角函数关系，可得答案．
6．如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意，得：
解得：
在Rt△ACB中，
故答案为：C.
【分析】根据河堤的横断面迎水坡的坡比是 ，求出AC的长度，再利用勾股定理即可求出AB的值.
7．如图，从点 看一山坡上的电线杆 ，观测点 的仰角是 ，向前走 到达 点，测得顶端点 和杆底端点 的仰角分别是 和 ，则该电线杆 的高度为（　　）m．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 解： 延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，
在Rt△APE中，∠E=90°，∠A=45°，
∴AE=PE=x米，
∵∠PBE=60°，
∴∠BPE=30°，
在Rt△BPE中，BE=·PE=x米，
∵AB=AE-BE=6米，
∴x-x=6，
∴x=9+3，
∴PE=9+3，BE=3+3，
在Rt△BEQ中，QE=·BE=（3+）米，
∴PQ=PE-QE=9+3-3-=（6+2）米，
故答案为：A.
【分析】 延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在Rt△APE和Rt△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE=6列出方程求得x的值，得出PE的长，再在Rt△BQE中利用三角函数求得QE的长，利用PQ=PE-QE进行计算，即可得出答案.
8．如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，，箱高米，当米时，点A离地面CE的距离是（　　）米.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过B作BH⊥AD于点H，
由题意可得：∠HAB=∠C=α，
∴AH=AB cosα=cosα，DH=BE=BC sinα=2sinα，
∴AD=AH+HD=cosα+2sinα.
故答案为：C.
【分析】过B作BH⊥AD于点H，由题意可得：∠HAB=∠C=α，根据三角函数的概念可得AH，DH，然后根据AD=AH+HD进行计算.
9．如图，点E在正方形ABCD的边AD上（包括点A和点D）的一个动点，连结BE和CE设y=tan∠BEC，则（　　）
A．y=1 B．y≥1 C．1≤y≤ D．1≤y≤
【答案】D
【解析】【解答】解：点E从点A到点D运动过程中，∠BEC的度数先越来越大，越过AD的中点后越来越小，
当点E与A重合时， ∠BEC最小，当点E到AD的中点中点时，∠BEC 最大，
当点E与A重合时，∠BEC=45°，∴tan∠BEC =1，
当点E是AD中点时，如图，设正方形边长为2，∴AE=ED=1，
∴BE=CE=，设EF=x，∴BF=-x，
∵CF2=BC2-BF2=22-（-x）2，CF2=EC2-EF2=（）2-x2，
∴22-（-x）2=（）2-x2，解得x=，∴CF=
∴tan∠BEC=，即得1≤y≤ .
故答案为：D.
【分析】点E从点A到点D运动过程中，∠BEC的度数先越来越大，越过AD的中点后越来越小，即是当点E与A重合时， ∠BEC最小，当点E到AD的中点中点时，∠BEC 最大，分别求出此时的正切值，根据正切函数的性质即得范围.
10．如图，在平面直角坐标系 中， ， ， ， 是正方形 边上的线段，点 在其中某条线段上，若射线 与 轴正半轴的夹角为 ，且 ，则点 所在的线段可以是 　　
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】D
【解析】【解答】如图，当点 在线段 上时，连接 ．
， ， ，
，
同法可证，点 在 上时， ，
如图，当点 在 上时，作 于 ．
， ， ，
，
同法可证，点 在 上时， ，
故答案为：D．
【分析】当点 在线段 上时，连接 ．根据正弦函数，余弦函数的定义判断的大小，点 在 上时，作 于 ．判断的大小即可解决问题。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．矩形ABCD中，CE平分∠BCD，交直线AD于点E，若CD=6，AE=2，则tan∠ACE=　 　．
【答案】 或
【解析】【解答】（1）如图1，当点E在线段AD上时，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，CE平分∠BCD，
∴∠DEC=∠BCE=∠DCE，
∴DE=CD=6，
∵AE=2，
∴AD=6+2=8，
∴在Rt△ACD中，AC=10，
过点E作EF⊥AC于点F，
则由sin∠EAF= ，可得EF= ，AF= ，
∴CF= ，
∴tan∠ACE= ；（2）如图2，当点E在DA的延长线上时，过点A作AF⊥EC于点F，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，CE平分∠BCD，
∴∠DEC=∠BCE=∠DCE，
∴DE=CD=6，
∵∠D=90°，
∴CE= ，∠AEF=∠EAF=45°，
∵AE=2，
∴EF=AF= ，
∴FC=CE-EF= ，
∴tan∠ACE= .
综上所述，tan∠ACE= 或 .
故答案为： 或 .
【分析】根据CE平分∠BCD，CD＝6，AE＝2，可得∠DCE＝∠DEC＝45°，DE＝CD＝6，再分两种情况进行讨论：E在线段AD上，E在DA延长线上，分别求出tan∠ACE的值即可．
12．如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为　 　m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【答案】9.5
【解析】【解答】过D作DE⊥AB，
∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，∴∠ADE=53°．
∵BC=DE=6m，∴AE=DE tan53°≈6×1.33≈7.98m，∴AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m≈9.5m．
【分析】过D作DE⊥AB，根据矩形的性质得出BC=DE=6m根据正切函数的定义，由AE=DE tan53°算出AE的长，根据AB=AE+BE=AE+CD算出答案。
13．如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形.若腰的坡比为2：1，上底宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是　 　米.
【答案】7
【解析】【解答】解：如图，
∵腰的坡度为i=2：1，路基高是4米，
∴DE=2米
又∵AB=EF=3米
∴DC=3+2+2=7米
故答案为：7 .
【分析】根据腰的坡比以及路基的高求出梯形两腰在水平方向的投影长度，再结合上底宽求出下底宽.
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，M是AB边上一动点，N是AC边上的一动点，则MN+MC的最小值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解： 作点C关于AB的对称点C′，过点C作C′N⊥AC于N，交AB于点M，则C′N的长即为MN＋MC的最小值，连接CC′交AB于点H，则CC′⊥AB，C′H＝HC′，
∵∠C′MH＝∠AMN，∠A＝30°，
∴∠C′＝∠A＝30°，
∵AC＝4，
∴HC＝ AC，
∴CC′＝4，
∴C′N＝CC′ cosC′＝2 ．
故答案为
【分析】作点C关于AB的对称点C′，过点C作C′N⊥AC于N，交AB于点M，则C′N的长即为MN＋MC的最小值，连接CC′交AB于点H，则CC′⊥AB，C′H＝HC′，根据对顶角相等及三角形的内角和判断出∠C′＝∠A＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出HC＝ AC，故CC′＝4，根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由C′N＝CC′ cosC′即可算出答案。
15．如图，在正方形中，为对角线上一点，，过点作，交于点，的延长线交于点，则　 　；若，则的长等于　 　．
【答案】；
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥AD于点H，
则∠EHA=∠EHD=90°，
∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，
∠ABD=∠ADB=45°，AB=BC=CD=AD，
∵DE=AB，
∴AD=DE，
∴
∴∠AEH=90°-67.5°=22.5°，
∵GE⊥AE，
∴∠AEG=90°，
∴∠DEG=90°-67.5°= 22.5°，
∴∠AEH=∠DEG，
∵∠EHD=90°，∠HDE=45°
∴EH=DH，
设EH=DH=x，则
，
∴，
∴
∵∠DHE=∠BAD=90°，
∴EH//AB，
∴∠BAF=∠AEH
∴
∴，
设AB=BC=y，则，
∵CF=3，
∴，
∴
∴
故答案为：；.
【分析】过点E作EH⊥AD于点H，根据正方形的性质得出∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，AB=BC=CD=AD，证明△EDH为等腰直角三角形，得出EH=DH，设EH=DH=x，则，进而根据直角三角形的边角关系，即可得出答案.
16．已知，如图所示， 中， ， ，且 ， ， ，则线段 的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BA 的延长线于点F，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠FAD＝∠ABC， ∠CAD＝∠ACB，
∴∠FAD＝∠CAD，AD是∠FAE的角平分线，
∵DF⊥FA，DE⊥AC，
∴DF＝DE，∠F＝∠AED＝90°，
∴△DAF≌△DAE（AAS），
∴AF＝AE，DF＝DE，
∵CD＝3，
∴ ，即
∴
∴
∴DF＝DE＝
∵BD＝7，∠F＝90°
∴
设AB=AC＝x，则AE＝AF＝x－ ，
∴BF＝AB＋AF＝x＋x－ ＝2x－ ＝
解得：
∴AF＝
故答案为：
【分析】根据全等三角形的判定定理证明得到△DAF≌△DAE，根据三角函数求出CE的长度，继而由勾股定理得到DF=DE，进而利用勾股定理，求出答案即可。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
【答案】解：原式
【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可。
18．先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x=2sin30°+ tan30°．
【答案】解：原式= x
= x
= ，
将x=2× + × =1+1=2代入得，
原式= =﹣1．
【解析】【分析】先算括号里面的，再算除法，最后求出x的值代入进行计算即可．
19．小明家的脚踏式垃圾桶如图，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角∠ABC =45°，为节省家里空间小明 想把垃圾桶放到桌下，经测量桌子下沿离地面高 55cm，垃圾桶高 BD=33.1cm，桶盖直径 BC=28.2cm，问垃圾桶放到桌下踩踏板时，桶盖完全打开有没有碰到桌子下沿？( 1.41 )
【答案】解：过点C作CG⊥DE交AB于H由题意得：四边形ABDE是矩形∴AB∥DE∴∠CHB=90° CH=BD=33.1在Rt△CBH中， sin∠CBH= ∴CH=BC·sin∠CBH=28.2× ≈20∴CG=CH+HG=33.1+20=53.1﹤55答：桶盖完全打开时没有碰到碰到子下沿
【解析】【分析】过点C作CG⊥DE交AB于H，易证四边形ABDE是矩形，由∠ABC =45°，可证得CH=BD=33.1，再在Rt△CBH中， 利用解直角三角形求出CH的长，然后利用CG=CH+HG，可求出结果。
20．为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）．
【答案】解：如图，过P点作PC⊥AB于C，
由题意可知：∠PAC=60°，∠PBC=30°，
在Rt△PAC中，tan∠PAC= ，∴AC= PC，
在Rt△PBC中，tan∠PBC= ，∴BC= PC，
∵AB=AC+BC= PC+ PC=10×40=400，
∴PC=100 ，
答：建筑物P到赛道AB的距离为100 米．
【解析】【分析】 如图，过P点作PC⊥AB于C， 在Rt△PAC中，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由tan∠PAC= 表示出AC， 在Rt△PBC中，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由tan∠PBC= 表示出BC， 根据 AB=AC+BC 建立方程，求解即可。
21．小雁塔位于西安市南门外的荐福寺内，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志.小莹在数学综合实践活动中，欲利用所学的数学知识对小雁塔的高度进行测量，如图，CD是临时搭建的一个钢架，小莹先测得小雁塔与钢架CD之间的距离AC为43m，然后她站在E点处测得钢架CD的顶端D的仰角为26.7°，转身测得小雁塔AB的顶端B的仰角为47.8°，已知钢架CD的高度为4m，小莹的观测点E距地面的距离EF＝1.5m，且AB⊥AC，EF⊥AC，CD⊥AC，求小雁塔AB的高度.（参考数据：sin47.8°≈0.74，cos47.8°≈0.67，tan47.8°≈1.10，sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）
【答案】解：过点E作MN∥AC交AB于点M，交CD于点N，
则AM=EF=CN=1.5（米），
MN=AC=43（米），
∠BME=∠DNE=90°，
ME=AF，EN=FC，
则DN=DC-CN=4-1.5=2.5（米），
在Rt△DNE中，
∵∠DEN=26.7°，
∴ （米），
∴EM=MN-EN=43-5=38（米），
在Rt△BME中，
∵tan∠MEB= ，
∴BM=ME tan∠MEB=38×tan47.8°≈38×1.10=41.8（米），
∴AB=BM+AM=41.8+1.5=43.3（米）.
答：小雁塔AB的高度约为43.3米.
【解析】【分析】过点E作MN∥AC交AB于点M，交CD于点N，根据AM=EF=CN求出AM的长， 在Rt△DNE中， 利用三角函数求出EN的长，则EM长可求， 在Rt△BME中， 根据锐角三角函数可得BM的长，则可得AB的高度.
22．如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为 ， ，其中点O，A，B在同一条直线上 求A，B两点间的距离 结果精确到 ．
参考数据： ， ，
【答案】解：由题意可得： ， ．
在 中，
，
，
在 中， ，
，
，
答：A，B两点间的距离约为
【解析】【分析】由题意， 在 中， 根据tan34=可求得OA的值， 在 中， 由等腰直角三角形的性质可得OB=OC，则AB=OB-OA可求解。
23．如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛 位于其西北方向（北偏西 方向），2小时后轮船到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东 方向.求此时船与小岛P的距离（结果保留整数，参考数据： ， ）.
【答案】解：如图，过P作PH⊥AB，设PH=x，
由题意，AB=60，∠PBH=30 ，∠PAH=45 ，
在Rt△PHA中，AH=PH=x，
在Rt△PBH中，BH=AB-AH=60-x，PB=2x，
∴tan30 = ，
即 ，
解得： ，
∴PB=2x= ≈44（海里），
答：此时船与小岛 的距离约为44海里.
【解析】【分析】过P作PH⊥AB，设PH=x，由已知分别求PB、BH、AH，然后根据锐角三角函数求出x值即可求解
24．如图，铜亭广场装有智能路灯，路灯设备由灯柱AC与支架BD共同组成（点C处装有安全监控，点D处装有照明灯），灯柱AC为6米，支架BD为2米，支点B到A的距离为4米，AC与地面垂直，∠CBD=60°．某一时刻，太阳光与地面的夹角为45°，求此刻路灯设备在地面上的影长为多少？
【答案】解：如图，过点D作光线的平行线，交地面于点G，交射线AC于点F，过点D作DE⊥AF于点E，
在Rt△DBE中，
∵∠CBD=60°，
∴∠BDE=30°，
∵BD=2，
∴BE=BD sin30°=1，DE=BD cos30°= ，
在Rt△FED中，
∵∠AGF=45°，
∴∠EDF=45°，
∴EF=ED= ，
∵AB=4，
∴AF=AB+BE+EF=4+1+ =5+ ．
∵5+ ＞6，
∴此时的影长为AG．
在Rt△AFG中，AG=AF=5+ ．
答：此刻路灯设备在地面上的影长为（5+ ）米．
【解析】【分析】此题需要重点考虑是AC的投影长，还是BD的投影长，根据投影的分析转化求解AF和AC进行比较，最后得出结论。
25．如图，已知在中，点D是边上一点，且，点E是边上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的值．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：过点作于点，
，
，
，
则，
，
在中，，
解得：，
，
．
【解析】【分析】（1）先证明，再证明△BDE∽△CBA即可.
（2）过点A作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求出AF，再根据的三角函数值求出BC即可求解．
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